الدائرة هي شكل يتكون من جميع النقاط على المستوى التي تقع على نفس المسافة من نقطة معينة ، تسمى مركز الدائرة. معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها ، يمكنك بسهولة تحديد إحداثيات النقاط على الدائرة.
للعثور على إحداثيات نقطة على دائرة ، يمكنك استخدام الطريقة الهندسية. ويستند إلى حقيقة أن كل مثلث يتكون من نقاط مركز الدائرة ، ونقطة على الدائرة ونقطة ذات قيمة مشتركة للإحداثي السيني أو الإحداثي مستطيل. للعثور على إحداثيات النقاط على دائرة ، يجب أن تأخذ في الاعتبار الخصائص الهندسية للمثلثات واستخدام الصيغ المناسبة.
على سبيل المثال ، للعثور على إحداثيات نقطة على دائرة متمركزة عند النقطة (2 ، 3) ونصف القطر 5 ، يمكنك استخدام الصيغة التالية: س = س + ص * كوس (أ) ، ص = قبرصي + ص * الخطيئة(أ) ، حيث س و قبرصي هي إحداثيات مركز الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة ، و أ هي الزاوية الموصوفة بنقطة على الدائرة.
في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام الصيغة لإيجاد إحداثيات النقاط على دائرة ذات معلمات معينة. سيسمح لك ذلك بفهم هندسة الدائرة بشكل أفضل وتعلم كيفية تطبيق الصيغ المناسبة في مهام مختلفة.
- هندسة الدائرة ومعادلتها
- صيغ لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة
- مثال 1: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بزاوية
- مثال 2: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بطول قوس
- مثال 3: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بنصف قطر
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على إحداثيات نقطة على دائرة?
- كيف يمكنني العثور على زاوية على دائرة?
- كيف يمكنني العثور على دائرة نصف قطرها من دائرة?
- هل من الممكن العثور على إحداثيات نقطة على دائرة من خلال معرفة زاويتها?
هندسة الدائرة ومعادلتها
الدائرة هي شكل هندسي يتكون من جميع النقاط في المستوى التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة معينة ، تسمى مركز الدائرة. المسافة من المركز إلى أي نقطة من الدائرة تسمى نصف قطر الدائرة.
يتم إعطاء معادلة الدائرة على النحو التالي:
| المعادلة العامة للدائرة هي: | س2 + ذ2 + دكس + ذ + و = 0 |
| المعادلة الكنسية للدائرة | هو (س-أ) 2 + (ص-ب) 2 = ص2 |
أين (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة.
تسمح لنا معادلة الدائرة بتحديد جميع النقاط على المستوى الموجودة على مسافة معينة من مركز الدائرة. يمكنك أيضا حساب محيط ومساحة الدائرة في دائرة نصف قطرها معروفة.
تتيح الخصائص الهندسية للدائرة أيضا حل المشكلات المختلفة المتعلقة ببناء الأشكال أو تحديد المسافات.
من المهم ملاحظة أن الدائرة هي حالة خاصة للقطع الناقص عندما تكون نصف محاور القطع الناقص متساوية.
في الهندسة ، تلعب الدائرة دورا مهما للغاية. توجد في العديد من المهام والتطبيقات ، بدءا من بناء الأشكال ، وتنتهي بإيجاد المسافات وتحديد تقاطعات الأشكال الهندسية الأخرى.
صيغ لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة
الدائرة هي شكل هندسي يتكون من جميع النقاط في المستوى على مسافة متساوية من نقطة معينة ، تسمى مركز الدائرة.
إذا كانت إحداثيات مركز الدائرة (س0 ، ص0) ونصف قطر الدائرة ص معروفة ، فيمكن حساب إحداثيات النقطة على الدائرة باستخدام الصيغ التالية:
- صيغة إيجاد الإحداثي السيني هي: س = س0 + ص * كوس (θ) ، أين angle هي الزاوية المكونة من خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة ونقطة على الدائرة ، مع الاتجاه الإيجابي لمحور الثور.
