الرياضيات هي علم يدرس خصائص الأرقام وعلاقاتها وأشكالها ومساحتها. واحدة من المجالات الرائعة للرياضيات هي الهندسة. تدرس الأشكال وأحجامها وأشكالها وموقعها في الفضاء وطرق تحويلها. في الهندسة ، يوجد كائن مثل المثلث ، وهو أمر مثير للاهتمام لبساطته والعديد من الخصائص التي يمكن دراستها والعثور عليها.
واحدة من المهام المثيرة للاهتمام في الهندسة هي السؤال: "كم عدد المثلثات الموجودة التي تكون رؤوسها هي الرؤوس المميزة ونقاط المنتصف لجوانب عشري منتظم?لحل هذه المشكلة ، من الضروري النظر في خصائص عشري منتظم وتطبيق الأساليب الهندسية المناسبة.
للإجابة على هذا السؤال ، يمكنك استخدام طريقة التوافقية. يحتوي العشري المنتظم على 10 رؤوس ، ومن خلال ربط هذه الرؤوس ، نحصل على 10 أضلاع. مع العلم أن المثلث يتشكل عند توصيل ثلاث نقاط ، نحتاج في هذه الحالة إلى إيجاد مثلثات تكون رؤوسها هي الرؤوس المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع العشري.
- التحقيق في عدد المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم
- عشاري منتظم ونقاطه
- متغيرات المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة
- حساب عدد المثلثات الممكنة
- سؤال وجواب
- التي القمم بمثابة نقاط للمثلثات?
- كم عدد المثلثات الموجودة مع هذه القمم?
- ما مثلثات موجودة مع هذه القمم?
- هل هذه المثلثات لها أي خصائص خاصة?
- هل من الممكن إعطاء تمثيل رسومي لهذه المثلثات?
- ماذا يمكنك أن تفعل مع هذه المهمة المقبل?
التحقيق في عدد المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم
في هذه المقالة ، سننظر في مشكلة عدد المثلثات التي تقع رؤوسها عند النقاط المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم.
بادئ ذي بدء ، دعونا ننظر إلى الشكل الهندسي نفسه – عشري منتظم. يتكون العشري المنتظم من عشرة أضلاع متساوية وعشر زوايا متساوية ، كل منها يساوي 144 درجة. دعونا نأخذ النقاط المحددة لدراستنا-رؤوس العشري ونقاط المنتصف من جوانبها.
لحساب عدد المثلثات التي تقع رؤوسها في مثل هذه النقاط ، نحتاج إلى النظر في جميع التوليفات الممكنة لثلاث نقاط معينة. من الواضح أن المثلثات التي تتكون من رؤوس عشري ستلبي الشرط بالفعل. ومع ذلك ، نلاحظ أيضا أنه يجب أيضا مراعاة المثلثات التي تتكون من ثلاث نقاط منتصف من الأضلاع.
يمكن حساب عدد المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة باستخدام التوافقية. لهذه المهمة ، يمكنك استخدام مجموعات دون تكرار. يمكن العثور على عدد المجموعات العشرية كمجموعات من ثلاثة عناصر من أصل عشرة: ج(10 ، 3) = 120. يأخذ هذا الرقم في الاعتبار فقط المثلثات التي تقع رؤوسها عند رؤوس العشري.
ومع ذلك ، يجب أن نأخذ في الاعتبار أيضا مثلثات تتكون من ثلاث نقاط منتصف من الأضلاع. في المجموع ، يمكن العثور على 20 نقطة منتصف من الجوانب في العشري (نقطتا منتصف على كل جانب). يمكن أيضا العثور على عدد المجموعات من منتصف الجوانب باستخدام مجموعة بدون تكرار. نحصل على: ج (20 ، 3) = 1140.
