الدائرة المقيدة هي دائرة تمر عبر رؤوس المثلث. من المهم معرفة كيفية العثور على قطرها ، لأن هذا سيساعدنا في حل المشكلات المختلفة المتعلقة بالمثلثات.
هناك عدة طرق لإيجاد قطر دائرة مقيدة بالقرب من مثلث. واحد منهم يعتمد على استخدام نظرية خط الوسط المثلث. وفقا لهذه النظرية ، يكون الخط الأوسط للمثلث موازيا للقاعدة ويساوي نصف طوله.
للعثور على قطر الدائرة المقيدة بالقرب من المثلث ، تحتاج إلى رسم الخط الأوسط الذي يربط بين رأسي المثلث. ثم قم بقياس طول خط الوسط هذا واضربه في 2. ستكون القيمة الناتجة هي قطر الدائرة المحدودة.
على سبيل المثال ، بالنسبة للمثلث ذي الأضلاع 5 و 12 و 13 ، سيربط الخط الأوسط منتصف الضلع 5 بمنتصف الضلع 12. طول الخط الأوسط يساوي نصف مجموع أطوال القواعد ، وهذا هو ، يساوي (5+12)/2 = 8. وبالتالي ، سيكون قطر الدائرة المحدودة 2 * 8 = 16.
من المهم أن تتذكر أنه بالنسبة لأي مثلث ، بغض النظر عن شكله وحجمه ، فإن قطر الدائرة المحدودة يقسمه إلى جزأين متساويين. سيسمح لنا فهم قطر الدائرة المحدودة والقدرة على العثور عليه بتطبيقه في مهام مختلفة تتعلق بهندسة المثلثات.
- ما هو قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
- قطر الدائرة المحدودة: التعريف والخصائص
- العلاقة بين قطر الدائرة المقيدة والمثلث
- كيف أجد قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
- الطريقة 1: بواسطة نظرية المحور الراديكالي
- الطريقة 2: وفقا للصيغة مع نصف قطر الدائرة المنقوشة
- حقائق مثيرة للاهتمام حول قطر محيط المثلث
- سؤال وجواب
- ما هي دائرة مقيدة?
- كيف يمكنني العثور على قطر دائرة مقيدة?
- كيف يمكنني العثور على قطر دائرة مقيدة دون معرفة الزوايا?
- هل من الممكن العثور على قطر الدائرة المقيدة بإحداثيات رؤوس المثلث?
- كيف يمكنني استخدام الصيغة للعثور على قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
- ما هي الصيغة المستخدمة للعثور على نصف قطر دائرة مقيدة?
ما هو قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
في الهندسة ، قطر الدائرة المقيدة للمثلث هو جزء يربط نقاط تقاطع منصفات المثلث مع الجانبين المتقابلين. يمر قطر الدائرة المقيدة عبر مركز الدائرة الموصوفة حول المثلث ويقسمها إلى جزأين متساويين — نصف قطر.
تسمى الدائرة المقيدة للمثلث أيضا الدائرة المنقوشة وهي فريدة من نوعها لأنها تمر عبر الرؤوس الثلاثة للمثلث. قطر الدائرة المقيدة هو قطري الشكل الرباعي المحدود المكون من النقاط الأربع-رؤوس المثلث.
يلعب قطر الدائرة المحدودة دورا مهما في هندسة المثلث ، حيث يرتبط بخصائص مختلفة للمثلث. على سبيل المثال ، إذا كان المثلث مستطيلا ، فإن قطر الدائرة المقيدة سيكون وتر المثلث وطوله يساوي ضعف نصف قطر الدائرة المقيدة.
يرتبط قطر الدائرة المقيدة أيضا بزوايا المثلث. على سبيل المثال ، إذا كان المثلث متساوي الساقين ، فإن قطر الدائرة المقيدة سيحتوي على جزأين متساويين من الزاوية بين الأضلاع المتساوية للمثلث.
بمعرفة طول قطر دائرة المثلث ، من الممكن اشتقاق العديد من الخصائص والصيغ الهندسية التي تسمح لك بحل المشكلات المختلفة في الهندسة المتعلقة بدائرة المثلث.
قطر الدائرة المحدودة: التعريف والخصائص
قطر الدائرة المقيدة هو جزء مرسوم من خلال مركز الدائرة وينتهي عند حدوده ، أي على الدائرة نفسها. القطر هو أكبر وتر (جزء يربط نقطتين على دائرة) ويمر عبر مركزه.
للعثور على قطر الدائرة المقيدة ، من المهم معرفة بعض خصائص المثلث الذي تم وصف هذه الدائرة فيه. وهنا بعض منهم:
- الخاصية 1: قطر الدائرة المقيدة عمودي على جانب المثلث الذي يتم رسمه بالقرب منه. هذا يعني أن القطر عمودي على قاعدة المثلث إذا كان منقوشا بزاوية حادة ، أو على ارتفاع المثلث إذا كان منقوشا بزاوية قائمة.
