أثبت أن التسلسل أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يختلف فيها كل عنصر لاحق عن العنصر السابق بنفس الرقم. إذا كان التسلسل = 5 + 2ن هو تقدم حسابي ، فيجب الحصول على كل عنصر لاحق بإضافة نفس الثابت إلى العنصر السابق.

لإثبات ذلك ، ضع في اعتبارك المصطلحات القليلة الأولى من التسلسل:

أ1 = 5 + 2 * 1 = 7

أ2 = 5 + 2 * 2 = 9

أ3 = 5 + 2 * 3 = 11

للتأكد من أن الفرق بين كل عنصر لاحق هو 2 ، ضع في اعتبارك الفرق بين الأعضاء المتجاورين في التسلسل:

أ2-أ1 = (5 + 2 * 2) — (5 + 2 * 1) = 9 — 7 = 2

أ3-أ2 = (5 + 2 * 3) — (5 + 2 * 2) = 11 — 9 = 2

وبالتالي ، يمكن ملاحظة أن كل فرق بين المصطلحات المتجاورة يساوي 2 ، مما يؤكد أن التسلسل يتم إعطاؤه بواسطة تقدم حسابي.

1. حالة مشكلة التسلسل أب = 5 + 2 ن
2. تعريف التقدم الحسابي وصيغة المصطلح المشترك
3. مبادئ التحقق من التسلسل للتقدم الحسابي
4. إثبات أن أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي
5. العثور على العضو الأول أ1 من التسلسل
6. إيجاد الفرق في التقدم
7. دليل على المساواة في نالمصطلح التاسع من التسلسل أ والمصطلح المشترك للتقدم
8. الخصائص الأساسية للتقدم الحسابي
9. سؤال وجواب
10. كيف يمكننا إثبات أن التسلسل ا ف ب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي?
11. كيفية تحديد الفرق في التقدم الحسابي وفقا لصيغة التسلسل ان = 5 + 2ن?
12. ما هي أهمية المصطلح الأول للتقدم الحسابي مع الصيغة ان = 5 + 2ن?

حالة مشكلة التسلسل أب = 5 + 2 ن

التسلسل أب معطى ، يعرف بأنه أب = 5 + 2ن ، أين ن هو رقم طبيعي.

من الضروري إثبات أن هذا التسلسل هو تقدم حسابي.

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يتم فيها الحصول على كل مصطلح لاحق عن طريق إضافة نفس الرقم إلى الرقم السابق ، والذي يسمى اختلاف التقدم.

لإثبات أن هذا التسلسل هو تقدم حسابي ، تحتاج إلى التحقق من أن اختلاف التسلسل أب+1 — أب يساوي عددا ثابتا لجميع قيم ن.

احسب قيم التسلسل للأعداد الطبيعية القليلة الأولى:

يمكنك أن ترى أن الفرق في التقدم هو 2.

وبالتالي ، فإن قيمة فرق التقدم ثابتة لجميع قيم ن ، مما يعني أن التسلسل أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي.

تعريف التقدم الحسابي وصيغة المصطلح المشترك

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يتم فيها الحصول على كل عنصر لاحق عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق.

صيغة المصطلح العام للتقدم الحسابي لها الشكل:

أين:

• هو نالمصطلح التاسع من التقدم الحسابي
• أ1 هو المصطلح الأول للتقدم الحسابي
• د هو الفرق بين أي فترتين متتاليتين
• ن هو رقم مصطلح التقدم الحسابي

لإثبات أن التسلسل = 5 + 2ن هو تقدم حسابي ، تحتاج إلى التحقق من أن الفرق بين أي فترتين متتاليتين ثابت. في هذه الحالة ، يكون الفرق هو 2 ، مما يؤكد أن هذا التسلسل هو تقدم حسابي.

مبادئ التحقق من التسلسل للتقدم الحسابي

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام التي يتم فيها الحصول على كل عنصر لاحق من العنصر السابق عن طريق إضافة نفس الرقم ، يسمى الخطوة أو الاختلاف.

يمكن التحقق مما إذا كان تسلسل معين هو تقدم حسابي باستخدام عدة مبادئ.

