ما هو احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف?

احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد هو مشكلة التوافقية ، والتي تقوم على مبدأ العينات المطلوبة دون تكرار. لدينا عشرة كتب يجب وضعها على الرف. نحن بحاجة إلى تحديد عدد مجموعات مختلفة من الترتيب يمكن الحصول عليها.

لوضع ثلاثة كتب على نفس الرف ، يمكن أن يشغل الكتاب الأول أحد الأماكن العشرة المحتملة على الرف. بعد ذلك ، هناك تسعة أماكن متبقية لوضع الكتاب الثاني ، وثمانية أماكن للكتاب الثالث. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لمجموعات ترتيب ثلاثة كتب من أصل عشرة يساوي حاصل ضرب الأرقام: 10 * 9 * 8 = 720.

الآن نحن بحاجة إلى تحديد احتمال الحصول على مجموعة محددة من ترتيب الكتب الثلاثة. يتم توزيع الاحتمال بالتساوي بين جميع التوليفات الممكنة للترتيب ويتم حسابه كنسبة لعدد النتائج الإيجابية (في هذه الحالة ، مجموعة معينة واحدة) إلى العدد الإجمالي للنتائج.

1. تحديد احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف
2. عشرة كتب ممكنة لترتيب
3. كيفية تحديد العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة?
4. حساب احتمال مجموعة واحدة معينة
5. احتمال الحصول على مجموعة محددة
6. احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف دون مراعاة الترتيب
7. احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف ، مع مراعاة الترتيب
8. سؤال وجواب
9. ما هو احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف?
10. كم عدد الخيارات الممكنة لوضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد?
11. هل هناك أي تسلسل خاص لوضع ثلاثة كتب على الرف?
12. إذا كان لدي 10 الكتب واخترت فقط 3 منهم على الرف, ما هي فرص أن هذه الكتب الثلاثة سوف ينتهي بجانب بعضها البعض?
13. كيف يمكنك العثور على احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف?
14. يمكن وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على الرف في تسلسل معين?

تحديد احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف

احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد هو واحد من العديد من المشاكل التي يمكن حلها باستخدام التوافقية ونظرية الاحتمالات.

لهذه المهمة بالذات ، يمكننا استخدام صيغة اندماجية لوضعها دون تكرار. يتم تعريف صيغة الوضع بدون تكرار على النحو التالي:

ن1 * ن2 * ن3*... * ناغورني كاراباخ = ن!

أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر ، ن1, ن2, ن3,...، ناغورني كاراباخ هو عدد الخيارات لكل عنصر.

في حالتنا ، لدينا 10 كتب لوضعها على الرف. نظرا لأن أمر التنسيب مهم ، يمكننا تطبيق صيغة التنسيب دون تكرار ، حيث ن = 10 و ك = 3.

وبالتالي ، فإن عدد الخيارات لوضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على الرف هو:

10! / (10 — 3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720

العدد الإجمالي للخيارات لوضع ثلاثة كتب على الرف هو 720.

لتحديد احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف ، من الضروري تقسيم عدد الخيارات لوضع ثلاثة كتب على العدد الإجمالي لخيارات الموضع الممكنة ، وهو 10!.

وبالتالي ، فإن احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد هو:

720 / 10! = 720 / 3628800 ≈ 0.0001984127 ≈ 0.0198%

يبلغ احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف حوالي 0.0198٪.

عشرة كتب ممكنة لترتيب

لترتيب ثلاثة كتب على رف من أصل عشرة كتب ممكنة ، لدينا المجموعة التالية:

1. كتاب 1
2. كتاب 2
3. الكتاب 3
4. الكتاب 4
5. الكتاب 5
6. الكتاب 6
7. الكتاب 7
8. الكتاب 8
9. الكتاب 9
10. كتاب 10

من بين هذه الكتب العشرة ، سنختار ثلاثة لوضعها على الرف. الترتيب مهم ، لذلك يمكن حساب عدد خيارات الموضع المختلفة باستخدام صيغة التوافقية:

وبالتالي ، هناك 120 خيارا مختلفا لوضع ثلاثة كتب على رف من أصل عشرة كتب ممكنة.

كيف يمكنني تحديد العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة?

لتحديد العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لوضع ثلاثة من أصل عشرة كتب على رف واحد ، يمكننا استخدام التوافقيات.

يمكن حساب عدد المجموعات باستخدام الصيغة:

ن! / (ن — ص)! * ص!

