تعد مشكلة احتمال إخراج كرات معينة من الجرة إحدى المهام المهمة لنظرية الاحتمالات. ضع في اعتبارك موقفا يوجد فيه 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء في الجرة. نحن بحاجة إلى تحديد احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد.
لحل هذه المشكلة ، تحتاج أولا إلى تحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في حالتنا ، العدد الإجمالي للكرات في الجرة هو 15 (9 أبيض و 6 أسود) ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للتركيبات للحصول على كرتين من الجرة سيكون ج(15 ، 2) (مزيج من 15 في 2).
الآن نحن بحاجة إلى تحديد عدد النتائج التي نأخذ بها اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد. الكرة الأولى يمكن أن يكون أي من البيض 9 ، والكرة الثانية يمكن أن يكون أي من البيض 8 المتبقية. وبالتالي ، فإن عدد النتائج التي نخرج فيها كرتين أبيضتين على التوالي سيكون 9 * 8 = 72.
وبالتالي ، فإن الاحتمال المطلوب سيكون مساويا لنسبة عدد النتائج المواتية للحدث (لإخراج اثنين من الكرات البيضاء على التوالي) إلى العدد الإجمالي للنتائج:
احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء على التوالي من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء هو 72/105 ، والتي يمكن تبسيطها إلى 24/35.
- ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
- تحديد الاحتمال
- حساب احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى
- حساب احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية
- حساب الاحتمال الكلي لإخراج اثنين من الكرات البيضاء
- حالة عودة الكرات
- القضية دون إرجاع الكرات
- مثال الحساب
- تأثير تغيير عدد الكرات على الاحتمال
- مناهج بديلة لحساب الاحتمالات
- طريقة التوافقية
- طريقة الاحتمالات الشرطية
- طريقة العرض على الشجرة
- طريقة مصفوفة الاحتمالات
- الاستنتاجات
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
- كيف يمكنك وصف احتمال أخذ اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
- ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، ونحن بحاجة إلى استخدام التوافقية.
لذلك ، هناك 15 كرة في الجرة ، 9 منها بيضاء و 6 سوداء. إذا قمنا بسحب كرتين على التوالي دون العودة ، فإن عدد طرق اختيار كرتين أبيضتين يساوي ناتج عدد طرق اختيار الكرة البيضاء الأولى وعدد طرق اختيار الكرة البيضاء الثانية.
عدد طرق اختيار الكرة البيضاء الأولى هو 9 (نظرا لأن لدينا 9 كرات بيضاء في الجرة).
بعد أن اخترنا الكرة البيضاء الأولى ، لدينا 14 كرة متبقية في الجرة ، 8 منها بيضاء و 6 سوداء. وبالتالي ، فإن عدد طرق اختيار الكرة البيضاء الثانية هو 8.
لذا ، فإن العدد الإجمالي لطرق اختيار كرتين أبيضتين يساوي ناتج عدد طرق اختيار الكرة البيضاء الأولى وعدد طرق اختيار الكرة البيضاء الثانية: 9 * 8 = 72 .
الآن دعنا نحسب العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لاختيار كرتين من الجرة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى استخدام الصيغة للعثور على مجموعات دون تكرار:
ج (15 ، 2) = 15! / (2!(15-2)!) = 15! / (2! * 13!) = (15 * 14 * 13!) / (2 * 1 * 13!) = (15 * 14) / (2 * 1) = 105.
لذا ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لاختيار كرتين من الجرة هو 105.
وأخيرا ، لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء ، يمكنك استخدام الصيغة:
ف (اثنين من الكرات البيضاء) = عدد من الطرق لاختيار اثنين من الكرات البيضاء / العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة من اختيار اثنين من الكرات من جرة.
ص (اثنان أبيضان) = 72/105 0 0.6857 (أو تقريب إلى أربعة منازل عشرية — 0.6857).
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة تحتوي على 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء حوالي 0.6857 أو 68.57٪.
تحديد الاحتمال
الاحتمال هو كمية رياضية توضح مدى احتمال أو احتمال حدوث حدث ما. يتم قياس الاحتمال في النطاق من 0 إلى 1 ، حيث يعني 0 أن الحدث مستحيل ، و 1 يعني أن الحدث سيحدث بالتأكيد.
لتحديد الاحتمال ، من الضروري معرفة عدد النتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية ، أي النتائج التي نهتم بها.
