الشكل التربيعي هو تعبير رياضي يتكون من مربعات المتغيرات ومنتجاتها. يمكن أن يكون هناك العديد من المتغيرات في الشكل التربيعي ، ولكن من أجل البساطة ، دعنا نفكر في الحالة بمتغير واحد.
يطلق على الشكل التربيعي اسم محدد موجب إذا أخذ قيما موجبة لجميع القيم غير الصفرية للمتغير. بمعنى آخر ، لا يمكن أن يكون سالبا أو يساوي صفرا.
يمكن كتابة حالة اليقين الإيجابي للشكل التربيعي رياضيا: لأي قيمة غير صفرية للمتغير س ، الشكل التربيعي س (س) يجب أن يكون أكبر من الصفر. يمكن كتابة هذا على أنه عدم مساواة:
س (س) > 0, حيث س 0 0.
مثال على شكل تربيعي محدد موجب هو النموذج ف (س) = س^2 + 4س + 4. بالنسبة لأي قيمة غير صفرية للمتغير س ، يأخذ هذا الشكل التربيعي قيما أكبر من الصفر. وبالتالي ، فمن المؤكد بشكل إيجابي.
- تعريف وخصائص الشكل التربيعي
- شروط اليقين الإيجابي
- أمثلة على الأشكال التربيعية المحددة بشكل إيجابي
تعريف وخصائص الشكل التربيعي
الشكل التربيعي هو دالة لعدة متغيرات ، وهو مجموع مربعات هذه المتغيرات ومنتجاتها ذات المعاملات. رسميا ، يتم تعريف الشكل التربيعي على النحو التالي:
س (س) = أ 11 س 12 + أ 22 س 22 + ... + 2 + 2ا12ا1ا2 + 2ا13ا1ا3 + ... + 2إن-1إن-1إن
حيث إيج هي معاملات ، الحادي عشر هي المتغيرات.
خصائص الشكل التربيعي:
- إذا كانت جميع المعاملات أيج هي صفر ، ثم الشكل التربيعي ف (س) هو أيضا صفر لجميع قيم المتغيرات س. وتسمى هذه الخاصية عدم الانحطاط.
- أ الشكل التربيعي س (س) يسمى متماثل إذا كانت معاملاته ايج تساوي معاملات اجي للجميع أنا و ي. بمعنى آخر ، ف(س) = كيو تي(س) ، حيث كيو تي هي المصفوفة المنقولة ف(س).
- الشكل التربيعي المتماثل ف(س) يعرف دالة تربيعية و (س) = إكستكس ، أين س هو متجه للمتغيرات. وبعبارة أخرى ، فإن قيمة الدالة التربيعية للمتجه س تساوي قيمة الشكل التربيعي لنفس المتجه.
- إذا كان الشكل التربيعي المتماثل ف(س) تم تعريفه بشكل إيجابي ، فهذا يعني أنه بالنسبة لأي متجه غير صفري س ، فإن قيمة الدالة التربيعية و (س) = إكستكس موجب دائما. هذه الخاصية تسمى اليقين الإيجابي.
تستخدم الأشكال التربيعية على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء ، وخاصة في الجبر الخطي ونظرية التحسين. يلعبون دورا مهما في تعريف وتحليل المصفوفات وفي تطبيق طرق التحسين لحل المشكلات المختلفة.
شروط اليقين الإيجابي
يكون الشكل التربيعي موجبا محددا إذا تم استيفاء الشروط التالية:
- جميع القاصرين الرئيسيين في الشكل التربيعي موجبون. القصر الرئيسيون هم العناصر القطرية لمصفوفة تربيعية. إذا كانت جميع القاصرين الرئيسيين أكبر من الصفر ، فهذا يشير إلى أن الشكل التربيعي محدد بشكل إيجابي.
- الشكل التربيعي له قيم ذاتية موجبة فقط. القيم الذاتية للشكل التربيعي هي جذور المعادلة المعطاة بواسطة فأس النسبة = أوشكس ، حيث أ هي مصفوفة الشكل التربيعي ، is هي القيمة الذاتية ، س هو المتجه الذاتي. إذا كانت جميع القيم الذاتية موجبة ، فهذا يضمن التحديد الإيجابي للشكل التربيعي.
- يجب أن يحافظ أي تحويل خطي لشكل تربيعي على تحديده الإيجابي. هذا يعني أنه إذا أ هي مصفوفة من الشكل التربيعي و ب هي مصفوفة من التحويل الخطي ، فيجب استيفاء شروط اليقين الإيجابي للشكل التربيعي الجديد ج = بتاب.
إذا تم استيفاء جميع شروط اليقين الإيجابي للشكل التربيعي ، فهذا يعني أنه يأخذ دائما قيما موجبة لجميع المتجهات غير الصفرية لبيانات الإدخال.
مثال:
ضع في اعتبارك الشكل التربيعي في الفضاء ثلاثي الأبعاد:
| إكس 1 | إكس 2 | إكس 3 | |
|---|---|---|---|
| إكس 1 | 2 | 1 | 0 |
| إكس 2 | 1 | 3 | 1 |
| إكس 3 | 0 | 1 | 4 |
بالنسبة لهذا الشكل التربيعي ، فإن جميع القاصرين الرئيسيين موجبون ، وجميع القيم الذاتية موجبة ، وتحتفظ بالتأكيد الإيجابي تحت أي تحويل خطي. لذلك ، يتم تعريفه بشكل إيجابي.
أمثلة على الأشكال التربيعية المحددة بشكل إيجابي
الشكل التربيعي المحدد الموجب هو شكل تربيعي بحيث لأي متجه غير صفري س ، الشكل التربيعي ف (س) سيكون دائما موجبا ، أي ف(س) > 0.
فيما يلي بعض الأمثلة على الأشكال التربيعية المحددة بشكل إيجابي: