علم المثلثات هو أحد فروع الرياضيات التي تدرس العلاقة بين زوايا وجوانب المثلث القائم الزاوية. في علم المثلثات ، هناك هويات مختلفة تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية من خلال أخرى. إحدى هذه الهويات هي الهوية التي تربط وظائف جيب التمام والجيب.
في هذه المقالة سوف نثبت الهوية: كوس (أ++) = كوس (أ) * كوس (π). بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك تعريف الدوال المثلثية. يعرف جيب تمام الزاوية أ(كوس (أ)) على أنه نسبة القسطرة المجاورة إلى وتر المثلث القائم الزاوية التي تكون فيها الزاوية أ متجاورة. يعرف جيب الزاوية أ(الخطيئة (أ)) على أنه نسبة القسطرة المعاكسة إلى وتر هذا المثلث.
نظرية على مجموع زوايا جيب التمام وجيب: كوس (أ + ب) = كوس (أ) * كوس (ب — - الخطيئة (أ) * الخطيئة (ب)
باتباع هذه النظرية وتعريف الدوال المثلثية ، يمكننا إثبات قانون جيب التمام هذا. استبدال قيم الزوايا أ = أ و ب = into في ذلك ، نحصل على: كوس (أ++) = كوس (أ) * كوس ()) — الخطيئة(أ) * الخطيئة (sin).
من أجل إثبات الهوية ، نحتاج إلى النظر في قيم وظائف جيب التمام والجيب مع الوسيطة.. قيمة جيب التمام للوسيطة is هي -1 ، وقيمة الجيب للوسيطة argument هي 0. باستبدال هذه القيم في المعادلة ، نحصل على: كوس (أ++) = -1 * كوس(أ) — 0 * الخطيئة(أ) = -كوس (أ).
وهكذا ، أثبتنا الهوية: كوس (أ++) = - كوس (أ). تسمح لنا هذه الهوية بالتعبير عن جيب تمام زاوية المجموع من حيث جيب تمام الزاوية الأصلية. في علم المثلثات ، يستخدم على نطاق واسع لتبسيط التعبيرات وحل المعادلات.
- تعريف الهوية والخصائص الأساسية
- دليل هندسي
- دليل جبري
- أمثلة على تطبيق الهوية في حل المشكلات
- سؤال وجواب
- كيفية إثبات هوية كوس(ا + ن) = كوس(ا) * كوس (ن)?
- كيف يمكنني إثبات أن كوس (ا + ن) = كوس (ا) * كوس (ن)?
- قل لي كيف يمكنني إثبات الصيغة كوس(ا + ن) = كوس(ا) * كوس (ن)?
تعريف الهوية والخصائص الأساسية
الهوية هي تعبير رياضي يحمل أي قيم للمتغيرات المضمنة في هذا التعبير. يمكن إثبات الهوية من خلال التحولات الرياضية والتفكير المنطقي.
الخصائص الأساسية للهويات:
- تحتفظ الهوية بحقيقتها عند استبدال أي قيم للمتغيرات المضمنة فيها. على سبيل المثال ، الهوية "أ + ب = ب + أ" صالحة لأي قيم للمتغيرات أ و ب.
- يمكن استخدام الهوية لتبسيط التعبيرات. على سبيل المثال ، يمكن تبسيط التعبير "س + 0" إلى "س" باستخدام الهوية "أ + 0 = أ".
- يمكن استخدام الهوية لإثبات البيانات الرياضية الأخرى. على سبيل المثال ، يمكن استخدام الهوية "كوس(أ +ن) = كوس(أ) *كوس(ن)" لإثبات الهويات أو الصيغ الأخرى المتعلقة بجيب التمام.
يتيح استخدام الهويات تبسيط التعبيرات الرياضية ، وتنفيذ التفكير المنطقي والبراهين ، وكذلك إجراء التحولات والعمليات باستخدام كائنات رياضية مختلفة.
دليل هندسي
يمكن استخدام نهج هندسي لإثبات هوية كوس(أ +ن) = كوس(أ) * كوس (ن).
ضع في اعتبارك دائرة وحدة متمركزة عند الأصل س.دع النقطة أ(س ، ص) تكون على هذه الدائرة وتشكل زاوية أ مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.
ثم يمكن كتابة إحداثيات النقطة أ على النحو التالي:
- س = كوس (أ)
- ذ = الخطيئة (أ)
ضع في اعتبارك النقطة ب (س', ص') على الدائرة التي تشكل الزاوية ن مع الاتجاه الموجب لمحور الثور. تتم كتابة إحداثياتها بنفس الطريقة:
- س ' = كوس (ن)
- ذ ' = الخطيئة (ن)
الآن النظر في النقطة ج (س + س '، ص + ص'). بحكم التعريف ، إحداثيات هذه النقطة هي مجموع إحداثيات النقطتين أ و ب:
- س + س ' = كوس (أ) + كوس (ن)
- ذ + ذ ' = الخطيئة (أ) + الخطيئة (ن)
من الواضح أن هذه الإحداثيات تمثل كوس ( أ + ن) والخطيئة(أ + ن) ، على التوالي.
وبالتالي ، فإن قيمة كوس(أ +ن) تساوي مجموع كوس(أ) وكوس(ن) ، مما يثبت الهوية الأصلية لكوس(أ + ن) = كوس(أ) * كوس (ن).
دليل جبري
لإثبات هوية كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن) ، نستخدم نهج جبري.