صيغة الاحتمال:
احتمال حدوث حدث = عدد النتائج الإيجابية / عدد النتائج المحتملة
يمكن التعبير عن الاحتمال بأشكال مختلفة: عشري أو كسري أو نسبة مئوية. على سبيل المثال ، يعني احتمال 0.5 أنه يمكن أن يحدث حدث في نصف الحالات ، واحتمال 50 ٪ له نفس القيمة.
يمكن أن يكون تحديد الاحتمالات مفيدا في مختلف مجالات الحياة ، مثل الإحصائيات والتمويل والألعاب والمزيد. يسمح لك بالتنبؤ باحتمالية الأحداث واتخاذ قرارات مستنيرة بناء على هذه التوقعات.
مثال على تحديد الاحتمال:
لنفترض أن هناك 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء في الجرة. نحن بحاجة إلى تحديد احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد ، دون العودة.
عدد النتائج المحتملة هو العدد الإجمالي للكرات في الجرة ، أي 15.
عدد النتائج الإيجابية هو عدد الطرق لاختيار اثنين من الكرات البيضاء من التسعة المتاحة. يمكننا استخدام التوافقية لحساب هذه الكمية. على سبيل المثال ، باستخدام الصيغة التوافقية ج(ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!) ، يمكننا أن نجد ذلك ج (9.2) = 36.
وبالتالي ، فإن احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء من الجرة هو 36/15 = 12/5 = 0.8 ، مما يعني أنه في 80 ٪ من الحالات نسحب اثنين من الكرات البيضاء.
حساب احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى
يتم إعطاء جرة تحتوي على 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. تحتاج إلى حساب احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى من هذه الجرة.
لحساب احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للكرات في الجرة وعدد الكرات البيضاء.
خطوات لحساب الاحتمال:
- حدد عدد الكرات البيضاء في الجرة. في هذه الحالة ، عددهم هو 9.
- حدد العدد الإجمالي للكرات في الجرة. في هذه الحالة ، عددهم هو 9 + 6 = 15.
- احسب احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى باستخدام الصيغة: الاحتمال = عدد الكرات البيضاء / إجمالي عدد الكرات. في هذه الحالة ، يكون الاحتمال 9.15 = 0.6 ، أو 60٪.
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء هو 0.6 أو 60٪.
حساب احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية
لحساب احتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية من جرة بها 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، نحتاج إلى مراعاة احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى واحتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية.
- احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى:
- عدد الكرات البيضاء: 9
- إجمالي عدد الكرات: 9 أبيض + 6 أسود = 15
- احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية:
- عدد الكرات البيضاء المتبقية: 8 (بعد إخراج الكرة البيضاء الأولى)
- إجمالي عدد الكرات المتبقية: 14 (بعد إخراج الكرة الأولى)
وبالتالي ، فإن احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى هو 9 / 15.
وبالتالي ، فإن احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية هو 8-14.
لحساب الاحتمال النهائي ، يجب أن نضرب احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى في احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية:
| أول كرة بيضاء | الكرة البيضاء الثانية | الاحتمال النهائي |
|---|---|---|
| 9 / 15 | 8 / 14 | (9/15) * (8/14) = 0.3429 |
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء على التوالي من الجرة هو 0.3429 أو 34.29٪.
حساب الاحتمال الكلي لإخراج اثنين من الكرات البيضاء
تتناول هذه المقالة احتمال إزالة كرتين أبيضتين من جرة تحتوي على 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء.
لحساب الاحتمال الكلي ، تحتاج إلى النظر في حالتين مختلفتين: مع وبدون عودة الكرات.
حالة عودة الكرات
في حالة إرجاع الكرات بعد كل استخراج ، فإن احتمال إزالة الكرة البيضاء يساوي عدد الكرات البيضاء مقسوما على العدد الإجمالي للكرات:
- احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى: 9/15
- احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية: 9/15
لتحديد الاحتمال الكلي ، من الضروري مضاعفة هذه الاحتمالات:
| استخراج | الاحتمال |
|---|---|
| الكرة الأولى | هو 9/15 |
| الكرة الثانية | هو 9/15 |
| الاحتمال الكلي | (9/15) * (9/15) = 81/225 |
القضية دون إرجاع الكرات
في حالة عدم عودة الكرات بعد الاستخراج الأول ، سينخفض احتمال إزالة الكرة البيضاء بعد إزالة كل كرة من الجرة:
- احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى: 9/15
- احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية: 8/14
لتحديد الاحتمال الكلي ، من الضروري أيضا مضاعفة هذه الاحتمالات:
| استخراج | الاحتمال |
|---|---|
| الكرة الأولى | هو 9/15 |
| الكرة الثانية | 8/14 |
| الاحتمال الكلي | (9/15) * (8/14) = 72/210 |
وبالتالي ، فإن الاحتمال الإجمالي لإزالة كرتين أبيضتين من جرة بها 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء هو 81/225 عند إعادة الكرات و 72/210 دون إعادة الكرات.
