الدائرة هي واحدة من الأشكال الهندسية الأكثر إثارة للاهتمام التي تجذب الانتباه بخصائصها الجميلة والظواهر غير العادية. الظلال إلى دائرة هي واحدة من هذه الظواهر. المماس هو خط مستقيم يصطدم بدائرة عند نقطة واحدة فقط ، وعند هذه النقطة يلمسها ، أي أنه يشكل زاوية قائمة بنصف قطر مرسوم إلى نقطة التلامس.
ومن المثير للاهتمام أن الظلال المتكونة عند نقطة واحدة من الدائرة لها خصائص خاصة. على سبيل المثال ، إذا طرحت سؤالا: أي زاوية تتكون من ظلين ، يمكننا الإجابة بأنها تساوي في المقدار مجموع الزوايا المقابلة التي شكلها نصف القطر عند نقطة التلامس. تشكل الظلال المكونة من نصف قطر ، والتي بدورها عبارة عن خطوط مستقيمة مرسومة من مركز الدائرة إلى نقطة التلامس ، زاوية 90 درجة.
ولكن ماذا لو كنا نعرف فقط أطوال الظلال ونصف قطر الدائرة, ونحن بحاجة إلى إيجاد الزاوية بينهما? يمكن العثور على الزاوية بين الظلال باستخدام نظرية الظل.
تنص نظرية الظل على أنه بالنسبة للمثلث القائم ، حيث يكون أحد القسطرة مساويا لنصف قطر الدائرة والقسطرة الثانية هي طول الظل ، فإن الوتر (أي طول المقطع بين مركز الدائرة ونقطة الظل مع الدائرة) يساوي طول الظل.
وبالتالي ، لإيجاد الزاوية بين الظلال ، من الضروري تكوين وحل معادلة مثلث قائم الزاوية ، حيث تساوي قسطرة واحدة نصف قطر الدائرة ، والثاني هو طول الظل. بمعرفة قيم هذه الكميات ، يمكننا تطبيق الصيغ المثلثية لتحديد الزاوية بين الظلال.
- تحديد الظل إلى دائرة
- الخصائص الأساسية للظل إلى دائرة
- إيجاد نقطة الظل
- إيجاد الزاوية بين الظلال
- أمثلة على المهام:
- سؤال وجواب
- كيف أجد الزاوية بين الظلال إلى الدائرة?
- ما هي الصيغ التي يجب استخدامها للعثور على الزاوية بين الظلال إلى دائرة?
- كيف يمكن للمرء أن يجد الزاوية بين الظلال إلى الدائرة إذا كانت إحداثيات نقاط الظل معروفة?
- ما هي قيمة الزاوية بين الظلال إلى الدائرة إذا كانت متوازية?
تحديد الظل إلى الدائرة
الظل للدائرة هو خط مستقيم يلامس الدائرة عند نقطة واحدة. يشكل الظل ونصف القطر المرسوم إلى نقطة الاتصال زاوية قائمة.
يمكن تحديد الظل إلى الدائرة باستخدام الخطوات التالية:
- خذ بوصلة وخطر الدائرة على قطعة من الورق.
- حدد نقطة على الدائرة التي ستكون الظل.
- خذ مسطرة وارسم خطا مستقيما خلال هذه النقطة.
- تأكد من أن الخط المستقيم يلامس الدائرة عند النقطة المحددة ولا يتقاطع معها في نقاط أخرى.
وبالتالي ، ستحدد الظل للدائرة التي تلامس الدائرة عند نقطة واحدة فقط.
ملاحظة: إذا قمت برسم خط مستقيم يتقاطع مع الدائرة عند نقطتين ، فسوف يطلق عليه الوتر ، وليس الظل.
الخصائص الأساسية للظل إلى دائرة
الظل للدائرة هو خط مستقيم يلامس الدائرة عند نقطة واحدة فقط ، تسمى نقطة الظل.
عند دراسة الظلال إلى دائرة ، يمكن تمييز العديد من الخصائص الأساسية:
- الظل ونصف قطر الدائرة عمودي. هذا يعني أنه عند نقطة التلامس ، يشكل الظل زاوية قائمة تقابل نصف قطر الدائرة.