نحن نعلم أن جيب تمام مجموع زاويتين يتم التعبير عنه من حيث جيب تمام هاتين الزاويتين والجيب:
| كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن — - الخطيئة (أ) * الخطيئة (ن) |
باستخدام صيغة جيب الفرق بين زاويتين: الخطيئة (أ + ن) = الخطيئة (أ) * كوس (ن) + كوس (أ) * الخطيئة (ن) ، نحصل على:
| كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن — - الخطيئة (أ) * الخطيئة (ن) |
| الخطيئة (أ + ن) = الخطيئة (أ) * كوس (ن) + كوس (أ) * الخطيئة (ن) |
الآن النظر في حالتين خاصتين:
- إذا كان = 0 ، ثم نحصل على:
| cos(п) = cos(0) * cos(п) — sin(0) * sin(п) |
| 1 = 1 * cos(п) — 0 * sin(п) |
| 1 = cos(п) |
- Если a = п, то получим:
| cos(п + п) = cos(п) * cos(п) — sin(п) * sin(п) |
| -1 = cos(п) * cos(п) — sin(п) * sin(п) |
| -1 = cos^2(п) — sin^2(п) |
| -1 = 1 — sin^2(п) |
| -1 = 1 — (1 — cos^2(п)) |
| -1 = 1 — 1 + cos^2(п) |
| -1 = cos^2(п) |
| -1 = cos(п) |
وبالتالي ، فقد أثبتنا الهوية كوس (أ +ن) = كوس (أ) * كوس (ن) في حالتين خاصتين ويمكن أن نستنتج أنه يحمل لأي قيم أ و ص.
أمثلة على تطبيق الهوية في حل المشكلات
الهوية كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن) يمكن أن تكون مفيدة في حل المشكلات المختلفة المتعلقة بعلم المثلثات. فيما يلي بعض الأمثلة على تطبيق هذه الهوية:
حساب قيمة جيب التمام لمجموع الزوايا. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد قيمة جيب التمام لمجموع زاويتين ، فيمكنك استخدام الهوية لتحليل المجموع إلى حاصل ضرب اثنين من جيب التمام. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إيجاد قيمة جيب التمام بزاوية 45 درجة زائد 30 درجة ، فيمكنك استخدام الهوية والتعبير عنها كمنتج لجيب التمام 45 درجة وجيب التمام 30 درجة.
تبسيط التعبيرات المثلثية. عند العمل مع التعبيرات المثلثية ، يمكنك استخدام الهوية لتبسيط شكلها. يمكنك تطبيق الهوية لاستبدال التعبيرات المثلثية المعقدة بتعبيرات أبسط تحتوي فقط على منتج جيب التمام.
إيجاد القيم المثلثية. إذا تم إعطاؤك قيم بعض الدوال المثلثية ، فيمكنك استخدام الهوية للعثور على قيم الدوال الأخرى. على سبيل المثال ، إذا كان معروفا أن كوس(أ) = 0.8 و كوس(ن) = 0.6 ، يمكنك استخدام الهوية للعثور على قيمة كوس(أ + ن).
وبالتالي ، فإن الهوية كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن) هي أداة مفيدة عند العمل مع التعبيرات المثلثية وحل المشكلات المتعلقة بالزوايا.
سؤال وجواب
كيفية إثبات هوية كوس(ا + ن) = كوس(ا) * كوس (ن)?
يمكن إجراء إثبات هوية كوس(أ + ن) = كوس(أ) * كوس (ن) باستخدام صيغة إضافة جيب التمام. وفقا لهذه الصيغة ، كوس ( أ + ن) = كوس(أ) * كوس(ن) — الخطيئة(أ) * الخطيئة(ن). بعد ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن الخطيئة(ن) = 0. باستبدال هذه القيمة في الصيغة ، نحصل على كوس (أ + ن) = كوس(أ) * كوس(ن) — الخطيئة(أ) * 0 = كوس(أ) * كوس(ن). وهكذا ، يتم إثبات الهوية.
كيف يمكننا إثبات أن كوس (ا + ن) = كوس (ا) * كوس (ن)?
إثبات الهوية كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن) يمكن تنفيذها باستخدام الصيغ المثلثية. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام صيغة إضافة جيب التمام: كوس(أ + ن) = كوس(أ) * كوس(ن) — الخطيئة(أ) * الخطيئة(ن). ثم تجدر الإشارة إلى أن الخطيئة(ن) = 0. باستبدال هذه القيمة في الصيغة ، نحصل على كوس (أ + ن) = كوس(أ) * كوس(ن) — الخطيئة(أ) * 0 = كوس(أ) * كوس(ن). وبالتالي ، يمكن إثبات الهوية جبريا.
قل لي كيف يمكنك إثبات الصيغة كوس(ا + ن) = كوس(ا) * كوس (ن)?
يمكن إجراء إثبات الصيغة كوس (أ + ن) = كوس (أ) * كوس (ن) باستخدام الخصائص المثلثية. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام صيغة الزاوية الثلاثية: كوس(3 أ) = 4 * كوس^3(أ) — 3 * كوس(أ). باستخدام هذه الصيغة ، يمكنك التعبير عن كوس (أ + ن) من حيث كوس(3 أ). ثم يمكنك أن ترى ذلك كوس (3 أ) = كوس (ن + 2 أ). باستبدال هذه القيمة في التعبير ، نحصل على كوس (أ + ن) = 4 * كوس ^ 3(أ) — 3 * كوس (أ). بعد ذلك ، يمكنك استخدام خصائص التكافؤ وجيب التمام الفردي لتحويل هذا التعبير إلى النموذج كوس(أ + ن) = كوس(أ) * كوس(ن).