- الخاصية 2: الزاوية المكونة من جانب المثلث وقطر الدائرة المحدودة هي 90 درجة. هذه الخاصية تتبع من عمودي القطر إلى الجانب.
- الخاصية 3: قطر الدائرة المقيدة يساوي نصف قطر مرسوم على نقاط تقاطع الدائرة مع جوانب المثلث. تتبع هذه الخاصية من حقيقة أن نصف قطر الدائرة عمودي على جانب المثلث ، ويقسم هذا الجانب إلى جزأين متساويين.
باستخدام هذه الخصائص ، يمكنك العثور على قطر الدائرة المقيدة حول المثلث. يمكن استخدامه لحل مشاكل مختلفة ، مثل إيجاد مساحة المثلث أو تحديد المثلث بواسطة دائرته المحدودة.
الشكل: مثال على مثلث بدائرة مقيدة | الشكل: مثال على دائرة مقيدة بالقرب من مثلث |
العلاقة بين قطر الدائرة المقيدة والمثلث
قطر محيط المثلث مهم ويرتبط بخصائصه. قطر الدائرة المقيدة هو جزء يمر عبر مركز الدائرة ويستريح على محيطها.
تعرف إحدى النتائج الرئيسية المتعلقة بقطر الدائرة المقيدة بالمثلث باسم نظرية الدائرة المقيدة:
النظرية: بالنسبة للمثلث التعسفي ، تمر دائرته المحدودة عبر رؤوس المثلث.
وبالتالي ، فإن قطر الدائرة المقيدة للمثلث سوف يمر عبر رؤوس المثلث ويكون عنصرا مهما في خصائصه الهندسية.
من الجدير بالذكر أن طول قطر الدائرة المقيدة له علاقة بالمثلث في شكل نظرية تعرف باسم نظرية الزاوية المركزية:
النظرية: الزاوية المركزية المقابلة للقطر المحدد للدائرة المحدودة هي 180 درجة.
وبالتالي ، فإن الزاوية التي تشكلها أي نقطتين على الدائرة ومركز الدائرة ستكون 180 درجة.
كيف أجد قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
قطر دائرة المثلث هو جزء يربط بين رأسين متقابلين للمثلث ويمر عبر مركز الدائرة.
هناك عدة طرق لإيجاد قطر الدائرة المقيدة للمثلث:
- باستخدام صيغة الجيب
- باستخدام صيغة نصف قطر الدائرة المقيدة
- باستخدام صيغة المثلث
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث (أ ، ب ، ج) معروفة ، فيمكن إيجاد قطر الدائرة المقيدة بالصيغة:
د = (أ * ب * ج) / (4 * ق),
أين د هو قطر الدائرة المقيدة ، س هي مساحة المثلث.
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث (أ ، ب ، ج) معروفة ، يمكنك أولا إيجاد نصف قطر الدائرة المقيدة باستخدام الصيغة:
ص = (أ * ب * ج) / (4 ث),
أين ص هو نصف قطر الدائرة المقيدة ، س هي مساحة المثلث.
ثم يمكن حساب قطر الدائرة المقيدة بضرب نصف القطر في 2:
د = 2 ص.
إذا كانت أطوال أضلاع المثلث (أ ، ب ، ج) معروفة ، يمكنك استخدام الصيغة لإيجاد قطر الدائرة المقيدة:
د = أ * ب * ج / (4 * ن * ق),
أين د هو قطر الدائرة المقيدة ، س هي مساحة المثلث ، ن هو الرقم "بي".
باختيار إحدى هذه الطرق،يمكنك بسهولة العثور على قطر دائرة المثلث.
الطريقة 1: بواسطة نظرية المحور الراديكالي
تتمثل إحدى طرق إيجاد قطر دائرة مقيدة بالقرب من مثلث في استخدام نظرية المحور الجذري. تعتمد هذه الطريقة على خصائص المثلث الموصوف بالقرب من دائرة.
في البداية ، من الضروري تذكر التعريف الموصوف بالقرب من المثلث. الدائرة المقيدة للمثلث هي دائرة تمر عبر جميع رؤوس المثلث. ويترتب على هذا التعريف أن كل جانب من المثلث هو وتر من هذه الدائرة.
تنص نظرية المحور الجذري على أن الخطوط العمودية المرسومة من مركز الدائرة إلى الأوتار تقسم هذه الأوتار إلى نصفين. وبعبارة أخرى ، فإن نقطة تقاطع الخطوط العمودية المرسومة على الأوتار هي منتصف كل وتر.
بتطبيق هذه النظرية على المثلث والدائرة المقيدة ، نحصل على الخطوات التالية:
- ارسم وترا على جانبي المثلث.
- من مركز الدائرة ، ارسم عموديا على هذا الوتر.
- أوجد نقطة تقاطع هذا العمودي مع الوتر.
