يعد احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا مشكلة رياضية مثيرة للاهتمام. هذه المهمة مثيرة للاهتمام ليس فقط من وجهة نظر الرياضيات ، ولكن لها أيضا أهمية عملية في مجال الاتصالات الهاتفية.
لحل هذه المشكلة ، من الضروري استخدام التوافقية. في هذه الحالة ، نحتاج إلى تحديد عدد المتغيرات المحتملة لرقم مكون من 5 أرقام ، حيث ستكون جميع الأرقام مختلفة.
بالنسبة للرقم الأول من الرقم ، يمكننا اختيار أي رقم من 1 إلى 9 (نظرا لأن الرقم الأول من الرقم لا يمكن أن يكون صفرا). بالنسبة للرقم الثاني من الرقم ، يمكننا تحديد أي رقم من 0 إلى 9 ، باستثناء الرقم الأول المحدد بالفعل. وبالمثل ، بالنسبة للأرقام الثالثة والرابعة والخامسة من الرقم ، يمكننا تحديد أي رقم من 0 إلى 9 ، باستثناء الأرقام المحددة بالفعل.
ونتيجة لذلك ، فإن عدد المتغيرات المحتملة لرقم مكون من 5 أرقام ، حيث تكون جميع الأرقام مختلفة ، يساوي حاصل ضرب عدد الخيارات لكل رقم. وبالتالي ، يمكن حساب احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا بقسمة عدد الخيارات الممكنة على العدد الإجمالي للخيارات للأرقام المكونة من 5 أرقام.
- احتمال وجود أرقام مختلفة في رقم هاتف مكون من 5 أرقام
- احتمال أرقام مختلفة
- تكوين رقم مكون من 5 أرقام
- عدد المجموعات المختلفة
- احتمال أن جميع الأرقام مختلفة
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال أن تكون جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختيارها عشوائيا مختلفة?
- كيف يمكنني حساب احتمال أن في رقم هاتف 5 أرقام اتخذت عشوائيا, وجميع الأرقام تكون مختلفة?
- ما هو احتمال أن تكون جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختيارها عشوائيا مختلفة?
احتمال وجود أرقام مختلفة في رقم هاتف مكون من 5 أرقام
عندما نختار رقم هاتف مكون من 5 أرقام عشوائيا ، يمكن أن يأخذ كل رقم قيمة من 0 إلى 9. في هذه الحالة ، يمكننا اعتبار الرقم تسلسلا من خمسة أرقام ، حيث يمثل كل رقم واحدا من عشرة أرقام محتملة.
لتحديد احتمال أن تكون جميع الأرقام في رقم مختلفة ، يمكننا استخدام التوافقية. من المعروف أن هناك 10 خيارات ممكنة للرقم الأول ، و 9 خيارات ممكنة للرقم الثاني (لأنه لا يمكن أن يكون مساويا للرقم الأول) ، و 8 خيارات ممكنة للرقم الثالث ، وما إلى ذلك. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للأرقام المختلفة يساوي منتج جميع الخيارات الممكنة:
10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240
الآن ، لتحديد احتمال أن تكون جميع الأرقام في الرقم مختلفة ، نقسم عدد الأرقام المختلفة على العدد الإجمالي للأرقام الممكنة:
ع = 30 240 / 100 000 = 0.3024
وبالتالي ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا هو حوالي 0.3024 أو 30.24٪.
احتمال أرقام مختلفة
تعني الأرقام المختلفة في الرقم أن كل رقم في الرقم يجب أن يكون فريدا ولا يتكرر. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 12345 ، تختلف جميع الأرقام ، بينما بالنسبة للرقم 12234 ، لا تختلف الأرقام كلها ، حيث يتكرر الرقم 2.
يمكن حساب احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا على النحو التالي:
- إجمالي المجموعات الممكنة لعدد مكون من 5 أرقام: 105 = 100000.
- لكي تكون جميع الأرقام مختلفة ، يمكن أن يكون الرقم الأول أيا من 10 أرقام ممكنة (0-9).
- يوجد بالفعل 9 خيارات ممكنة للرقم الثاني ، حيث أن الرقم الأول مشغول بالفعل بالرقم الأول.
- وبالمثل ، هناك 8 خيارات ممكنة للرقم الثالث.
- هناك 7 خيارات متبقية للرقم الرابع.
- وأخيرا ، هناك 6 خيارات متبقية للرقم الخامس.
وبالتالي ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم مكون من 5 أرقام يساوي:
| الاحتمال | = | عدد المجموعات بأرقام مختلفة | / | مجموع التوليفات الممكنة |
| 10 * 9 * 8 * 7 * 6 | / | 100 000 | ||
| 30 240 | / | 100 000 | ||
| 0.3024 |
وبالتالي ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا هو 0.3024 أو 30.24٪.
تكوين رقم مكون من 5 أرقام
عند تجميع رقم هاتف مكون من 5 أرقام ، من المهم مراعاة أن جميع الأرقام يجب أن تكون مختلفة. هذا يعني أنه لا يمكنك استخدام نفس الرقم عدة مرات.
يمكن تقديم تجميع الرقم في شكل الخطوات التالية:
- اختيار الرقم الأول. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام أي رقم من 0 إلى 9. على سبيل المثال ، يمكنك بدء رقم بالرقم 6.
- اختيار الرقم الثاني. عند اختيار هذا الرقم ، ضع في اعتبارك أنه يجب أن يكون مختلفا عن الرقم الأول. على سبيل المثال ، إذا كان الرقم الأول هو 6 ، فيمكن أن يكون الرقم الثاني 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 أو 9.
- اختيار الرقم الثالث. وبالمثل ، يجب أن يكون الرقم الثالث مختلفا عن الأول والثاني. على سبيل المثال ، إذا كان الرقم الأول هو 6 والثاني هو 3 ، فيمكن أن يكون الرقم الثالث 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 أو 9.
- اختيار الرقم الرابع. في هذه الخطوة ، من الضروري أيضا مراعاة أنه يجب أن يختلف عن الأرقام السابقة — الأول والثاني والثالث.
- اختيار الرقم الخامس. وبالمثل ، لا ينبغي تكرار الرقم الخامس مع الأرقام السابقة — الأول والثاني والثالث والرابع.
نتيجة لذلك ، باتباع هذه الخطوات ، يمكنك إنشاء رقم هاتف مكون من 5 أرقام تكون فيه جميع الأرقام مختلفة. على سبيل المثال ، قد يبدو هذا الرقم كما يلي: 63418.
بالطبع ، هناك 9 فقط! = 362 ، 880 أرقام هواتف مختلفة محتملة مكونة من 5 أرقام ، نظرا لأن عدد الخيارات للرقم الأول هو 9 (0-9 بدون تكرار) ، للثاني-9 (0-9 بدون تكرار والأول المحدد بالفعل) ، للثالث — 8 (0-9 بدون تكرار وأول اثنين تم تحديدهما بالفعل) ، وهكذا.
يمكنك تذكر الأرقام المستخدمة بالفعل عن طريق وضع علامة عليها في جدول أو بيان آخر.
عدد المجموعات المختلفة
في مهمة جعل جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا مختلفا ، يجب أن نأخذ في الاعتبار جميع المجموعات الممكنة من الأرقام.
عند تجميع رقم مكون من 5 أرقام ، لدينا 10 خيارات للرقم الأول ، و 9 خيارات للرقم الثاني (نظرا لأننا استخدمنا بالفعل رقما واحدا) ، و 8 خيارات للرقم الثالث ، و 7 خيارات للرقم الرابع و 6 خيارات للرقم الخامس.
لإيجاد العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة ، يجب أن نضرب كل هذه الأرقام:
- 10 (خيارات الرقم الأول)
- 9 (خيارات الرقم الثاني)
- 8 (خيارات الرقم الثالث)
- 7 (خيارات الرقم الرابع)
- 6 (خيارات الرقم الخامس)
لذا ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات المختلفة يساوي حاصل ضرب كل هذه الأرقام:
| عدد الأرقام | عدد الخيارات |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 90 |
| 3 | 720 |
| 4 | 5040 |
| 5 | 30,240 |
لذا ، فإن العدد الإجمالي للمجموعات المختلفة هو 30240.
وبالتالي ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا هو 1/30 أو 240 أو حوالي 0.000033.
احتمال أن جميع الأرقام مختلفة
دعونا نتخيل أن لدينا رقم هاتف مكون من 5 أرقام يتكون من أرقام مختلفة من 0 إلى 9. نريد حساب احتمال أن تكون جميع الأرقام في هذا الرقم مختلفة.
