الزاوية بين المتجهات هي واحدة من أهم المفاهيم في الجبر الخطي والهندسة. هذه هي الزاوية المكونة من شعاعين قادمين من نقطة مشتركة. دراسة هذا المفهوم مفيدة بشكل خاص في حل المشاكل المختلفة في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا.
لحل مشكلة إيجاد الزاوية بين المتجهات عند إحداثيات 3 نقاط ، من الضروري معرفة إحداثيات هذه النقاط – النقطة أ (س1 ، ص1) ، النقطة ب (س2 ، ص2) والنقطة ج (س3 ، ص3). باستخدام هذه البيانات ، من الممكن حساب المتجهات أب و أس ، والتي ستنشأ من نفس النقطة أ.
بعد ذلك ، استخدم الصيغة لحساب المنتج القياسي للمتجهات. يمكن حساب الناتج القياسي لمتجهين باستخدام الصيغة التالية: أب * أس = (س2-س1) * (س3 — س1) + (ص2 — ص1) * (ص3 — ص1). بمعرفة المنتج القياسي لهذه المتجهات ، يمكنك حساب وحداتها وحساب الزاوية بينها باستخدام الدوال المثلثية.
- التحضير للقرار
- حساب المتجهات
- العثور على المنتج العددي
- حساب وحدات المتجهات
التحضير للقرار
قبل حل مشكلة إيجاد الزاوية بين المتجهات بناء على إحداثيات ثلاث نقاط ، من الضروري تنفيذ عدة خطوات تحضيرية:
- حدد إحداثيات النقاط الثلاث أ ، ب ، ج. لتبسيط الحل ، يمكنك تحديد النقطة أ في الأصل (0 ، 0) ، وتحديد النقطتين الأخريين بشكل عشوائي. على سبيل المثال ، يمكن أن تكون إحداثيات النقطة ب (5.0) ، ويمكن أن تكون إحداثيات النقطة ج (0.5).
- حساب ناقلات أب و أس. للقيام بذلك ، وحساب الفرق في إحداثيات النقاط: ناقلات أب = (زب — زا ، يب — يا) ، ناقلات أس = (شك — زا ، يك — يا).
- العثور على المنتج العددية من ناقلات أب و أس. للقيام بذلك ، اضرب الإحداثيات المقابلة للمتجهات وأضف النتائج: أب * أس = (زب — زا) * (شك — زا) + (يب — يا) * (يك — يا).
- العثور على أطوال ناقلات أب و أس. للقيام بذلك ، حساب الجذر التربيعي لمجموع المربعات من الإحداثيات المقابلة:| أب | = سرت((شب — زا)^2 + (يب — يا)^2) ، | أس / = سرت((شك — زا)^2 + (يك — يا)^2).
بعد الانتهاء من هذه الخطوات ، يمكنك المتابعة لحل مشكلة إيجاد الزاوية بين المتجهات باستخدام الصيغة: الزاوية أبك = أرككوس ((أب · أس) / (/أب / * |أس/))
حساب المتجهات
لحساب الزاوية بين المتجهات بناء على إحداثيات 3 نقاط ، يجب عليك أولا تحديد إحداثيات المتجهات ، ثم استخدام الصيغة لإيجاد الزاوية بينهما.
1. تحديد إحداثيات المتجهات:
- ناقلات أب: إحداثيات النقطة أ (س1 ، ص1) والنقطة ب (س2 ، ص2)
- ناقلات قبل الميلاد: إحداثيات النقطة ب (س2 ، ص2) والنقطة ج (س3 ، ص3)
2. حساب مكونات ناقلات أب و قبل الميلاد:
| ناقلات | س-تنسيق | ص-تنسيق |
|---|---|---|
| أب | س2-س1 | ص2-ص1 |
| قبل الميلاد | 3-2 | ذ3-ذ2 |
3. حساب المنتج العددية من ناقلات أب و قبل الميلاد:
المنتج العددية من ناقلات أب و قبل الميلاد هو:
(أ) BC (قبل الميلاد) = (أبكس B بكس) + (أبي B بسي)
4. حساب أطوال ناقلات أب و قبل الميلاد:
طول المتجه أب يساوي:
/ أب / = √(أب 2 + أب 2)
طول متجه قبل الميلاد هو:
/ بي سي / = √(بي سي إكس 2 + بي سي 2)
5. احسب جيب تمام الزاوية بين المتجهات أب و قبل الميلاد:
جيب تمام الزاوية بين المتجهات أب و قبل الميلاد هو:
كوس (AB) = (أب BC قبل الميلاد) / (/أب| × / قبل الميلاد|)
6. أوجد قيمة الزاوية θ:
arc = أرككوس(كوس (co))
هنا angle ستكون الزاوية بالراديان. للحصول على قيمة الزاوية بالدرجات ، تحتاج إلى تحويلها باستخدام النسبة:
الزاوية بالدرجات = * * (180 / π)
العثور على المنتج العددي
يعكس المنتج القياسي للمتجهات مقياس اتجاهها ويستخدم في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء. و given ، المعطاة من خلال إحداثياتها في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن حساب المنتج القياسي باستخدام الصيغة التالية:
| 𝑎 · 𝑏 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧 |
حيث 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎 𝑧 إحداثيات ناقلات 𝑎 و 𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏 𝑧 إحداثيات ناقلات 𝑏.
يسمح لك المنتج العددي لمتجهين بتحديد مقدار توجيه هذه المتجهات بشكل مشترك أو توجيه معاكس. إذا كان المنتج العددي موجبا ، فإن المتجهات تكون مشتركة الاتجاه. إذا كان المنتج القياسي سالبا ، فإن المتجهات تكون موجهة عكسيا. إذا كان المنتج القياسي صفرا ، فإن المتجهات تكون متعامدة (متعامدة).
يمكن أن يكون حساب الناتج القياسي للمتجهات مفيدا في حل المشكلات المختلفة ، على سبيل المثال ، عند إيجاد الزاوية بين المتجهات أو عند التحقق مما إذا كانت المتجهات متداخلة.
حساب وحدات المتجهات
معامل المتجه هو طول المتجه. لإيجاد معامل متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد ، معطى بإحداثيات ثلاث نقاط ، اتبع الخطوات التالية:
تحديد إحداثيات المتجه وضعت بين النقطتين. للقيام بذلك ، احسب فرق الإحداثيات لكل مكون (س ، ص ، ض) من النقطة الثانية (ب) والنقطة الأولى (أ).