المجموعة الدورية هي بنية جبرية تتكون من عناصر وعملية ذات خصائص خاصة. في مجموعة دورية ، يمكن التعبير عن كل عنصر من خلال عملية خاصة واحدة. تسمى هذه العملية الخاصة بالمولد وهي الأداة الرئيسية لتحديد العناصر الموجودة في مجموعة دورية. تقدم هذه المقالة قائمة كاملة بجميع المجموعات الدورية ، مقسمة إلى فئات حسب خصائصها وهيكلها.
المجموعات الدورية الكلاسيكية
- مجموعات دورية لانهائية:
- مجموعات دورية محدودة:
- مجموعات أبيليان:
- تعريف المجموعات الدورية
- مجموعات من العناصر القابلة للعكس
- مجموعات أبيليان
- أمثلة على المجموعات ذات السلوك الدوري
- قائمة المجموعات الدورية:
- سؤال وجواب
- المجموعات التي هي دوري?
- كيف يمكنني تحديد ما إذا كانت المجموعة دورية?
- يمكن أن تكون مجموعة على حد سواء دوري وغير بديهي?
- هي مجموعة من العناصر القابلة للعكس عن طريق الضرب في حلقة وحدات دوري?
- ما هي مجموعة من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع?
- هل هناك أي أمثلة للمجموعات الدورية الأخرى في المقالة?
مجموعات دورية لانهائية:
- ز (ض) هي مجموعة من الأعداد الصحيحة ، الإضافة هي عملية;
- ز (ص) هي مجموعة من الأعداد الحقيقية ، والإضافة هي عملية;
مجموعات دورية محدودة:
- ضن هو مجموعة بقايا مودولو ن ، أين ن هو عدد طبيعي;
- زب * هي مجموعة من العناصر القابلة للعكس مودولو عدد أولي ص;
مجموعات دورية إضافية
مجموعات أبيليان:
- زم Z زن هي مجموعة من أزواج من الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع مودولو م و ن;
- زم * هي مجموعة من العناصر القابلة للعكس مودولو م;
- زد بي إم هي مجموعة من كثيرات الحدود مع معاملات من مجال عدد أولي ص;
هذه ليست سوى بعض الأمثلة على المجموعات الدورية التي يمكن العثور عليها في الرياضيات. ومع ذلك ، لديهم جميعا خصائص وميزات مشتركة تجمعها في فئات منفصلة. دراسة المجموعات الدورية مهمة ليس فقط للنظرية الرياضية ، ولكن أيضا لمجموعة متنوعة من المشاكل التطبيقية في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا.
تعريف المجموعات الدورية
في الرياضيات ، تكون المجموعة دورية إذا كانت تحتوي على عنصر يسمى التوليدي ، والذي يمكنه إنشاء المجموعة بأكملها عن طريق إعادة تطبيق عملية المجموعة. بشكل أكثر رسمية ، أ مجموعة جي يسمى دوري إذا كان هناك مثل هذا العنصر جي في جي لأي عنصر أ في جي هناك عدد صحيح ن مثل أن أ = جي^ن ، أين جي^ن يعني ن - كم عدد مرات تكرار تشغيل المجموعة مع العنصر جي.
مفهوم الانعكاس مهم جدا عند تحديد المجموعات الدورية. انعكاس جي^{-1} لعنصر جي في مجموعة جي يتم تعريفه بحيث جي \ سيدوت جي^{-1} = جي^{-1} \ سيدوت جي = ه ، أين ه هو عنصر الوحدة في المجموعة. إذا كانت المجموعة تبادلية ، فإن المجموعة تكون دورية إذا جي^ن = ن \ كدوت جي لأي عنصر أ في جي ولجميع الأعداد الصحيحة ن. خلاف ذلك ، فإن المجموعة غير تبادلية.
المجموعات الدورية لها أهمية خاصة في الجبر ونظرية الأعداد. يتم دراستها وتطبيقها على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء. أحد أشهر الأمثلة على المجموعة الدورية هو المجموعة الدورية ض ، مجموعة جميع الأعداد الصحيحة مع عملية الجمع. في هذه الحالة ، يكون عنصر التشكيل هو الرقم 1.
في المجموعات الدورية ، من الممكن أيضا النظر في المجموعات الفرعية التي يتكون منها العنصر التوليدي ودرجاته. على سبيل المثال ، إذا جي هو عنصر توليدي لمجموعة دورية جي ، ثم المجموعة الفرعية التي تم إنشاؤها بواسطة جي يشار إليه ويمثل مجموعة جميع درجات العنصر ز. هذه المجموعة الفرعية هي مثالية مناسبة في المجموعة جي وهي نفسها مجموعة دورية.
مجموعات من العناصر القابلة للعكس
مجموعات العناصر القابلة للعكس ، والمعروفة أيضا باسم المجموعات المضاعفة ، هي مجموعات فرعية من مجموعة الحقول أو الحلقات المضاعفة. تتكون هذه المجموعات من عناصر لها عناصر عكسية فيما يتعلق بعملية الضرب.
على سبيل المثال ، تشكل مجموعة من الأعداد الصحيحة بخلاف الصفر مجموعة من العناصر القابلة للعكس فيما يتعلق بعملية الضرب. كل عنصر غير صفري له عنصر معكوس ، وهو رقم منطقي.
| المجموعة | العملية | العنصر المحايد |
|---|---|---|
| مجموعة من الأعداد الصحيحة غير الصفر | الضرب | من 1 |
| مجموعة من الأرقام المنطقية غير الصفر | الضرب | من 1 |
| مجموعة من الأعداد الحقيقية غير الصفر | الضرب | من 1 |
| مجموعة من الأعداد المركبة غير الصفر | الضرب | من 1 |
مجموعات العناصر القابلة للانعكاس لها العديد من الخصائص ، بما في ذلك الترابطية ، والتبادلية ، والإغلاق ، ووجود العناصر العكسية. تلعب هذه المجموعات دورا مهما في مختلف مجالات الرياضيات ولها العديد من التطبيقات في الجبر والتحليل ونظرية الأعداد ومجالات أخرى.
مجموعات أبيليان
مجموعات أبيليان ، أو المجموعات التبادلية ، هي مجموعات تكون فيها عملية المجموعة تبادلية. بمعنى آخر ، بالنسبة لأي عنصرين أ و ب من المجموعة ج ، يتم استيفاء الشرط:
أ * ب = ب * أ
في مجموعات أبيليان ، يمكن تمثيل عملية المجموعة عن طريق الجمع ، وهو تبادلي.
خصائص مجموعات أبيليان:
- قانون الإغلاق: بالنسبة لأي عنصرين أ و ب من المجموعة ز ، أ * ب هو أيضا عنصر من عناصر المجموعة ز.
- الترابطية: بالنسبة لأي عناصر أ ، ب ، ج من المجموعة ز ، يتم استيفاء الشرط (أ · ب) · ج = أ · (ب · ج).
- وجود عنصر محايد: يوجد عنصر ه في المجموعة ز الشرط أ * ه = ه * أ = أ راض عن أي عنصر أ من المجموعة ج.
- وجود عنصر معكوس: لأي عنصر أ من المجموعة جي ، هناك عنصر ب من المجموعة جي التي الشرط أ · ب = ب · أ = هـ راض ، حيث ه هو عنصر محايد.
أمثلة على مجموعات أبيليان:
- الأعداد الصحيحة (ض،+)
- الأعداد المنطقية (س،+)
- الأعداد الحقيقية (ص,+)
- الأعداد المركبة (ج،+)
تستخدم مجموعات أبيليان على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء ومجالات العلوم الأخرى.
أمثلة على المجموعات ذات السلوك الدوري
مجموعة الأعداد الصحيحة ض مع الإضافة دوري. عند إضافة أي عدد صحيح مع صفر ، يتم الحصول على نفس الرقم ، ويمكن تكرار العملية إلى أجل غير مسمى.
مجموعة الأعداد الصحيحة زن مودولو ن مع الإضافة هي أيضا دورية. عند إضافة كل رقم مع صفر ، يتم الحصول على نفس الرقم مودولو ن.
مجموعة الأعداد الصحيحة ضن * مع الجمع والضرب مودولو ن دوري. كل عنصر من عناصر المجموعة له عنصر معكوس عند ضربه.
