كيفية عمل معادلة مستوية من ثلاث نقاط: خطوات وأمثلة-شرح بسيط

يعد رسم معادلة مستوية من ثلاث نقاط جانبا مهما من جوانب الهندسة ويستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات مثل الرياضيات والفيزياء والهندسة. تتيح لك هذه العملية تحديد المستوى الذي يمر عبر النقاط المحددة وتلعب دورا مهما في حل العديد من المشكلات والمشكلات.

هناك بعض الخطوات التي يجب القيام بها من أجل جعل معادلة الطائرة في ثلاث نقاط. الخطوة الأولى هي تحديد ثلاث نقاط تمر من خلالها الطائرة. ثم من الضروري تحديد المتجهات التي تربط هذه النقاط.

بعد ذلك ، باستخدام المتجهات الموجودة ، يمكنك تكوين معادلة المستوى بطريقة عامة. إنها معادلة النموذج فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج ، د هي المعاملات التي يمكن العثور عليها من خلال معرفة متجهات وإحداثيات النقاط.

في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على هذه الخطوات بمزيد من التفصيل ونقدم أمثلة ستساعدك على فهم كيفية عمل معادلة مستوية من ثلاث نقاط بشكل أفضل.

1. تحديد الطائرة بثلاث نقاط
2. الخطوة 1: إيجاد المتجهات التي تربط النقاط
3. الخطوة 2: العثور على المنتج المتجه
4. الخطوة 3: استبدال إحدى النقاط في المعادلة
5. الخطوة 4: كتابة معادلة المستوى
6. مثال 1: رسم معادلة مستوية من ثلاث نقاط
7. مثال 2: حل مشكلة في صياغة معادلة مستوية
8. سؤال وجواب

تحديد الطائرة بثلاث نقاط

المستوى هو مساحة هندسية تتكون من جميع النقاط التي تقع على نفس المستوى. لتحديد معادلة المستوى ، من الضروري معرفة وضعها الطبيعي ونقطة واحدة على المستوى. ولكن ماذا لو تم تعيين ثلاث نقاط فقط في البداية وكان الوضع الطبيعي غير معروف?

في هذه الحالة ، يمكنك استخدام طريقة تحديد المستوى بثلاث نقاط. فكرة هذه الطريقة هي أن معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط غير خطية يمكن العثور عليها بناء على إحداثياتها.

خطوات تكوين معادلة مستوية من ثلاث نقاط:

1. حدد ثلاث نقاط بيانات أ ، ب ، ج على متن الطائرة.
2. باستخدام إحداثيات هذه النقاط ، تشكل نظام المعادلات التالي:

1. حل نظام المعادلات هذا باستخدام طريقة كرامر أو طرق أخرى واحصل على قيم المتغيرات.
2. باستخدام القيم التي تم الحصول عليها ، احصل على معادلة المستوى في النموذج:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج ، د هي قيم المتغيرات من الخطوة 3.

الآن أنت تعرف كيفية جعل معادلة طائرة مع ثلاث نقاط. ستساعدك هذه الطريقة في تحديد الشكل الهندسي للطائرة واستخدامها في مزيد من الحسابات أو التصميمات.

الخطوة 1: إيجاد المتجهات التي تربط النقاط

قبل تكوين معادلة المستوى لثلاث نقاط ، من الضروري إيجاد المتجهات التي تربط هذه النقاط. سيتم تشكيل كل متجه من خلال اختلاف الإحداثيات بين النقاط المقابلة.

لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط: أ (س1 ، ص1 ، ض1) ، ب(س2 ، ص2 ، ض2) و ج(س3 ، ص3 ، ض3).

للعثور على المتجهات أب و أس ، تحتاج إلى طرح إحداثيات النقطة أ من إحداثيات النقاط ب و ج ، على التوالي:

لدينا الآن متجهان يربطان النقاط أ ، ب ، ج. في الخطوة التالية ، سنستخدمهما لبناء معادلة المستوى.

الخطوة 2: العثور على منتج متجه

بعد أن نختار ثلاث نقاط على المستوى ، نحتاج إلى إيجاد حاصل ضرب المتجه للمتجهين المتكونين من هاتين النقطتين.