- صيغة إيجاد الإحداثي ص: ص = ص0 + ص * خطيئة (where) ، أين angle هي الزاوية المكونة من خط مستقيم يمر عبر مركز الدائرة ونقطة على الدائرة ، مع الاتجاه الإيجابي لمحور أوي.
للعثور على إحداثيات نقطة على دائرة ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة والزاوية التي تقع عندها هذه النقطة بالنسبة للاتجاه الموجب لمحور الثور.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك دائرة متمركزة عند (2 ، 3) ونصف قطرها 5. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بزاوية 60 درجة ، فيمكنك استخدام الصيغ:
- س = 2 + 5 * كوس(60°) ≈ 2 + 5 * 0.5 ≈ 2 + 2.5 = 4.5
- ذ = 3 + 5 * الخطيئة(60°) ≈ 3 + 5 * √(3/2) ≈ 3 + 5 * 0.866 ≈ 3 + 4.33 = 7.33
وبالتالي ، فإن إحداثيات نقطة على دائرة بزاوية 60 درجة ستكون متساوية تقريبا (4.5 ، 7.33).
باستخدام هذه الصيغ ، يمكنك إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة لقيم معينة لنصف القطر والزاوية.
مثال 1: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بزاوية
إذا كنت تعرف الزاوية بين محور الثور والخط الذي يربط مركز الدائرة ونقطة عليه ، فيمكنك تحديد إحداثيات هذه النقطة.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة والزاوية المقابلة للنقطة. دع مركز الدائرة يكون عند النقطة (سك ، سي) ، والزاوية بين محور الثور والخط الذي يربط المركز والنقطة تساوي α.
ثم يمكن حساب إحداثيات النقطة على الدائرة بالزاوية على النحو التالي:
- احسب إحداثيات نقطة على دائرة ملقاة على خط أفقي يمر عبر مركز الدائرة:
- الإحداثيات الناتجة هي إحداثيات نقطة على دائرة.
على سبيل المثال ، دع نصف قطر الدائرة يكون ص = 5 ، إحداثيات مركز الدائرة (سك ، سي) = (0 ، 0) والزاوية = = / / 4 (45 درجة). ثم:
| حساب الإحداثيات | النتيجة |
|---|---|
| س = س + ص * كوس (α) | س = 0 + 5 * كوس (π / 4) = 3.54 |
| ذ = قبرصي + ص * الخطيئة(α) | ص = 0 + 5 * الخطيئة (π/4) = 3.54 |
وبالتالي ، فإن إحداثيات النقطة على الدائرة في الزاوية = = = / 4 ستكون (3.54 ، 3.54).
المثال 2: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بطول القوس
عندما يعرف طول القوس ، يمكنك العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة باستخدام الصيغ التالية:
| التعيين | الوصف |
|---|---|
| r | هو نصف قطر الدائرة |
| α | هي الزاوية المركزية (بالراديان) المقابلة لطول القوس |
| x | تنسيق س من النقطة المطلوبة |
| y | تنسيق ص من النقطة المطلوبة |
ثم يمكن العثور على إحداثيات النقطة على الدائرة على النحو التالي:
- أوجد الطول الكامل للدائرة باستخدام الصيغة: محيط = 2ر
- حساب قيمة الزاوية المركزية-المقابلة لطول القوس باستخدام الصيغة: - = طول القوس / محيط * 2 =
- أوجد إحداثيات نقطة على الدائرة بناء على القيمة الموجودة للزاوية المركزية-ونصف قطر الدائرة ص ، باستخدام الصيغ: س = ص * كوس(α) و ص = ص * الخطيئة (sin)
لنلق نظرة الآن على مثال لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بطول قوس معين.
مثال 3: إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بنصف قطر
لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بنصف قطر ، نحتاج إلى معرفة المعلمات الأساسية للدائرة: مركزها ونصف قطرها.
لنفترض أن لدينا دائرة متمركزة عند (شك ، ص) ونصف القطر ص. نريد إيجاد إحداثيات نقطة (س ، ص) في هذه الدائرة.
لإيجاد إحداثيات نقطة على دائرة بنصف قطر ، يمكننا استخدام المعادلات البارامترية للدائرة:
- س = شك + ص * كوس (θ)
- ذ = يك + ص * الخطيئة(θ)
هنا angle هي الزاوية المقاسة بالراديان ، والتي تحدد موضع النقطة على الدائرة.