في المجموع ، العدد الإجمالي للمثلثات ذات الرؤوس الموجودة عند النقاط المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم هو 120 + 1140 = 1260. من بين هؤلاء ، يتكون 120 مثلثا فقط من رؤوس عشري ، وتحتوي المثلثات المتبقية البالغ عددها 1140 على مثلثات ذات رؤوس عند رؤوس العشري ونقاط المنتصف لأضلاعه.
في هذه المقالة ، درسنا عدد المثلثات التي تقع رؤوسها عند النقاط المحددة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم. وقد تبين أن العدد الإجمالي لمثل هذه المثلثات هو 1260 ، منها 120 تتكون فقط من القمم و 1140 تحتوي على كل من القمم ونقاط المنتصف من الجانبين.
عشاري منتظم ونقاطه
العشري المنتظم هو مضلع تتساوى فيه جميع الجوانب والزوايا. يتكون من عشرة رؤوس متصلة بعشرة جوانب.
هناك عدة نقاط خاصة في عشري منتظم:
- رؤوس العشري هي النقاط التي تتقاطع فيها جوانب العشري. سيكون هناك دائما 10 منهم في عشري منتظم.
- نقاط منتصف الأضلاع هي النقاط التي تقسم كل جانب من جوانب العشري إلى نصفين. سيكون هناك أيضا 10 منهم في عشري منتظم.
كل هذه النقاط لها خصائص واتصالات معينة مع بعضها البعض. على سبيل المثال ، يتم توصيل كل رأس من عشري إلى منتصف الجانب الأقرب إليه. أيضا ، كل قمة متصلة بأقرب رأسين. يمكن تصوير هذه الاتصالات باستخدام الخطوط.
العشري المنتظم ونقاطه هي أشياء للدراسة في الرياضيات والهندسة. إنها تساعدنا على فهم وتحليل بنية وخصائص المضلعات بشكل أفضل ، وكذلك حل المهام والمهام المختلفة.
متغيرات المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة
تتمثل إحدى طرق التفكير في خيارات المثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة في التفكير في مجموعات من هذه النقاط.
في هذه الحالة ، لدينا 10 نقاط محددة: رؤوس عشري منتظم ونقاط منتصف أضلاعه.
عند النظر في جميع التوليفات الممكنة لهذه النقاط ، يمكن تمييز المتغيرات التالية للمثلثات:
- مثلث الذي القمم هي ثلاث نقاط ملحوظ مختارة من هذه 10. في المجموع ، يمكن اختيار هذه المثلثات من 10 نقاط — وهذا هو عدد المجموعات من 10 في 3.
- مثلث رؤوسه رأسان من عشري ونقطة منتصف واحدة من جانبه. في المجموع ، يمكن اختيار هذه المثلثات من 10 نقاط-وهذا هو عدد مجموعات 10 في 2 مضروبة في عدد جوانب العشري (منها 10).
- مثلث الذي القمم هي قمة واحدة من عشري واثنين من نقاط المنتصف من الجانبين. في المجموع ، يمكن اختيار هذه المثلثات من 10 نقاط-وهذا هو عدد مجموعات 10 في 1 مضروبة في عدد أضلاع العشري (منها 10) مضروبة في عدد أضلاع المثلث (منها 3).
وبالتالي ، ستكون هناك خيارات للمثلثات ذات الرؤوس عند النقاط المحددة:
- 10 + (10 * 10) + (10 * 10 * 3) = 10 + 100 + 300 = 410 مثلثات.
ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن بعض هذه المثلثات قد تكون محاذاة مع بعضها البعض أو ما شابه ، لذلك قد يكون العدد النهائي للمثلثات الفريدة أقل.
حساب عدد المثلثات الممكنة
لحساب عدد المثلثات المحتملة التي تكون رؤوسها هي الرؤوس المميزة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم ، يجب أن نأخذ في الاعتبار الحقائق التالية:
- يحتوي العشري العادي على 10 رؤوس و 10 جوانب.