1. تحليل الفرق

   واحدة من أبسط الطرق للتحقق مما إذا كان التسلسل هو تقدم حسابي هي تحليل الفرق بين كل عنصرين متجاورين. إذا كان الفرق بينهما ثابتا ، فهذا يشير إلى تقدم حسابي.

2. حساب الخطوة

   إذا كان الفرق بين كل عنصرين متجاورين في التسلسل ثابتا ، فإنه يساوي خطوة التقدم الحسابي. تتمثل إحدى طرق حساب الخطوة في تحديد عنصرين متجاورين والفرق بينهما.

3. عناصر التقدم

   يتضمن التحقق من تسلسل التقدم الحسابي أيضا تحليل كل عنصر على حدة. إذا تم التعبير عن كل عنصر من خلال العنصر السابق باستخدام فرق ثابت ، فهذا يشير أيضا إلى أن التسلسل هو تقدم حسابي.

عند التحقق من تسلسل التقدم الحسابي ، من المهم مراعاة جميع العناصر والاختلافات بينها. حتى عنصر واحد مفقود أو عدم ثبات الاختلاف قد يشير إلى أن التسلسل ليس تقدما حسابيا.

إثبات أن أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي

بادئ ذي بدء ، من الضروري أن نفهم ما هو التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يتم فيها الحصول على كل عنصر لاحق عن طريق إضافة نفس الرقم (يسمى الفرق) إلى العنصر السابق. إذا تم الإشارة إلى عناصر التقدم على أنها أ1, أ2, أ3, ...، و ، ثم سيتم الإشارة إلى الفرق على أنه د.

في هذه المشكلة ، لدينا تسلسل أب = 5 + 2ن ، أين ن هو رقم عنصر التقدم.

لإثبات أن تسلسلا معينا هو تقدم حسابي ، تحتاج إلى التأكد من أن الفرق بين العناصر المجاورة ثابت.

النظر في أول عنصرين:

دعونا نتحقق مما إذا كان الفرق بين هذين العنصرين هو 2:

وبالتالي ، فإن الفرق بين العناصر المجاورة هو 2. لذلك ، فإن التسلسل أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي مع اختلاف د = 2.

والدليل هو الآن كاملة.

العثور على العضو الأول أ1 من التسلسل

من أجل إيجاد الحد الأول أ1 من التسلسل ، من الضروري استبدال رقم هذا المصطلح في صيغة التسلسل وحساب القيمة. في هذه الحالة ، يتم إعطاؤنا صيغة التسلسل أب = 5 + 2ن.

لإيجاد الحد الأول من التسلسل ، نحتاج إلى استبدال القيمة ن = 1:

أ1 = 5 + 2*1 = 5 + 2 = 7.

وبالتالي ، فإن المصطلح الأول من التسلسل هو 7.

يمكن أيضا ملاحظة أن المصطلح الأول من التسلسل سيكون دائما مساويا للمصطلح الأولي لـ إذا كان التسلسل عبارة عن تقدم حسابي.

إيجاد الفرق في التقدم

لإثبات أن التسلسل أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي ، تحتاج إلى إيجاد الفرق (د) لهذا التقدم.

يتم تعريف اختلاف التقدم (د) على أنه اختلاف أي فترتين متتاليتين للتقدم. في هذه الحالة ، يمكنك تحديد عضوين تعسفيين من التسلسل وحساب الفرق بينهما.

دعنا نختار مصطلحين تعسفيين للتسلسل: أ1 = 5 + 2*1 = 7 و أ2 = 5 + 2*2 = 9.

الآن يمكننا حساب فرق التقدم:

د = أ2-أ1 = 9 - 7 = 2.

وبالتالي ، فإن الفرق في تقدم أب = 5 + 2ن هو 2. هذا يؤكد أن هذا التسلسل هو تقدم حسابي بفارق د = 2.

دليل على المساواة في نالمصطلح التاسع من التسلسل أ والمصطلح المشترك للتقدم

لإثبات المساواة في نالمصطلح التاسع من التسلسل أ والمصطلح الشائع للتقدم الحسابي ، من الضروري مقارنة الصيغ لكلتا الحالتين.

