عندما يتعلق الأمر بالتركيبات ، من المهم جدا أن تكون قادرا على حساب عدد التركيبات المختلفة التي يمكن الحصول عليها من عناصر معينة. أحد الأسئلة الشائعة في هذا المجال هو مسألة عدد المجموعات التي يمكن أن تتكون من عدد معين من العناصر. في هذه المقالة ، سننظر في حالة محددة: كم عدد مجموعات 7 كعكات يمكن صنعها ، بشرط أن يكون لدينا 4 أنواع فقط من الكعك?
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام نهج اندماجي. إذا كان لدينا 4 أنواع مختلفة من الكعك ، فيمكننا اختيار واحد من 4 أنواع ممكنة لكل كعكة في المجموعة. وهكذا ، بالنسبة للكعكة الأولى ، سيكون لدينا 4 خيارات ، وللثانية-مرة أخرى 4 خيارات ، وهكذا.
لإيجاد العدد الإجمالي للمجموعات ، يمكننا ضرب عدد الخيارات لكل كعكة في المجموعة. في حالتنا ، سيكون 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 4^7 = 16384.
وبالتالي ، فإن الإجابة على السؤال حول عدد مجموعات 7 كعكات في وجود 4 أصناف ستكون 16384. هذا يعني أن لدينا 16384 طريقة مختلفة لعمل مجموعة من 7 كعكات إذا كان لدينا 4 أنواع فقط من الكعك.
- عدد مجموعات الكعك
- كم عدد الطرق التي يمكنك إنشاء مجموعات?
- كيفية توزيع أصناف الكعك?
- ما الذي يحدد عدد المجموعات الممكنة?
- القيود في تجميع المجموعات
- الصيغة لحساب عدد من مجموعات
- سؤال وجواب
- كم عدد مجموعات ممكنة من 7 الكعك يمكنك جعل?
- هل من الممكن عمل مجموعة من 7 كعكات متطابقة?
- كم عدد المجموعات التي يمكن صنعها إذا كان يمكن اختيار كل مجموعة متنوعة من الكعك مرة واحدة فقط?
- هل من الممكن تضمين جميع أنواع الكعك في المجموعة?
- كم عدد المجموعات التي يمكن صنعها ، حيث سيكون هناك كعكة واحدة على الأقل من كل صنف?
عدد مجموعات الكعك
لنفترض أن لدينا 4 أنواع من الكعك: الشوكولاتة والفانيليا والفراولة والكراميل. والسؤال هو كم عدد مجموعات من 7 الكعك يمكن أن يتم باستخدام هذه الأصناف 4.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام التوافقية. التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع دراسة الأشياء التوافقية مثل التوليفات والتباديل. لتحديد عدد مجموعات الكعك ، يمكننا استخدام صيغة الجمع.
صيغة التوليفات لها الشكل:
- ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين:
- ن هو العدد الإجمالي للعناصر;
- ك هو عدد العناصر التي نريد تحديدها;
- ! - مضروب من العدد.
في حالتنا ، نريد اختيار 7 كعكات من 4 أنواع مختلفة ، لذلك ن = 4 و ك = 7. باستبدال هذه القيم في الصيغة ، نحصل على:
- ج (4 ، 7) = 4! / (7! * (4 — 7)!) = 4! / (7! * (-3)!)
تجدر الإشارة هنا إلى أن عامل الرقم السالب غير موجود ، لذلك ((4 — 7)! = (-3)! = غير محدد). وبالتالي ، فإن عدد مجموعات الكعك من 4 أصناف مختارة من 7 كعكات هو 0.
ويترتب على ذلك أنه من المستحيل عمل أي مجموعة من 7 كعكات باستخدام 4 أنواع مختلفة فقط.
كم عدد الطرق التي يمكنك إنشاء مجموعات?
من أجل تحديد عدد الطرق التي يمكن بها صنع مجموعات من 7 كعكات في وجود 4 أصناف ، من الضروري استخدام التوافقيات. في هذه المهمة ، يتم استخدام مجموعة بدون تكرار ، حيث لا يمكن تحديد كل نوع من أنواع الكيك إلا مرة واحدة.
صيغة حساب عدد المجموعات بدون تكرار هي كما يلي:
كنك = ن! / (ك!(ن-ك)!)
أين:
- نك هو عدد من مجموعات دون التكرار;
- ن هو عدد العناصر المختلفة (أنواع مختلفة من الكعك);
- ك هو عدد العناصر في كل مجموعة (عدد الكعك في المجموعة);
- ن! هو عامل الرقم ن (حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى ن).
بتطبيق هذه الصيغة على مشكلتنا واستبدال القيم ، نحصل على:
ج 47 = 4! / (7!(4-7)!)
حساب هذا التعبير ، نحصل على:
ج 47 = 4! / (7!(-3)!)
باستخدام خاصية مضروب ن! = ن * (ن-1)*... * 1 ، دعونا توسيع التعبير:
سي 47= (4 * 3 * 2 * 1) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * (-3 * -2 * -1))
تبسيط التعبير الناتج ، نحصل على:
سي 47= 4 * 3 / (3 * 2 * 1)
ج 47 = 4
وبالتالي ، من الممكن عمل 4 مجموعات مختلفة من 7 كعكات إذا كان هناك 4 أنواع.
كيفية توزيع أصناف الكعك?
عند صنع مجموعات من 7 كعكات في وجود 4 أنواع مختلفة ، من الضروري مراعاة المتغيرات المختلفة لتوزيع الأصناف وعدد كل صنف في كل مجموعة. اعتمادا على الغرض والتفضيلات ، يمكنك اختيار طرق توزيع مختلفة.
فيما يلي عدة خيارات لتوزيع أنواع مختلفة من الكعك في مجموعات:
الخيار 1: كمية متساوية من كل صنف.
- المجموعة الأولى: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة الثانية: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة الثالثة: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة الرابعة: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة الخامسة: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة السادسة: 1 كعكة من كل صنف.
- المجموعة السابعة: 1 كعكة من كل صنف.
الخيار 2: كمية غير متساوية من كل صنف.
- المجموعة الأولى: 2 كعك من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 3 كعك من الصف الرابع.
- المجموعة الثانية: 1 كعكة من الصف الأول ، 3 كعك من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 2 كعك من الصف الرابع.
- المجموعة الثالثة: 3 كعك من الصف الأول ، 2 كعك من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة الرابعة: 1 كعكة من الصف الأول ، 2 كعك من الصف الثاني ، 3 كعك من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة الخامسة: 2 كعك من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 2 كعك من الصف الثالث ، 2 كعك من الصف الرابع.
- المجموعة السادسة: 1 كعكة من الصف الأول ، 3 كعك من الصف الثاني ، 2 كعك من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة السابعة: 2 كعك من الصف الأول ، 2 كعك من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 2 كعك من الصف الرابع.
الخيار 3: مع غلبة بعض الأصناف.
- المجموعة الأولى: 4 كعك من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة الثانية: 1 كعكة من الصف الأول ، 4 كعك من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة الثالثة: 1 كعكة من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 4 كعك من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة الرابعة: 1 كعكة من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 4 كعك من الصف الرابع.
- المجموعة الخامسة: 3 كعك من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 2 كعك من الصف الرابع.
- المجموعة السادسة: 2 كعك من الصف الأول ، 3 كعك من الصف الثاني ، 1 كعكة من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
- المجموعة السابعة: 2 كعك من الصف الأول ، 1 كعكة من الصف الثاني ، 3 كعك من الصف الثالث ، 1 كعكة من الصف الرابع.
في كل خيار من هذه الخيارات ، يمكنك استخدام مجموعات مختلفة من الأصناف وكمياتها لإنشاء مجموعة متنوعة من مجموعات الكعك.
يعتمد اختيار طريقة محددة لتوزيع أنواع مختلفة من الكعك على أذواق المستهلكين المستهدفين ، وسعر الكعك ، وكذلك على الانطباع الذي تم إنشاؤه حول خيارات وتشكيلة الكعك. قد يكون التوزيع الأكثر تساويا للأصناف هو الأفضل إذا كان الهدف هو تلبية تفضيلات العملاء المختلفة ، في حين أن غلبة نوع واحد أو أكثر قد تؤكد على تفردها وتجذب اهتماما خاصا.
ما الذي يحدد عدد المجموعات الممكنة?
يعتمد عدد المجموعات الممكنة من 7 كعكات في وجود 4 أصناف على عدة عوامل:
- عدد الأصناف المتاحة من الكعك: كلما زاد عدد أنواع الكعك المتاحة ، يمكن إجراء المزيد من الخيارات للمجموعات.
- عدد الكعك في المجموعة: إذا كان يمكن أن يكون هناك كعكة واحدة فقط من كل نوع في المجموعة ، فسيكون عدد الخيارات للمجموعات محدودا بعدد الأصناف المتاحة. إذا كان هناك العديد من الكعك من نفس النوع في المجموعة ، فسيكون عدد الخيارات أكبر.
يمكن استخدام التوافقيات لتحديد العدد الدقيق للمجموعات الممكنة. في حالة وجود كعكة واحدة فقط من كل نوع في مجموعة ، يمكن حساب عدد المجموعات الممكنة على أنه عدد مجموعات الأنواع المتاحة من الكعك. في حالة وجود عدة كعكات من نفس النوع في مجموعة ، يمكن حساب عدد المجموعات الممكنة على أنه عدد المواضع من الأنواع المتاحة من الكعك.
على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 4 أنواع من الكعك ويمكن أن تحتوي كل مجموعة على كعكة واحدة من كل نوع ، فسيكون عدد المجموعات الممكنة مساويا لعدد المجموعات من 4 إلى 7 ، أي: ج(4 ، 7) = 35.
إذا كان من الممكن أن تحتوي كل مجموعة على ما يصل إلى 7 كعكات من نفس النوع ، فسيكون عدد المجموعات الممكنة مساويا لعدد المواضع من 4 إلى 7 ، أي: أ(4 ، 7) = 35 ، 280.
