إثبات أن مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية يقبل القسمة على 3

تقترح هذه المهمة إثبات أن مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية يقبل القسمة على 3. بادئ ذي بدء ، دعونا نتذكر أن مربع الرقم يساوي حاصل ضرب هذا الرقم في حد ذاته. وهذا هو ، إذا كان لدينا سلسلة من الأرقام-ن ، ن + 1 و ن + 2 ، ثم مربعاتها ستكون مساوية ن^2 ، (ن+1)^2 و (ن+2)^2 ، على التوالي.

نحتاج الآن إلى إثبات أن مجموع هذه المربعات زائد واحد يقبل القسمة على 3. يمكننا أن نأخذ المبلغ الأصلي ونقسمه على 3. إذا كانت النتيجة عددا صحيحا ، فهذا يعني أن العبارة الأصلية صحيحة.

بادئ ذي بدء ، دعنا نفتح الأقواس في التعبير (ن^2 + 2 ن + 1) + (ن^2 +4 ن + 4) + (ن^2 +6 ن + 9). بعد العمليات الحسابية المعتادة ، نحصل على 3ن^2 + 12ن + 14.

نرى أن لدينا مقسوما على 3 في الأجزاء الثلاثة من المجموع الأصلي ، لذلك يبقى أن نوضح أن مجموع مربعات المخلفات عند القسمة على 3 وحدات سيتم تقسيمه أيضا على 3. يمكن القيام بذلك عن طريق التحقق من كل الباقي (0 و 1 و 2) عند القسمة على 3.

1. نظرية على القسمة من مجموع واحد مع الساحات من ثلاثة أرقام متتالية بنسبة 3
2. صياغة النظرية
3. دليل على النظرية
4. مثال
5. سؤال وجواب

نظرية على القسمة من مجموع واحد مع الساحات من ثلاثة أرقام متتالية بنسبة 3

تنص هذه النظرية على أن مجموع واحد يتم دمجه مع مجموع مربعات ثلاثة أرقام متتالية ، وهو قابل للقسمة على 3.

رسميا ، يمكنك الكتابة:

نظرية: طول تسلسل الأرقام هو 3. إذا تم الإشارة إلى الأرقام على أنها ن, ن + 1 و ن + 2 ، ثم مجموع وحدات ومربعات هذه الأرقام ، أي (ن +(ن + 1) +(ن + 2))^2 مقسوما على 3.

وبالتالي ، فإننا نمثل مجموع واحد من خلال مجموعات من سلسلة من الأرقام والعثور على مربع لها. ثم نتحقق من قابلية هذا المجموع للقسمة على 3.

للحصول على تأكيد تجريبي لهذه النظرية ، يمكننا استخدام الجدول:

التحقق من النظرية باستخدام مثال أرقام محددة

كما يتضح من الجدول ، بالنسبة لجميع الأمثلة الثلاثة ، فإن مجموع الأرقام ووحدات المربعات قابل للقسمة على 3. وبالتالي ، هذا يؤكد نظريتنا.

صياغة النظرية

نظرية:

مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية يقبل القسمة على 3.

دليل:

دع ثلاثة أرقام متتالية تعطى:

ثم سيكون مجموع واحد مع مربعات هذه الأرقام:

(أ + 1)^2 + أ^2 +(أ + 2)^2 + 1 = أ^2 + 2 أ + 1 + أ^2 + أ^2 + 4 أ + 4 + 1 =

3 أ^2 + 6 أ + 6 = 3 (أ^2 + 2 أ + 2)

وبالتالي ، فإن مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية هو حاصل ضرب الرقم 3 ببعض الأعداد الصحيحة (أ^2 +2 أ +2) ، وهو تعريف القسمة على 3 بدون الباقي. تم إثبات النظرية.

دليل على النظرية

لإثبات النظرية القائلة بأن مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية يقبل القسمة على 3 ، نستخدم طريقة الحث الرياضي.

الخطوة 1: تحقق من صحة العبارة بالنسبة للرقم الأولي.

دع رقمنا الأول يكون ن = 1. ثم مجموع واحد مع المربعات من ثلاثة أرقام متتالية سيكون مساويا ل:

1. 1
2. 1 + 1 = 2
3. 1 + 4 = 5

نرى أن المجموع لا يقبل القسمة على 3. وهكذا ، ل ن = 1 ، لم يتم الوفاء بالبيان.

الخطوة 2: افترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام ك:

1 + ك2 +(ك+1)2 + (ك+2) 2 يقبل القسمة على 3.

الخطوة 3: إثبات أن العبارة صحيحة أيضا بالنسبة للرقم ك+1:

دعنا نكتب مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية لـ ك + 1:

1. 1 + (ك + 1) 2 +(ك + 2) 2 +(ك + 3) 2
2. 1 + ك2 + 2ك + 1 + ك2 + 4ك + 4 + ك2 + 6ك + 9
3. 3ك2 + 12ك + 15
4. 3 (ك2 + 4ك + 5)

المعادلة قابلة للقسمة على 3 ، منذ ذلك الحين (ك2 + 4ك + 5) هو عدد صحيح. وبالتالي ، فإن العبارة صحيحة أيضا بالنسبة للرقم ك+1.

لذلك ، يتم إثبات بيان النظرية من خلال طريقة الحث الرياضي. مجموع واحد مع مربعات ثلاثة أرقام متتالية يقبل القسمة دائما على 3.

مثال

النظر في سلسلة من ثلاثة أرقام: ن ، ن + 1 ، ن + 2.

ثم تكون مربعاتهم مساوية لـ: ن^2 ، (ن+1)^2 ، (ن+2)^2.

يتم حساب مجموع هذه المربعات على النحو التالي:

كما يتضح من التعبير ، يتكون المجموع من ثلاثة مصطلحات.

المصطلح الأول 3ن^2 يقبل القسمة على 3.

الحد الثاني 6 ن يقبل القسمة على 3.

الحد الثالث 5 لا يقبل القسمة على 3.

وبالتالي ، فإن مجموع 3ن^2 + 6ن + 5 يقبل القسمة على 3.

سؤال وجواب