التسلسل:

1. التسلسل الأولي : أن = 5 + 2ن
2. البديل ن = 1: أ 1 = 5 + 2 * 1 = 7
3. البديل ن = 2: أ 2 = 5 + 2 * 2 = 9
4. البديل ن = 3: أ 3 = 5 + 2 * 3 = 11
5. …

التقدم الحسابي:

1. التقدم الأولي : أن = أ1 + (ن-1)د
2. البديل أ1 = 5 و د = 2: أن = 5 + (ن-1) * 2
3. البديل ن = 1: أ 1= 5 + (1-1) * 2 = 5
4. البديل ن = 2: أ 2= 5 + (2-1) * 2 = 7
5. البديل ن = 3: أ 3= 5 + (3-1) * 2 = 9
6. …

كما يتضح من مقارنة الصيغ ، فإن نالمصطلح التاسع من التسلسل أ والمصطلح الشائع للتقدم الحسابي متساويان مع بعضهما البعض:

وبالتالي ، فإن التسلسل = 5 + 2ن هو تقدم حسابي.

الخصائص الأساسية للتقدم الحسابي

التقدم الحسابي (أ. ب.) عبارة عن سلسلة من الأرقام يتم فيها الحصول على كل عنصر لاحق من العنصر السابق عن طريق إضافة نفس الرقم إليه ، يسمى أ.فرق.

الخصائص الأساسية للتقدم الحسابي:

1. الفرق من أ. ب. يساوي الفرق بين أي عضوين متجاورين في التسلسل. يشار إليه بالحرف د.
2. العضو الأول في أ. يشار إليه بالحرف أ1.
3. يشار إلى العضو المشترك في أ. ب بالحرف أ.

صيغة العضو المشترك في أ. ب.:

أن = أ1 + (ن — 1)د

أين أ هو ن العضو التاسع في أ. ب. ، أ 1 هو العضو الأول في أ. ب. ، د هو فرق أ. ب. ، ن هو رقم عضو أ. ب.

مجموع أعضاء ن الأول من أ. ب.:

سن = ن (أ1 + أ) / 2

أين سن هو مجموع الأول ن أعضاء أ. ب. ، أ1 هو العضو الأول في أ. ب. ، أ هو ن العضو التاسع في أ. ب. ، ن هو عدد أعضاء أ. ب.

مثال:

في هذا المثال ، الفرق من أ. ب هو 2 ، الحد الأول من أ. ب هو 5 ، ويمكن التعبير عن الحد الإجمالي ل أ. ب باستخدام الصيغة أن = 5 + 2 (ن — 1).

سؤال وجواب

كيف يمكننا إثبات أن التسلسل ا ف ب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي?

لإثبات أن التسلسل أب = 5 + 2ن هو تقدم حسابي ، من الضروري التحقق مما إذا كانت حالة التقدم الحسابي قد تم الوفاء بها. يسمى التسلسل بالتقدم الحسابي إذا تم الحصول على كل عضو في هذا التسلسل من العضو السابق في التسلسل عن طريق إضافة نفس الرقم ، والذي يسمى اختلاف التقدم الحسابي.

كيفية تحديد الفرق في التقدم الحسابي وفقا لصيغة التسلسل ان = 5 + 2ن?

في صيغة التسلسل أن = 5 + 2ن ، فرق التقدم الحسابي يساوي المعامل عند ن ، أي 2. يشير هذا الرقم إلى مقدار زيادة كل عضو في التسلسل مقارنة بالرقم السابق. وبالتالي ، فإن الفرق في التقدم الحسابي في هذه الحالة هو 2.

ما هي أهمية المصطلح الأول للتقدم الحسابي مع الصيغة ان = 5 + 2ن?

في التقدم الحسابي بالصيغة أن = 5 + 2ن ، يمكن العثور على الحد الأول من التسلسل عن طريق استبدال القيمة ن = 1 في الصيغة. وبالتالي ، فإن المصطلح الأول للتقدم الحسابي يساوي 7 (5 + 2 * 1 = 7).