- يتم تشكيل مثلث عندما نختار 3 نقاط من هذه المجموعة.
- لكي يكون المثلث فريدا ، يجب ألا تقع النقاط المحددة على نفس الخط المستقيم.
يمكن حساب عدد المثلثات الفريدة باستخدام التوافقية. يمكننا استخدام صيغة الاختيار دون تكرار من المجموعة:
| الصيغة | |
|---|---|
| أخذ العينات دون تكرار من المجموعة: | ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) |
أين:
- ن هو عدد العناصر في المجموعة
- ك هو عدد العناصر التي نختارها من المجموعة
- ! - رمز عاملي
في حالتنا ، قيمة ن هو 10 ، لأن لدينا 10 رؤوس و 10 نقاط منتصف من جوانب العشري.
نختار 3 نقاط من هذه المجموعة لإنشاء مثلث:
- ك = 3
الآن يمكننا حساب عدد المثلثات الفريدة:
| الحساب | |
|---|---|
| عدد المثلثات الفريدة: | ج (10 ، 3) = 10! / (3!(10 — 3)!) = 10! / (3!7!) = 120 / (6 * 5040) = 120 / 30240 = 0.00396825 |
وبالتالي ، فإن عدد المثلثات الفريدة الممكنة ، التي تكون رؤوسها هي الرؤوس المميزة ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم ، هو حوالي 0.004.
سؤال وجواب
التي القمم بمثابة نقاط للمثلثات?
رؤوس المثلثات هي الرؤوس ونقاط المنتصف المميزة لجوانب عشري منتظم.
كم عدد المثلثات الموجودة مع هذه القمم?
لحساب عدد المثلثات ، تحتاج إلى معرفة عدد الرؤوس التي يحتوي عليها عشري منتظم. إذا كان يحتوي على 10 رؤوس ، فيمكن مطابقة كل رأس مع كل رأس آخر ، لتشكيل أزواج. سيكون هناك 10 * 9 = 90 من هذه الأزواج. بعد ذلك ، يمكنك توصيل كل زوج بالرأس الثالث (مركز العشري) ، والحصول على مثلثات. وبالتالي ، سيكون عدد المثلثات 90.
ما مثلثات موجودة مع هذه القمم?
هناك 90 مثلثا بمثل هذه الرؤوس. عندما يتم بناؤها ، يتم توصيل كل زوج من القمم التي شكلتها قمة الرأس ملحوظ ووسط الجانب إلى قمة الرأس الثالثة-مركز عشري. وبالتالي ، فإن جميع أزواج الرؤوس الممكنة تشكل مثلثات.
هل هذه المثلثات لها أي خصائص خاصة?
المثلثات التي يتم تمييز رؤوسها برؤوس ونقاط المنتصف لأضلاع عشري منتظم لها الميزات التالية: جميع المثلثات متشابهة ، متساوية في المساحة ، متساوية في الارتفاع ومتساوية الساقين.
هل من الممكن إعطاء تمثيل رسومي لهذه المثلثات?
نعم ، يمكنك تخيل تمثيل رسومي للمثلثات ، التي تكون رؤوسها هي الرؤوس المميزة ونقاط المنتصف لجوانب عشري منتظم. على الرسم البياني ، يمكنك أن ترى أن جميع المثلثات لها نفس الشكل والحجم ، وتختلف فقط في موضعها في الفضاء.
ماذا يمكنك أن تفعل مع هذه المهمة المقبل?
يمكنك الاستمرار في العمل مع هذه المهمة من خلال استكشاف خصائص وخصائص المثلثات التي تكون رؤوسها هي الرؤوس المميزة ونقاط المنتصف لجوانب عشري منتظم. ربما يمكنك العثور على بعض الأنماط أو الروابط الأكثر إثارة للاهتمام مع كائنات رياضية أخرى. يمكنك أيضا تعميم المشكلة على حالة المضلعات الأخرى أو تغيير شروط المشكلة.