القيود في تجميع المجموعات
عند صنع مجموعات من 7 كعكات في وجود 4 أصناف ، تنطبق القيود التالية:
- يجب أن تحتوي كل مجموعة على 7 كعكات بالضبط.
- قد تحتوي كل مجموعة على كعكات من نوع واحد فقط أو أنواع مختلفة.
- يمكن أن يكون عدد الكعك لكل صنف أي رقم غير سالب ، ولكن يجب أن يكون مجموع الكعك من جميع الأصناف في المجموعة مساويا لـ 7.
على سبيل المثال ، قد تحتوي المجموعة على 7 كعكات من درجة واحدة ، و 6 كعكات من درجة واحدة و 1 كعكة من درجة أخرى ، أو 3 كعكات من درجة واحدة ، و 2 كعكات من درجة أخرى و 2 كعكات من الدرجة الثالثة.
بالنظر إلى هذه القيود ، يمكنك استخدام الجدول لتصور المجموعات الممكنة.:
| هذا النوع من الكعكة | عدد الكعك |
|---|---|
| الصف 1 | 0 |
| Сорт 2 | 0 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 7 |
| Сорт 1 | 1 |
| Сорт 2 | 6 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 2 |
| Сорт 2 | 5 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 3 |
| Сорт 2 | 4 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 4 |
| Сорт 2 | 3 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 5 |
| Сорт 2 | 2 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 6 |
| Сорт 2 | 1 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
| Сорт 1 | 7 |
| Сорт 2 | 0 |
| Сорт 3 | 0 |
| Сорт 4 | 0 |
Таким образом, имеется 8 возможных комбинаций для составления наборов из 7 пирожных при наличии 4 сортов.
الصيغة لحساب عدد من مجموعات
لحساب عدد مجموعات 7 كعكات في وجود 4 أصناف ، يتم استخدام صيغة اندماجية-صيغة التوليفات مع التكرار.
يمكن حساب عدد المجموعات باستخدام الصيغة:
| ن! | (رقم 1! n ن2! × ... k ناغورني كاراباخ!) |
أين:
- ن هو العدد الإجمالي للكعك;
- ن1, ن2,...، ناغورني كاراباخ-عدد الكعك من كل صنف.
في حالتنا ، العدد الإجمالي للكعك هو 7 ، وعدد الأصناف 4.
استبدل القيم في الصيغة:
| 7! | (4! × 4! × 4! × 4!) |
حساب العوامل والحصول على:
| 5040 | (24 × 24 × 24 × 24) |
لذا ، فإن عدد مجموعات 7 كعكات في وجود 4 أصناف هو 5040.
سؤال وجواب
كم عدد مجموعات ممكنة من 7 الكعك يمكنك جعل?
لتحديد عدد المجموعات الممكنة ، تحتاج إلى معرفة عدد أنواع الكعك. إذا كان لدينا 4 أنواع من الكعك ، فسيكون إجمالي المجموعات الممكنة 4 إلى قوة 7 ، أي 16384. وبالتالي ، من الممكن صنع 16384 مجموعة مختلفة من 7 كعكات.
هل من الممكن عمل مجموعة من 7 كعكات متطابقة?
نعم ، يمكن إجراء مثل هذه المجموعة. إذا كان لدينا نوع واحد فقط من الكعك ، فيمكننا أن نأخذ 7 كعكات من نفس النوع ونصنع مجموعة منها.
كم عدد المجموعات التي يمكن صنعها إذا كان يمكن اختيار كل مجموعة متنوعة من الكعك مرة واحدة فقط?
إذا كان من الممكن اختيار كل مجموعة متنوعة من الكعك مرة واحدة فقط ، فيمكن اختيار كل من 7 كعكات من 4 أصناف متاحة. اتضح أن إجمالي المجموعات الممكنة سيكون مساويا لمنتج 4 في 3 في 2 في 1 في 1 ، أي 24 مجموعة مختلفة.
هل من الممكن تضمين جميع أنواع الكعك في المجموعة?
نعم ، فمن الممكن أن تشمل جميع أصناف 4 من الكعك في مجموعة من 7 الكعك. في هذه الحالة ، سيتم تقديم كل مجموعة متنوعة من الكعك في المجموعة مرة واحدة ، ويمكن اختيار آخر 3 كعكات من أي من 4 أصناف. وبالتالي ، سيكون هناك 4 مجموعات مختلفة في المجموع ، حيث سيتم تضمين جميع أنواع الكعك.
كم عدد المجموعات التي يمكن صنعها ، حيث سيكون هناك كعكة واحدة على الأقل من كل صنف?
لعمل مجموعة حيث سيكون هناك كعكة واحدة على الأقل من كل صنف ، يجب أن نختار كعكة واحدة من كل نوع من الأصناف الـ 4 المتاحة. بعد ذلك ، سيكون لدينا 3 كعكات متبقية ، والتي يمكننا الاختيار من بين أي من 4 أصناف. وبالتالي ، فإن إجمالي المجموعات الممكنة سيكون مساويا لمنتج 4 في 4 في 4 ، أي 64 مجموعة مختلفة.