مثال الحساب
لحساب احتمال إخراج كرتين أبيضتين من جرة بها 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، يمكننا استخدام التوافقية وصيغة لحساب الاحتمال.
أولا ، دعنا نحدد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. لا يوجد سوى 15 كرة في الجرة ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو ج (15.2) - عدد مجموعات 15 عنصرا من 2 بدون تكرار:
ج (15,2) = 15! / (2! * (15-2)!) = 105.
ثم نحدد عدد النتائج الإيجابية-عدد الطرق لسحب كرتين أبيضتين من 9 أبيض و 6 أسود. يمكننا استخدام التوافقية لإيجاد عدد التوليفات:
ج (9,2) = 9! / (2! * (9-2)!) = 36.
لذا ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو 36.
أخيرا ، يمكننا إيجاد احتمال إزالة كرتين أبيضتين من الجرة بقسمة عدد النتائج الإيجابية على إجمالي عدد النتائج المحتملة:
ع (اثنين من الكرات البيضاء) = عدد النتائج الإيجابية / العدد الإجمالي للنتائج المحتملة = 36/105 0 0.343.
وبالتالي ، فإن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة معينة هو حوالي 0.343 أو حوالي 34.3٪.
تأثير تغيير عدد الكرات على الاحتمال
لنأخذ جرة تحتوي على 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. نريد إخراج كرتين من هذه الجرة ، ونحن مهتمون باحتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء. يمكن حساب احتمال هذا الحدث باستخدام الصيغة:
الاحتمال = (عدد النتائج الإيجابية) / (إجمالي عدد النتائج)
يمكن العثور على العدد الإجمالي للنتائج بواسطة الصيغة:
إجمالي عدد النتائج = عدد من الطرق لتحديد 2 كرات من جميع الكرات في جرة
يمكن العثور على عدد النتائج الإيجابية من خلال الصيغة:
عدد من النتائج الإيجابية = عدد من الطرق لاختيار 2 كرات من جميع الكرات البيضاء في جرة
مع زيادة عدد الكرات في الجرة ، باللونين الأبيض والأسود ، سيتغير احتمال إخراج كرتين أبيضتين. على سبيل المثال ، إذا قمت بزيادة عدد الكرات البيضاء في الجرة ، فإن عدد النتائج الإيجابية سيزداد أيضا ، مما يستلزم زيادة في الاحتمال.
من ناحية أخرى ، إذا قمت بزيادة عدد الكرات السوداء في الجرة ، فإن عدد النتائج الإيجابية سينخفض ، مما سيؤدي إلى انخفاض في احتمال سحب اثنين من الكرات البيضاء.
لذلك ، فإن تغيير عدد الكرات في الجرة بين الأبيض والأسود يمكن أن يكون له تأثير على احتمال إخراج كرتين أبيضتين. لتحديد الاحتمال بشكل أكثر دقة ، من الضروري معرفة العدد الدقيق للكرات من كل لون في الجرة. باستخدام الصيغ المقدمة ، يمكنك حساب الاحتمال اعتمادا على هذه البيانات.
مناهج بديلة لحساب الاحتمالات
هناك عدة طرق بديلة لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. دعونا ننظر في عدد قليل منهم.
طريقة التوافقية
طريقة واحدة لحساب الاحتمال هي استخدام التوافقية. لتحديد احتمال أن اثنين من الكرات المستخرجة بالتتابع دون عودة ستكون بيضاء ، يتم استخدام الصيغة:
ع = (عدد من الطرق لتحديد 2 كرات بيضاء) / (عدد من الطرق لتحديد 2 كرات من المجموع)
طريقة الاحتمالات الشرطية
نهج آخر هو استخدام الاحتمالات الشرطية. في هذه الحالة ، يتم النظر في احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى ثم إخراج الكرة البيضاء الثانية ، بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء. لحساب الاحتمال ، يتم استخدام الصيغة:
ع = (احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى) * (احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية ، بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء)
طريقة العرض على الشجرة
هناك طريقة أخرى لحساب الاحتمال وهي عرض جميع النتائج المحتملة على الشجرة. يتم تحديد الاحتمال لكل نتيجة ، ثم يتم إضافة الاحتمالات معا للحصول على الاحتمال النهائي.