- قم بقياس المسافة من مركز الدائرة إلى نقطة التقاطع الموجودة.
- مضاعفة هذه المسافة - ستكون القيمة الناتجة قطر الدائرة المقيدة حول المثلث.
وبالتالي ، باستخدام نظرية المحور الجذري ، ستتمكن من العثور على قطر الدائرة المقيدة حول المثلث.
الطريقة 2: وفقا للصيغة مع نصف قطر الدائرة المنقوشة
في هذه الطريقة ، سنستخدم صيغة تربط نصف قطر الدائرة المنقوشة بأطوال أضلاع المثلث.
- أوجد نصف محيط المثلث ، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:
- س = (أ + ب + ج) / 2
- احسب مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:
- ق = √(ق * (ق — أ) * (ق-ب) * (ق-ج))
- أوجد نصف قطر الدائرة المنقوشة باستخدام الصيغة:
- ص = ق / ق
- احسب قطر الدائرة المقيدة باستخدام الصيغة:
- د = 2 * ص
تعتمد هذه الطريقة على العلاقة بين نصف قطر الدوائر المنقوشة والمقيدة للمثلث.
باستخدام الصيغة مع نصف قطر الدائرة المنقوشة ، يمكنك العثور بدقة وبسرعة على قطر الدائرة المقيدة بالقرب من المثلث.
حقائق مثيرة للاهتمام حول قطر محيط المثلث
يلعب قطر الدائرة المقيدة للمثلث دورا مهما في الهندسة وله العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام:
- خاصية الزاوية المنقوشة. يمر قطر الدائرة المقيدة دائما عبر قمة المثلث ووسط الجانب الآخر. وهكذا ، إذا قمنا بتوصيل نقاط المنتصف من جانبي المثلث إلى قمة الرأس ، نحصل على زاويتين متساويتين ، والتي ستكون زوايا منقوشة بأقواس متساوية على الدائرة.
- خاصية الجانب ممدود. إذا كان أحد جانبي المثلث أطول من الجانبين الآخرين ، فإن قطر الدائرة المقيدة سيمر عبر الرأس المقابل لهذا الجانب الممدود.
- الخاصية العمودية. إذا كان جانب المثلث هو قطر الدائرة المقيدة ، فستكون الزاوية المعاكسة صحيحة. ويترتب على ذلك أن قطر الدائرة المقيدة عمودي على الجانب المقابل للمثلث.
قطر الدائرة المقيدة للمثلث ليس فقط أداة لحل المشكلات الهندسية ، ولكن له أيضا خصائصه المثيرة للاهتمام.
سؤال وجواب
ما هي دائرة مقيدة?
الدائرة المقيدة للمثلث هي دائرة تمر عبر جميع رؤوس المثلث.
كيف يمكنني العثور على قطر دائرة مقيدة?
يمكن العثور على قطر الدائرة المقيدة باستخدام الصيغة: د = أ / الخطيئة (أ) ، أين د هو القطر ، أ هو طول ضلع المثلث ، و أ هي الزاوية المقابلة له.
كيف يمكنني العثور على قطر دائرة مقيدة دون معرفة الزوايا?
إذا كنت لا تعرف زوايا المثلث ، لكنك تعرف أضلاعه ، فيمكن العثور على قطر الدائرة المقيدة باستخدام الصيغة: د = أ * ب * ج / (4 * س) ، حيث د هو القطر ، أ ، ب ، ج هي جوانب المثلث ، س هي مساحة المثلث.
هل من الممكن العثور على قطر الدائرة المقيدة بإحداثيات رؤوس المثلث?
نعم ، يمكنك. إذا كان لديك إحداثيات رؤوس المثلث ، فيمكن العثور على قطر الدائرة المقيدة باستخدام الصيغة: د =₁ ((ثاني أكسيد الكربون — س س س س س س س س س س س س س س س س س س 2) ، أين (س س س ، ص س) ، (ثاني أكسيد الكربون ، ص ثاني أكسيد الكربون) هي إحداثيات رأسين للمثلث.
كيف يمكنني استخدام الصيغة للعثور على قطر الدائرة المقيدة للمثلث?
لاستخدام الصيغة لإيجاد قطر الدائرة المقيدة للمثلث ، من الضروري معرفة أطوال أضلاع المثلث أو زوايا المثلث أو إحداثيات رؤوس المثلث ، اعتمادا على طريقة الحساب المختارة.
ما هي الصيغة المستخدمة للعثور على نصف قطر دائرة مقيدة?
لإيجاد نصف قطر دائرة مقيدة ، يمكنك استخدام الصيغة: ص = أ / (2 * الخطيئة (أ)) أو ص = ب / (2 * الخطيئة (ب)) أو ص = ج / (2 * الخطيئة (ج)) ، أين ص هو نصف القطر ، أ ، ب ، ج هي الأضلاع مثلثات ، أ ، ب ، ج هي زواياها المقابلة.