مجموعة الأعداد المنطقية ف مع الإضافة العادية هي أيضا دورية. عند إضافة كل رقم منطقي مع صفر ، يتم الحصول على نفس الرقم.
مجموعة المصفوفات التبادلية للبعد ن س ن مع عملية الإضافة دوري. عند إضافة كل مصفوفة بمصفوفة صفرية ، يتم الحصول على نفس المصفوفة.
هذه مجرد أمثلة قليلة للمجموعات ذات السلوك الدوري. هناك العديد من المجموعات الأخرى التي قد يكون لها أيضا خصائص دورية.
قائمة المجموعات الدورية:
المجموعة الدورية ض2: مجموعة من الأعداد الصحيحة تحتوي على عنصرين فقط 0 و 1. يتم استخدام عملية الإضافة للجمع بين عناصر المجموعة.
المجموعة الدورية ض3: مجموعة من الأعداد الصحيحة تحتوي على ثلاثة عناصر فقط 0 و 1 و 2. يتم استخدام عملية الإضافة لدمج عناصر المجموعة.
المجموعة الدورية ض4: مجموعة من الأعداد الصحيحة تحتوي على أربعة عناصر فقط 0 و 1 و 2 و 3. يتم استخدام عملية الإضافة للجمع بين عناصر المجموعة.
من الممكن أيضا النظر في المجموعات الدورية المتعلقة بالعمليات الحسابية في الرياضيات:
مجموعة الإضافة الدورية: مجموعة مكونة من مجموعة جميع الأعداد الصحيحة وعملية الإضافة. هذه المجموعة لانهائية وتحتوي على جميع الأعداد الصحيحة.
مجموعة الضرب الدوري: مجموعة مكونة من مجموعة من جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية وعملية الضرب. هذه المجموعة أيضا لانهائية وتحتوي على جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية.
| اسم المجموعة | العملية | المجموعة |
|---|---|---|
| من ض2 عناصر | إضافة | {0, 1} |
| زد 3 | إضافة | {0, 1, 2} |
| زد 4 | إضافة | {0, 1, 2, 3} |
سؤال وجواب
المجموعات التي هي دوري?
المجموعة الدورية هي مجموعة يوجد فيها عنصر مرفوع إلى حد ما يساوي أي عنصر آخر في هذه المجموعة. أمثلة على المجموعات الدورية: مجموعة من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع ، مجموعة من العناصر القابلة للعكس عن طريق الضرب في حلقة معيارية.
كيف يمكنني تحديد ما إذا كانت المجموعة دورية?
لتحديد ما إذا كانت المجموعة دورية ، تحتاج إلى العثور على عنصر في المجموعة مرفوع إلى حد ما يساوي كل عنصر من عناصر هذه المجموعة. في حالة وجود مثل هذا العنصر ، تكون المجموعة دورية. إذا لم يكن كذلك ، فإن المجموعة ليست دورية.
يمكن أن تكون مجموعة على حد سواء دوري وغير بديهي?
نعم ، يمكن. على سبيل المثال ، مجموعة جميع الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع هي مجموعة دورية وغير بديهية.
هي مجموعة من العناصر القابلة للعكس عن طريق الضرب في حلقة وحدات دوري?
نعم ، مجموعة العناصر القابلة للعكس عن طريق الضرب في حلقة معيارية هي دورية. تتكون هذه المجموعة من عناصر تشكل دورات عند الضرب المتكرر.
ما هي مجموعة من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع?
تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع من جميع الأعداد الصحيحة وعملية الجمع. في هذه المجموعة ، يوجد عنصر محايد بالإضافة إلى ذلك-صفر ، ولكل عدد صحيح يوجد عنصر معكوس ينتمي أيضا إلى هذه المجموعة.
هل هناك أي أمثلة للمجموعات الدورية الأخرى في المقالة?
نعم ، تحتوي المقالة على أمثلة لمجموعات دورية أخرى ، بما في ذلك مجموعات بقايا مودولو ، ومجموعات متعددة الحدود ، ومجموعات الحقول المضاعفة.