لإيجاد الناتج المتجه ، سنحتاج إلى إحداثيات هذه المتجهات. لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط بإحداثيات أ (س1, ص1, ض1), ب(س2, ص2, ض2) و ج(س3, ص3, ض3).

ثم يمكننا إيجاد المتجه الأول على النحو التالي: أب = (س2-س1 ، ص2-ص1 ، ض2-ض1).

نحصل على المتجه الثاني: قبل الميلاد = (س3-س2 ، ص3-ص2 ، ض3-ض2).

بعد ذلك ، سنجد حاصل ضرب المتجه لهذين المتجهين باستخدام الصيغة:

ن = أب BC قبل الميلاد

أين ن هو منتج المتجه المطلوب.

ستكون نتيجة هذه العملية متجها جديدا ن (س ، ص ، ض) ، والتي ستكون متعامدة مع المستوى الذي يمر عبر النقاط أ ، ب ، ج.

الخطوة 3: استبدال إحدى النقاط في المعادلة

بعد أن نحصل على معادلة المستوى التي تم وضعها بثلاث نقاط ، يمكننا التحقق من صحتها عن طريق استبدال إحدى النقاط الأولية بها. إذا تم الحصول على المساواة الصحيحة بعد الاستبدال ، فسيتم وضع المعادلة بشكل صحيح.

لنفترض أن لدينا المعادلة التالية للمستوى:

فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

نختار واحدة من نقاط البداية الثلاث ونستبدل قيم الإحداثيات بدلا من س ، ص و ض. ثم نحسب الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة ونقارنها. إذا تطابقت القيم ، فإن المعادلة صحيحة ، وإلا فهذا يعني أنه تم حدوث خطأ في تكوين المعادلة.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا اخترنا النقطة أ (س1 ، ص1 ، ض1) واستبدلنا إحداثياتها في المعادلة:

أ * س1 + ب * ذ1 + ج * ض1 + د = 0

ثم نقوم بحساب الأجزاء اليسرى واليمنى ومقارنتها:

• الجانب الأيسر: أ * س1 + ب * ص1 + ج * ض1 + د
• الجانب الأيمن: 0

إذا تطابق الجزءان الأيمن والأيسر ، فسيتم وضع المعادلة بشكل صحيح ، ويمكننا التأكد من صحتها.

إذا كان استبدال نقطة ما يعطي عدم مساواة ، فهذا يعني أننا ارتكبنا خطأ في مكان ما عند تكوين معادلة المستوى لثلاث نقاط. في هذه الحالة ، يجب عليك التحقق مرة أخرى من كل خطوة للعثور على الخطأ وإصلاحه.

الخطوة 4: كتابة معادلة المستوى

بعد أن نجد المتجهات العادية ونقطة على المستوى ، يمكننا كتابة معادلة المستوى على النحو التالي:

أين أ, ب و ج هي معاملات تتوافق مع المتجه الطبيعي ، و د, م, ن و ك يتم حساب القيم اعتمادا على نقطة على المستوى.

لكتابة معادلة خطية للمستوى ، يكفي استبدال المعاملات أ ، ب ، ج بقيمها النسبية المقابلة ، والمعامل د بالقيمة ك.

هنا مثال على كتابة معادلة الطائرة:

• معادلة المستوى من خلال النقاط أ (1 ، 2 ، 3) ، ب (4 ، 5 ، 6) و ج (7 ، 8 ، 9):
• ناقل عادي: ن = (3 ، 3 ، 3)
• نقطة على متن الطائرة: أ (1 ، 2 ، 3)
• معادلة المستوى: 3س + 3ص + 3ض-12 = 0
• المعادلة الخطية للمستوى: ض = - س-ص + 4

الآن لديك كل الخطوات اللازمة لإنشاء معادلة مستوية من ثلاث نقاط. تدرب على حل المهام الأخرى لتعزيز معرفتك.

مثال 1: رسم معادلة مستوية من ثلاث نقاط

بادئ ذي بدء ، لنلق نظرة على مثال نحصل فيه على ثلاث نقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد: أ(1 ، 2 ، 3) ، ب(4 ، -1 ، 2) و ج(-2 ، 0 ، 5).