باستخدام هذه المعادلات ، يمكننا إيجاد إحداثيات نقطة (س ، ص) على دائرة ، مع معرفة المركز ونصف القطر.
على سبيل المثال ، دعنا نحدد دائرة متمركزة عند (2 ، 3) ونصف قطرها 5. لإيجاد إحداثيات نقطة (س ، ص) في هذه الدائرة ، يمكننا اختيار أي زاوية ، على سبيل المثال ، 45 درجة:
- تحويل الدرجات إلى راديان: راد = درجة * (π / 180).
- سنجد قيمة كوس(45°) والخطيئة(45°) باستخدام الجداول المثلثية أو الآلة الحاسبة.
- دعونا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في المعادلات البارامترية للدائرة:
| العنصر | المعادلة | القيمة |
|---|---|---|
| من العاشر | س = شك + ص * كوس (θ) | 2 + 5 * كوس(45°) = 2 + 5 * √2 / 2 = 2 + 5 * 0.707 = 5.536 |
| y | ذ = يك + ص * الخطيئة(θ) | 3 + 5 * الخطيئة(45°) = 3 + 5 * √2 / 2 = 3 + 5 * 0.707 = 6.536 |
وبالتالي ، فإن إحداثيات نقطة على دائرة متمركزة عند (2 ، 3) ونصف قطرها 5 ، بزاوية θ = 45° ، ستكون (5.536 ، 6.536).
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على إحداثيات نقطة على دائرة?
من أجل العثور على إحداثيات نقطة على دائرة ، يمكنك استخدام الصيغ الهندسية. الخطوة الأولى هي إيجاد نصف قطر الدائرة ومركزها. بعد ذلك ، باستخدام نصف قطر وزاوية معروفين ، يمكنك العثور على إحداثيات النقطة المطلوبة. صيغة إيجاد إحداثيات نقطة (س ، ص) على دائرة متمركزة عند النقطة (أ ، ب) ونصف القطر ص بزاوية معروفة consists يتكون من التعبيرات التالية: س = أ + ص * كوس(α) و ص = ب + ص * الخطيئة(r). حيث measured يقاس بالراديان.
كيفية العثور على زاوية على دائرة?
يمكن العثور على الزاوية الموجودة على الدائرة باستخدام صيغ الهندسة وعلم المثلثات. يتم قياس الزاوية بالراديان وترتبط بطول قوس الدائرة بالصيغة التالية: s = س / ص ، أين angle هي الزاوية بالراديان ، س هو طول قوس الدائرة ، ص هو نصف القطر. إذا كانت إحداثيات نقطتي البداية والنهاية للقوس معروفة ، فيمكن العثور على الزاوية باستخدام الدالة المثلثية في2(ص2-ص1, س2-س1) ، أين (س1, ص1) و (س2, ص2) هي إحداثيات نقاط القوس.
كيف يمكنني العثور على دائرة نصف قطرها من دائرة?
يمكن العثور على نصف قطر الدائرة إذا كانت إحداثيات المركز وأي نقطة على الدائرة معروفة. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام صيغة المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف القطر ص يمكن حسابها باستخدام الصيغة ص = الجذر التربيعي ((س2 — س1)^2 + (ص2-ص1)^2) ، أين (س1, ص1) هي إحداثيات مركز الدائرة ، (س2, ص2) هي إحداثيات نقطة على الدائرة.
هل من الممكن العثور على إحداثيات نقطة على دائرة من خلال معرفة زاويتها?
نعم ، يمكنك إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة من خلال معرفة زاويتها. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة وإحداثيات مركزها. يمكن إجراء الحسابات باستخدام الدوال المثلثية. إحدى الصيغ لإيجاد إحداثيات نقطة (س ، ص) على دائرة متمركزة عند النقطة (أ ، ب) ونصف القطر ص بزاوية معروفة is هو: س = أ + ص * كوس ()) و ص = ب + ص * الخطيئة ()). حيث measured يقاس بالراديان.