أثبت أن الرسم البياني بخمس رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 غير موجود

لإثبات عدم وجود رسم بياني بخمسة رؤوس والدرجات المحددة ، يمكننا استخدام مبدأ القفاز ، المعروف أيضا باسم مبدأ المصافحة. ينص هذا المبدأ على أن مجموع درجات جميع رؤوس الرسم البياني يساوي دائما ضعف عدد حوافه.

لدينا الرسم البياني مع خمسة القمم والدرجات 4, 4, 4, 4, 2, مجموع درجات القمم هو 18. إذا كان مثل هذا الرسم البياني موجودا ، فيجب أن يكون مجموع درجات رؤوسه مساويا لـ 2 مضروبا في عدد حوافه. ومع ذلك ، بالنسبة للرسوم البيانية ذات العدد الفردي من الحواف ، فإن هذا الشرط غير راض.

وبالتالي ، لا يوجد رسم بياني بخمس رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 ، لأن مجموع درجات رؤوسه لا يفي بشروط مبدأ المصافحة.

1. تعريف المفاهيم
2. إثبات بدرجات القمم
3. بناء الرسم البياني
4. تحليل الرسم البياني
5. سؤال وجواب
6. لماذا تثبت أن مثل هذا الرسم البياني غير موجود?
7. ما هي العلاقة بين درجات القمم ووجود الرسم البياني?
8. لماذا هو الرسم البياني مع خمسة القمم ودرجات 4, 4, 4, 4, 2 مستحيل?
9. كيف يمكننا أن نثبت أن الرسم البياني مع خمسة القمم ودرجات 4, 4, 4, 4, 2 غير موجود?

تعريف المفاهيم

الرسم البياني هو بنية رياضية مجردة عبارة عن مجموعة من الرؤوس المتصلة بالحواف.

رأس (أو عقدة) الرسم البياني هو أحد عناصره التي يمكن توصيلها برؤوس أخرى بواسطة الحواف.

حافة الرسم البياني هي اتصال بين رأسين ، مما يشير إلى وجود علاقة أو علاقة بينهما.

وزن الحافة هو قيمة عددية يمكن تعيينها لكل حافة من الرسم البياني وتمثل بعض خصائص الاتصال بين الرؤوس.

درجة الرأس هي عدد الحواف التي تربط رأسا معينا برؤوس أخرى من الرسم البياني.

الرسم البياني الكامل هو رسم بياني يتم فيه توصيل كل رأس مباشرة بكل رأس آخر.

الرسم البياني غير الموجه هو رسم بياني لا تحتوي فيه الحواف على اتجاهات وتكون الوصلات بين الرؤوس على الوجهين.

الرسم البياني الموجه هو رسم بياني يكون فيه للحواف اتجاهات وتكون الوصلات بين الرؤوس أحادية الاتجاه.

الرسم البياني العادي هو رسم بياني يكون فيه لجميع الرؤوس نفس الدرجة.

الفهرس الرسومي الأصغر هو مؤشر رقمي يميز السمات الهيكلية للرسم البياني ويتم حسابه باستخدام الصيغة: مغي = مجموع (درجة قمة الرأس * (درجة قمة الرأس-1)) / 2.

فرضية غرانت (المعروف أيضا باسم فرضية الرسم البياني 5) هو البيان أنه لا يوجد رسم بياني مع خمسة القمم والدرجات 4, 4, 4, 4, 2.

إثبات بدرجات القمم

لنثبت أن الرسم البياني الذي يحتوي على خمسة رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 غير موجود.

في الرسم البياني بخمسة رؤوس ، يمكن أن يكون لكل رأس درجة من 0 إلى 4. إذا كانت جميع الرؤوس الخمسة تحتوي على درجة 4 ، فإن الدرجة الإجمالية للرسم البياني ستكون 20 ، وهو ما يتعارض مع الخاصية الأساسية للرسوم البيانية: مجموع درجات الرؤوس في الرسم البياني يساوي ضعف عدد الحواف.

لذلك ، يجب أن يكون رأس واحد على الأقل درجة أقل من 4. لنفترض أن هناك قمة درجتها 2. ثم هناك 18 درجة متبقية ، والتي يجب توزيعها بين الرؤوس الأربعة المتبقية.

لنفترض أن كل رأس من الرؤوس الأربعة المتبقية له درجة 4. ثم ستكون الدرجة الإجمالية 18، والتي تتناقض مع الخاصية الأساسية للرسوم البيانية. هذا يعني أن هذا الافتراض غير صحيح.

بدلا من ذلك ، يمكننا أن نفترض أن واحدا على الأقل من الرؤوس الأربعة المتبقية لديه درجة أقل من 4. ومع ذلك ، نظرا لأن جميع الرؤوس (باستثناء واحدة بدرجة 2) يجب أن يكون لها درجة 4 على الأقل ، فإن الدرجة الإجمالية ستكون 16 على الأقل. ولكن عندما تتجاوز الدرجة الإجمالية للرسم البياني 16 ، ينشأ تناقض بين عدد الرؤوس وعدد الحواف في الرسم البياني.

وهكذا ، ثبت أن الرسم البياني مع خمسة رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 غير موجود.

بناء الرسم البياني

الرسم البياني عبارة عن بنية بيانات مجردة تتكون من رؤوس وحواف تربط الرؤوس. لإنشاء رسم بياني بالخصائص المحددة ، تحتاج إلى تنفيذ الخطوات التالية:

1. حدد عدد الرؤوس في الرسم البياني. في هذه الحالة ، نحتاج إلى إنشاء رسم بياني بخمسة رؤوس.
2. تحديد درجات كل قمة. تحدد درجة الرأس عدد الحواف المرتبطة برأس معين. في هذه الحالة ، نحصل على درجات الرؤوس: 4, 4, 4, 4, 2.
3. إضافة تدريجيا حواف بين القمم ، مع الأخذ بعين الاعتبار درجاتهم. يجب توصيل كل حافة برأسين. في الوقت نفسه ، يجب أن تكون درجة كل قمة مساوية للدرجة المحددة.
4. تحقق من أنه يمكن إنشاء رسم بياني بالخصائص المحددة. للقيام بذلك ، تأكد من أن مجموع درجات جميع القمم يساوي ضعف عدد حواف الرسم البياني.

في حالة الرسم البياني بخمس رؤوس ودرجات 4, 4, 4, 4, 2, مجموع الدرجات يساوي 18 (4+4+4+4+2), وعدد الحواف المضاعف هو 20 (10 * 2). وبالتالي ، فإن مجموع درجات جميع الرؤوس لا يساوي ضعف عدد الحواف ، مما يعني أنه لا يمكن إنشاء رسم بياني بخصائص معينة.

يعد بناء الرسم البياني مهمة مهمة في نظرية الرسم البياني ويستخدم في مختلف المجالات ، بما في ذلك علوم الكمبيوتر ولوجستيات النقل والشبكات الاجتماعية وغيرها. يتيح لك فهم المبادئ الأساسية لبناء الرسم البياني حل مجموعة متنوعة من المهام المتعلقة بتحليلها وتحسينها.

تحليل الرسم البياني

لإثبات عدم وجود رسم بياني بخمس رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 ، من الضروري تحليل الرسم البياني والتحقق من استيفاء الشروط اللازمة.

1. كل رأس من الرسم البياني له درجة تحدد عدد الحواف المتصلة برأس معين. في هذه الحالة ، يحتوي الرسم البياني على خمسة رؤوس ، ويتم إعطاء درجاتها على النحو التالي 4, 4, 4, 4, 2.

2. يجب أن يحتوي الرسم البياني بهذه الدرجات على إجمالي عدد الحواف يساوي ضعف مجموع درجات جميع الرؤوس ، لأن كل حافة تربط رأسين. في هذه الحالة ، الدرجة الكلية للرؤوس هي 18 (4+4+4+4+2), ومجموع الدرجات المضاعف هو 36 (2*18).

3. الآن من الضروري التحقق مما إذا كان هذا العدد من الحواف صالحا للرسم البياني مع خمسة رؤوس. للحصول على رسم بياني كامل بخمسة رؤوس ، يكون العدد الإجمالي للحواف هو (5*(5-1))/2 = 10. إذا كان عدد الحواف أكثر من 10 ، فلا يمكن أن يوجد رسم بياني بهذه الدرجات.

4. في هذه الحالة ، هناك 36 حواف ، وهو أكثر من 10. لذلك ، لا يمكن أن يوجد رسم بياني بخمس رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2.

وبالتالي ، من خلال تحليل الرسم البياني ، يمكن إثبات أن الرسم البياني بخمس رؤوس ودرجات 4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 2 غير موجود.

سؤال وجواب

لماذا تثبت أن مثل هذا الرسم البياني غير موجود?

في بعض الأحيان تنشأ مشاكل في الرياضيات تتطلب دليلا على عدم وجود أشياء معينة. في هذه الحالة ، نريد أن نوضح أن الرسم البياني بخصائص معينة مستحيل. يساعدنا هذا على فهم خصائص الرسوم البيانية وحدودها بشكل أفضل.

ما هي العلاقة بين درجات القمم ووجود الرسم البياني?

درجة رأس الرسم البياني هي عدد الحواف المجاورة لرأس معين. إذا كان هناك رأس في الرسم البياني لا تفي درجته بالخصائص المطلوبة ، فلا يمكن أن يوجد مثل هذا الرسم البياني.

لماذا هو الرسم البياني مع خمسة القمم ودرجات 4, 4, 4, 4, 2 مستحيل?

لنفترض أن لدينا رسما بيانيا بخمس رؤوس ودرجات 4, 4, 4, 4, 2. يجب أن تكون درجة كل رأس مساوية لعدد الحواف التي تقع على هذا الرأس. عند جمع درجات الرؤوس ، نحصل على 18 ، مقسوما على 2 بدون الباقي. لكن يجب أن يكون عدد الحواف في الرسم البياني متساويا ، لأن كل حافة تقع على رأسين. نحصل على التناقض القائل بأن الرسم البياني لا يمكن أن يوجد.

كيف يمكننا أن نثبت أن الرسم البياني مع خمسة القمم ودرجات 4, 4, 4, 4, 2 غير موجود?

يمكنك استخدام نظرية المصافحة ، والتي تنص على أن مجموع درجات جميع رؤوس الرسم البياني يساوي ضعف عدد الحواف. في هذه الحالة ، يكون مجموع درجات الرؤوس 18 ، ويجب أن يكون العدد المضاعف للحواف رقما زوجيا. لكن الرسم البياني الذي يحتوي على خمسة رؤوس يمكن أن يحتوي على 4 أو 6 حواف فقط. اتضح أنه تناقض ، ونحن نثبت أن الرسم البياني مع هذه الخصائص غير موجود.