أين:

• ن هو العدد الإجمالي للعناصر في المجموعة التي نختار منها (في هذه الحالة ، عدد الكتب المتاحة)
• ص هو عدد العناصر التي نختارها من المجموعة (في هذه الحالة ، عدد الكتب التي نريد وضعها على الرف)
• ! - الرمز العاملي الذي يشير إلى حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى رقم معين

لهذا المثال:

• ن = 10 (إجمالي عدد الكتب المتاحة)
• ص = 3 (عدد الكتب التي نريد وضعها على الرف)

استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على:

1. 10! / (10 — 3)! * 3!
2. 10! / 7! * 3!
3. 10 * 9 * 8 / 3 * 2 * 1
4. 720

وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لوضع ثلاثة من أصل عشرة كتب على رف واحد هو 720.

حساب احتمال مجموعة واحدة معينة

لحساب احتمال مجموعة معينة واحدة ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة وعدد المجموعات التي تلبي الشرط.

في هذه المهمة ، نعلم أن لدينا عشرة كتب ، ونحتاج إلى وضع ثلاثة منها على الرف. لحساب العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لمجموعة معينة ، يتم استخدام الصيغة:

ن! / (ن — ص)! r ص!

أين ن هو عدد الكائنات (في هذه الحالة ، الكتب) ، و ص هو عدد الكائنات التي سيتم اختيارها (في هذه الحالة ، عدد الكتب التي سيتم وضعها على الرف).

في حالتنا ، العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة هو:

10! / (10 — 3)! × 3! = 10! / 7! × 3! = 10 × 9 × 8 = 720

الآن من الضروري تحديد عدد المجموعات التي تلبي الشرط. نحن نعلم أننا بحاجة إلى وضع ثلاثة كتب على رف من أصل عشرة. عدد المجموعات التي تلبي الشرط هو:

ن! / (ن — ص)! r ص!

أين ن هو عدد الكائنات (في هذه الحالة ، الكتب) ، و ص هو عدد الكائنات التي سيتم اختيارها (في هذه الحالة ، عدد الكتب التي سيتم وضعها على الرف).

في حالتنا ، عدد المجموعات التي تفي بالشرط هو:

10! / (10 — 3)! × 3! = 10! / 7! × 3! = 10 × 9 × 8 = 720

وبالتالي ، فإن احتمال وجود مجموعة معينة لمهمة معينة هو 1/720 أو حوالي 0.0014 (التقريب إلى أربعة منازل عشرية).

احتمال الحصول على مجموعة محددة

من أجل حساب احتمال الحصول على مجموعة محددة من ثلاثة كتب من أصل عشرة ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة. يمكن تحديد العدد الإجمالي للمجموعات باستخدام صيغة التوافقية.

صيغة الجمع قابلة للتطبيق لهذه المهمة. تسمح لك صيغة الجمع بالعثور على عدد مجموعات مجموعة من الأحرف المستخدمة مرة واحدة فقط ودون مراعاة الترتيب.

في هذه الحالة ، يمكن العثور على العدد الإجمالي للمجموعات باستخدام صيغة الجمع ج(ن ، ك) ، أين ن هو عدد العناصر في المجموعة ، و ك هو عدد العناصر في المجموعة.

لمهمتنا ، ن هو 10 (عدد الكتب) ، و ك هو 3 (عدد الكتب التي نختارها).

باستخدام صيغة الجمع ، نحصل على: ج (10 ، 3) = 10! / (3! * (10-3)!)

تبسيط التعبير ، نحصل على: ج (10 ، 3) = 10! / (3! * 7!)

بعد حساب العوامل ، نحصل على: ج(10, 3) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 120

وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة هو 120.

لحساب احتمال الحصول على مجموعة معينة ، تحتاج إلى تقسيم عدد النتائج الإيجابية (عدد الخيارات للحصول على مجموعة محددة) على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة.

في حالتنا ، لدينا مجموعة مواتية واحدة فقط (الحصول على مجموعة محددة من ثلاثة كتب على الرف) ، وبالتالي فإن احتمال الحصول على هذه المجموعة هو 1/120 ، أي حوالي 0.008333 ، أو تقريب إلى منزلتين عشريتين — 0.01 (1٪).

لذا ، فإن احتمال الحصول على مجموعة محددة من ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد هو حوالي 0.01 أو 1٪.

احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف دون مراعاة الترتيب

دعونا نتخيل أن لدينا 10 كتب ، ونريد وضع 3 منها فقط على الرف. في هذه الحالة ، لا يهم الترتيب الذي نرتب به الكتب. وهذا هو ، على سبيل المثال ، تعتبر مجموعات "الكتاب 1 ، الكتاب 2 ، الكتاب 3" و "الكتاب 2 ، الكتاب 1 ، الكتاب 3" نفس المجموعة.

لحساب احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف دون مراعاة الترتيب ، يمكننا استخدام الصيغة لعدد مجموعات ن عناصر بواسطة ك:

كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!)

أين ن هو العدد الإجمالي للكتب (10) ، و ك هو عدد الكتب التي نريد وضعها على الرف (3).

بتطبيق هذه الصيغة ، نحصل على:

ج103 = 10! / (3! * (10-3)!)

ج103 = 10! / (3! * 7!)

103= (10 * 9 * 8 * 7 * 6!)/ (3 * 2 * 1 * 7!)

103= (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1)

ج103 = 120

وبالتالي ، هناك 120 مجموعة يمكننا من خلالها ترتيب 3 كتب على الرف دون مراعاة الترتيب.

للعثور على احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف دون مراعاة الترتيب ، تحتاج إلى قسمة عدد المجموعات على العدد الإجمالي لخيارات وضع الكتب الممكنة على الرف:

الاحتمال = عدد المجموعات / العدد الإجمالي لخيارات الموضع الممكنة

الاحتمال = 120 / (10 * 9 * 8) = 1 / 72

وبالتالي ، فإن احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف دون مراعاة الترتيب هو 1/72 أو حوالي 0.0139 ، مما يعني أن فرصة مثل هذا الترتيب منخفضة للغاية.

احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف ، مع مراعاة الترتيب

يمكن حساب احتمال وضع ثلاثة كتب على الرف ، مع مراعاة الترتيب ، باستخدام التوافقية. في هذه الحالة ، يكون ترتيب الكتب مهما ، أي أن كل ترتيب سيعتبر فريدا.

تخيل أن هناك عشرة كتب مختلفة على الرف. إذا أردنا اختيار أول كتاب لترتيبه ، فلدينا 10 خيارات. بعد ذلك ، هناك 9 كتب لاختيار المركز الثاني ، و 8 كتب لاختيار المركز الثالث.

وبالتالي ، يمكن حساب العدد الإجمالي للترتيبات الممكنة لثلاثة كتب على الرف بضرب عدد الخيارات لكل موضع:

10 * 9 * 8 = 720

وبالتالي ، هناك 720 طريقة مختلفة لترتيب ثلاثة كتب على الرف ، مع مراعاة الترتيب.

سؤال وجواب

ما هو احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف?

احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد هو 1/120 أو حوالي 0.0083. يمكن حساب ذلك باستخدام صيغة الجمع.

كم عدد الخيارات الممكنة لوضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد?

هناك 120 خيارا مختلفا لوضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف واحد.

هل هناك أي تسلسل خاص لوضع ثلاثة كتب على الرف?

لا ، لا يوجد تسلسل خاص لوضع ثلاثة كتب على الرف. يمكن ترتيب الكتب بأي ترتيب.

إذا كان لدي 10 الكتب واخترت فقط 3 منهم على الرف, ما هي فرص أن هذه الكتب الثلاثة سوف ينتهي بجانب بعضها البعض?

تعتمد فرص أن تنتهي الكتب الثلاثة المختارة جنبا إلى جنب على الرف على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة. الاحتمال هو 1/120 أو حوالي 0.0083.

كيف يمكنك العثور على احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف?

يمكن العثور على احتمال وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على نفس الرف باستخدام صيغة الجمع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحديد عدد مجموعات 10 كتب من 3 وتقسيمها على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة ، وهو 120.

يمكن وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على الرف في تسلسل معين?

نعم ، يمكن وضع ثلاثة كتب من أصل عشرة على رف في تسلسل معين. على سبيل المثال ، إذا كانت الكتب مرقمة ، فيمكنك تحديد أن الكتاب 1 على اليسار ، والكتاب 2 في المنتصف ، والكتاب 3 على اليمين. ومع ذلك ، فإن احتمال أي تسلسل معين لوضع ثلاثة كتب سيكون أقل من احتمال اختيار أي ثلاثة كتب من أصل عشرة ووضعها على الرف.