في المجموع ، هناك 10^5 =100000 رقم مختلف مكون من 5 أرقام باستخدام أرقام من 0 إلى 9. هنا نستخدم قوة ، لأن كل موضع في الرقم يمكن أن يحتوي على أي من 10 أرقام.
لإيجاد عدد الأرقام بأرقام مختلفة ، يمكننا تطبيق المنطق التالي:
- يمكن أن يحتوي الموضع الأول للرقم على أي من 10 أرقام (0-9).
- يمكن أن يحتوي الموضع الثاني للرقم على أي من الأرقام الـ 9 المتبقية.
- يمكن أن يكون أي من الأرقام الـ 8 المتبقية في الموضع الثالث من الرقم.
- يمكن أن يحتوي الموضع الرابع للرقم على أي من الأرقام الـ 7 المتبقية.
- يمكن أن يكون أي من الأرقام الـ 6 المتبقية في الموضع الخامس من الرقم.
لذلك ، لإيجاد عدد الأرقام ذات الأرقام المختلفة ، علينا مضاعفة عدد الأرقام الممكنة في كل موضع:
10 س 9 س 8 س 7 س 6 = 30,240 أرقام مختلفة.
وبالتالي ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا هو:
ع = عدد الأرقام بأرقام مختلفة / إجمالي عدد الأرقام الممكنة = 30 ، 240 / 100 ، 000 = 0.3024 أو 30.24٪.
وبالتالي ، فإن فرصة الحصول على رقم مكون من 5 أرقام بأرقام مختلفة تبلغ حوالي 30٪.
سؤال وجواب
ما هو احتمال أن تكون جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختيارها عشوائيا مختلفة?
يمكن حساب احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا على النحو التالي. العدد الإجمالي للخيارات هو اختيار الرقم الأول من الرقم — 10 (من 0 إلى 9) ، للرقم الثاني — 9 (بما أن رقما واحدا مشغول بالفعل) ، للرقم الثالث — 8 ، للرقم الرابع — 7 وللرقم الخامس — 6. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة هو 10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 30 240. ومع ذلك ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الصفر لا يمكن أن يكون الرقم الأول من الرقم ، وبالتالي فإن عدد المجموعات الممكنة سيكون أقل: 9 * 9 * 8 * 7 * 6 = 27 648. لذلك ، فإن احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا هو 27 648 / 30 240 أو ما يقرب من 0.915.
كيف يمكنني حساب احتمال أن في رقم هاتف 5 أرقام اتخذت عشوائيا, وجميع الأرقام تكون مختلفة?
لحساب احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا ، من الضروري مراعاة عدد المجموعات الممكنة التي ستكون فيها جميع الأرقام فريدة من نوعها ، وتقسيمها على العدد الإجمالي للمجموعات. في هذه الحالة ، فإن عدد المجموعات التي تختلف فيها جميع الأرقام يساوي 9 * 9 * 8 * 7 * 6, نظرا لأن الرقم الأول لا يمكن أن يكون صفرا ، وتبقى 9 أرقام فقط تحت تصرفنا. في المجموع ، عدد المجموعات يساوي 10 * 9 * 8 * 7 * 6. بقسمة القيمة الأولى على الثانية ، نحصل على احتمال يبلغ حوالي 0.915 أو حوالي 91.5٪.
ما هو احتمال أن تكون جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختيارها عشوائيا مختلفة?
يمكن حساب احتمال اختلاف جميع الأرقام في رقم هاتف مكون من 5 أرقام تم اختياره عشوائيا عن طريق قسمة عدد المجموعات التي تختلف فيها جميع الأرقام على العدد الإجمالي للمجموعات. عدد المجموعات التي ستكون فيها جميع الأرقام فريدة يساوي 9 * 9 * 8 * 7 * 6, نظرا لأن الرقم الأول لا يمكن أن يكون صفرا ، وتبقى 9 أرقام فقط تحت تصرفنا. العدد الإجمالي للمجموعات هو 10 * 9 * 8 * 7 * 6. بقسمة القيمة الأولى على الثانية ، نحصل على احتمال يبلغ حوالي 0.915 أو حوالي 91.5٪.