1. دعونا العثور على ناقلات أب و أس. للقيام بذلك ، احسب الاختلافات في إحداثيات النقاط:

1. ناقلات أب: (4 — 1, -1 — 2, 2 — 3) = (3, -3, -1).
2. ناقل التيار المتردد: (-2 — 1, 0 — 2, 5 — 3) = (-3, -2, 2).

2. لنجد الناتج المتجه للمتجهات أب و أس. للقيام بذلك ، استخدم القاعدة للعثور على منتج المتجه:

أب س أس = (أبي * أكز-أبز * أسي ، أبز * أكس-أبكس * أكس ، أبكس * أكس-أبي * أكس)

حساب:

(3 * 2 — (-3) * (-2), (-3) * (-3) — 3 * 2, 3 * (-2) — (-3) * 3) = (12, -3, -3).

3. الآن لدينا متجه عادي للمستوى عمودي عليه. يمكن كتابة معادلة المستوى على النحو التالي:

أ * س + ب * ص + ج * ض + د = 0

أين (أ ، ب ، ج) هو المتجه الطبيعي للمستوى ، و د قيمة غير معروفة. لتحديد قيمة د ، نستبدل إحداثيات إحدى النقاط في المعادلة ، على سبيل المثال ، النقطة أ (1 ، 2 ، 3):

(12 * 1 + (-3) * 2 + (-3) * 3 + د = 0)

احسب:

12 — 6 — 9 + د = 0

د = 3.

4. وأخيرا ، فإن معادلة الطائرة تبدو وكأنها:

12 س-3 س-3 ز + 3 = 0

هذا كل شيء! لقد نجحنا في تجميع معادلة المستوى عند ثلاث نقاط معطاة.

مثال 2: حل مشكلة في صياغة معادلة مستوية

لنلق نظرة على مثال لفهم كيفية عمل معادلة للمستوى بشكل أفضل بناء على ثلاث نقاط.

المهمة: أوجد معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط أ (2 ، -1 ، 3) ، ب(-3 ، 4 ، 5) و ج(1 ، -2 ، 0).

1. أوجد المتجهات أب و أس باستخدام صيغة فرق الإحداثيات: أب = ب-أ و أس = ج-أ.
2. أوجد المنتج المتجه للمتجهات أب و أس باستخدام صيغة المنتج المتجه: ن = أب س أس.
3. اكتب معادلة المستوى بالشكل فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = د ، أين (أ ، ب ، ج) هي إحداثيات المتجه ن ، و د هو نتاج إحداثيات النقطة أ بواسطة المتجه ن: د = أ * ن.

الخطوة 1: العثور على ناقلات أب و أس:

1. أب = ب-أ = (-3 — 2, 4 — (-1), 5 — 3) = (-5, 5, 2).
2. التيار المتردد = ج-أ = (1 — 2, -2 — (-1), 0 — 3) = (-1, -1, -3).

الخطوة 2: العثور على ناقلات المنتج من ناقلات أب و أس:

ن = أب س أس. للقيام بذلك ، احسب إحداثيات المتجه ن:

أنا ث تنسيق: نكس = (5 * (-1)) — (2 * (-1)) = (-5) — (-2) = -3.

جث تنسيق: نيويورك = (2 * (-3)) — ((-5) * (-1)) = (-6) — 5 = -11.

ك-ث تنسيق: نيوزيلندي = ((-5) * (-1)) — (5 * (-1)) = 5 — (-5) = 10.

وبالتالي ، فإن المنتج المتجه من أب و أس يساوي ن = (-3 ، -11 ، 10).

الخطوة 3: دعونا نكتب معادلة المستوى:

معادلة المستوى لها الشكل فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = د. نحن نعرف بالفعل المتجه ن = (-3 ، -11 ، 10) ، لذلك أ = -3 ، ب = -11 ، ج = 10.

استبدل إحداثيات النقطة أ (2 ، -1 ، 3) في المعادلة وابحث عن د:

د = أ * ن = (-3 * 2) + (-11 * (-1)) + (10 * 3) = -6 + 11 + 30 = 35.

وبالتالي ، فإن معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط أ (2 ، -1 ، 3) ، ب(-3 ، 4 ، 5) و ج(1 ، -2 ، 0) هو -3س -11ص + 10ض = 35.

هذه هي المعادلة المطلوبة للطائرة.

سؤال وجواب