- ناقلات السرعة من الظل والدائرة هي نفسها. عند نقطة التلامس ، يتزامن الظل مع سرعة الظل للدائرة.
- الزاوية بين الظل والوتر تساوي الزاوية التي شكلها هذا الوتر ونصف القطر. إذا قمت برسم وتر ونصف قطر ، فإن الزوايا التي تشكلها ستكون مساوية للزوايا بين الظل والوتر.
- الظلال المرسومة من نقطة واحدة إلى دائرة متساوية في الطول. إذا تم رسم عدة ظلال من نقطة واحدة على الدائرة ، فستكون متساوية في الطول.
سيساعدك تقسيم الخصائص الأساسية للظل إلى دائرة على تعلمها وتطبيقها في مشاكل الهندسة.
إيجاد نقطة الظل
هناك عدة طرق لإيجاد نقطة الظل لظل الدائرة. ويستند واحد منهم على خصائص الظل إلى الدائرة. يكون الظل للدائرة عند نقطة التلامس عموديا على نصف قطر الدائرة المرسومة من هذه النقطة.
للعثور على نقطة الظل ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطر هذه الدائرة وإحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الظل.
إجراءات العثور على نقطة اللمس هي كما يلي:
- أوجد معادلة الدائرة باستخدام الصيغة (س-ح)^2 + (ص — ك)^2 = ص^2 ، أين (ح ، ك) هي إحداثيات مركز الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة.
- احسب معادلة الخط المستقيم الذي يمر من خلاله الظل باستخدام الإحداثيات المعروفة للنقطة.
- حل نظام المعادلات من دائرة وخط مستقيم. سيكون حل النظام هو إحداثيات نقطة اللمس.
إذا كان لديك بالفعل معادلة الدائرة ومعادلة الخط المستقيم ، فيمكنك تخطي الخطوتين الأوليين والمضي قدما في حل نظام المعادلات.
من المهم أن تتذكر أن الدائرة يمكن أن تحتوي على نقطتي اتصال إذا مر الخط المستقيم عبر الدائرة ، أو نقطة اتصال واحدة إذا لامس الخط المستقيم الدائرة بداخلها ، أو لا توجد نقطة اتصال إذا كان الخط المستقيم لا يتقاطع مع الدائرة.
إيجاد الزاوية بين الظلال
ظلال الدائرة هي خطوط مستقيمة تلمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط. السؤال الذي يطرح نفسه هو إيجاد الزاوية بين ظلين للدائرة.
بادئ ذي بدء ، من الضروري فهم الخصائص الأساسية للظلال التي ستساعد في حل هذه المشكلة:
- يكون الظل للدائرة دائما عموديا على نصف القطر المرسوم عند نقطة التلامس.
- الظلال المماثلة المرسومة عند نقطة واحدة من الدائرة متساوية في الطول.
- الزاوية بين الظل والوتر المرسوم من نقطة التلامس تساوي نصف زاوية النقش الممتدة فوق قوس هذا الوتر.
باستخدام هذه الخصائص ، يمكنك العثور على الزاوية بين الظلال على النحو التالي:
- نجد نصف القطر المرسوم من نقطة الظل إلى مركز الدائرة.
- نجد طول نصف القطر المعطى.
- نجد الزاوية المطلوبة باستخدام الصيغة: الزاوية = 180° - 2 * قوس (طول نصف القطر / قطر المحيط).
وبالتالي ، بمعرفة أطوال نصف القطر وقطر الدائرة ، من السهل حساب الزاوية بين الظلال إلى الدائرة.
الطريقة المذكورة أعلاه هي إحدى طرق إيجاد الزاوية بين الظلال. يعتمد على الخصائص الهندسية للدائرة ويسمح لك بالحصول على نتيجة دقيقة.
أمثلة على المهام:
مثال 1:
أوجد الزاوية بين الظلال المرسومة من النقطة أ إلى دائرة ذات مركز س ونصف القطر ص.
معطى: نصف قطر الدائرة: ص النقطة أ على الدائرة مركز الدائرة: س البحث: الزاوية بين الظلال مقرر: - دعونا نرسم خطا مستقيما الزراعة العضوية من النقطة أ إلى مركز س.
- بما أن الزراعة العضوية هي نصف قطر الدائرة ، فإن الزاوية هي 90 درجة.
- زاوية أوب بين الظل أو ونصف قطرها أوب عند تقاطع الظل مع الدائرة هي أيضا 90 درجة.
- لذا ، فإن الزاوية بين الظلال تساوي مجموع الزاويتين أو و أوب ، أي 90 + 90 = 180 درجة.
المثال 2:
دائرة مع مركز س ونصف القطر ص يعطى. تتقاطع ظلال الدائرة من النقطتين أ و ب عند النقطة ج. أوجد الزاوية بين الظلال عند النقطة ج.
معطى: نصف قطر الدائرة: ص النقطة أ على الدائرة النقطة ب على الدائرة النقطة ج هي نقطة تقاطع الظلال البحث: الزاوية بين الظلال عند النقطة ج مقرر: - دعونا رسم خطوط مستقيمة الزراعة العضوية و أوب من النقاط أ و ب إلى مركز س ، على التوالي.
- زاوية أوك بين دائرة نصف قطرها الزراعة العضوية والظل أس في نقطة ج هو 90 درجة (من خلال خاصية الظل إلى الدائرة).
- الزاوية بوك بين نصف القطر أوب والظل قبل الميلاد عند النقطة ج هي أيضا 90 درجة.
- إذن ، الزاوية بين الظلال عند النقطة ج تساوي مجموع الزاويتين أوك و بوك ، أي 90 + 90 = 180 درجة.
سؤال وجواب
كيف أجد الزاوية بين الظلال إلى الدائرة?
يمكن العثور على الزاوية بين الظلال للدائرة باستخدام الخصائص الهندسية لهذه الخطوط والدائرة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على نقاط الظل من الظلال مع الدائرة وربطها مع شريحة. بعد ذلك ، باستخدام خصائص المثلثات ، يمكنك العثور على الزاوية بين هذه الأجزاء ونفس الشيء سيكون الزاوية المطلوبة بين الظلال.
ما هي الصيغ التي يجب استخدامها للعثور على الزاوية بين الظلال إلى دائرة?
لإيجاد الزاوية بين الظلال لدائرة ، يمكنك استخدام نظرية الزاوية المركزية أو نظرية الزاوية المنقوشة. إذا تم قياس الزاوية بين الظلال بواسطة مقطع قوس ، فيمكنك استخدام صيغة تربط طول القوس ونصف قطر الدائرة بالزاوية (القوس). في كل حالة محددة ، من الضروري تحديد البيانات المعروفة واختيار الصيغة المناسبة.
كيف يمكن للمرء أن يجد الزاوية بين الظلال إلى الدائرة إذا كانت إحداثيات نقاط الظل معروفة?
إذا كانت إحداثيات نقاط الظل مع الدائرة معروفة ، فيمكنك استخدام الصيغة لإيجاد الزاوية بين المتجهات. للقيام بذلك ، احسب المتجهات التي تربط مركز الدائرة بنقاط الاتصال ، ثم ابحث عن الزاوية بين هذه المتجهات باستخدام الصيغة كوس (زاوية) = (أ·ب)/(|أ|·|ب|) ، حيث أ و ب متجهان ، |أ| و |ب| أطوالهما.
ما هي قيمة الزاوية بين الظلال إلى الدائرة إذا كانت متوازية?
إذا كانت الظلال إلى الدائرة متوازية ، فإن الزاوية بينهما ستكون 0 درجة. لا تتقاطع الخطوط المتوازية ، وبالتالي فإن الزاوية بينهما هي 0. يمكن استخدام هذه الخاصية لتحديد توازي الظلال: إذا كانت الزاوية بينهما 0 ، فهي متوازية.