طريقة مصفوفة الاحتمالات
يمكنك أيضا استخدام مصفوفة احتمالية ، حيث يمثل كل عنصر من عناصر المصفوفة احتمال حدوث نتيجة. ضرب مصفوفة الاحتمالات للأحداث المتتالية يعطي الاحتمال النهائي.
كل هذه الأساليب تسمح لنا بحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. يعتمد اختيار الطريقة على تفضيلات الحساب وملاءمته.
الاستنتاجات
في هذه المقالة ، درسنا احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة تحتوي على 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء.
اكتشفنا أنه لحساب احتمال رسم اثنين من الكرات البيضاء ، تحتاج أولا إلى تحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في هذه الحالة ، فإن العدد الإجمالي للنتائج يساوي عدد الطرق لاختيار 2 كرات من أصل 15. يمكن حساب هذا المبلغ باستخدام صيغة الجمع: ج(15 ، 2) = 15! / (2!(15-2)!) ، أين! يعني عامل.
بعد ذلك ، أظهرنا أن عدد النتائج الإيجابية يساوي عدد الطرق لاختيار 2 كرات بيضاء من أصل 9 كرات بيضاء. يمكن أيضا حساب ذلك باستخدام صيغة الجمع: ج (9 ، 2) = 9! / (2!(9-2)!).
بناء على تحديد الاحتمال ص = النتائج الإيجابية / العدد الإجمالي للنتائج ، قمنا بحساب احتمال إخراج كرتين أبيضتين وحصلنا على ذلك ص = ج(9 ، 2) / ج(15 ، 2).
نتيجة للحسابات ، حصلنا على أن احتمال إخراج كرتين أبيضتين يساوي الرقم 6/15 أو 2/5 ، والذي يمكن اختزاله إلى شكل عشري مثل 0.4 أو إلى شكل نسبة مئوية مثل 40٪.
وبالتالي ، يمكن الاستنتاج أن احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء هو 40٪.
سؤال وجواب
ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، يجب عليك أولا تحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في هذه الحالة ، لا يوجد سوى 15 كرة في الجرة. بالنسبة للكرة الأولى ، سيكون احتمال إخراج الكرة البيضاء 9/15 ، وللكرة الثانية - 8/14 (لأنه بعد إخراج الكرة الأولى ، هناك 14 كرة متبقية في الجرة). يمكن حساب احتمال إخراج اثنين من الكرات البيضاء بضرب هذين الاحتمالين: (9/15) * (8/14) = 4/7 أو ما يقرب من 0.5714 (تقريب إلى أربعة منازل عشرية).
كيف يمكنك وصف احتمال أخذ اثنين من الكرات البيضاء من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
يمكن وصف احتمال إزالة كرتين أبيضتين من جرة بها 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء على أنها نسبة عدد النتائج الإيجابية (إزالة كرتين أبيضتين) إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. هنا ، يمكن حساب عدد النتائج المحتملة كمنتج لعدد الكرات البيضاء ، التي يوجد منها 9 في الجرة ، بعدد الكرات السوداء ، والتي يوجد منها 6 في الجرة. عدد النتائج الإيجابية يساوي ناتج عدد الكرات البيضاء ، منها 9 ، بعدد الكرات البيضاء المتبقية بعد إزالة كرة واحدة ، أي 8. وبالتالي ، يمكن حساب الاحتمال على النحو التالي (9 * 8) / (15 * 14) = 4/7 أو ما يقرب من 0.5714 (تقريب إلى أربعة منازل عشرية).
ما هو احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد من جرة مع 9 الأبيض و 6 كرات سوداء?
لحساب احتمال إزالة اثنين من الكرات البيضاء في صف واحد من جرة مع 9 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء ، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار احتمال إزالة الكرة البيضاء الأولى واحتمال إزالة الكرة البيضاء الثانية ، شريطة أن الكرة الأولى كانت بيضاء. احتمال إخراج الكرة البيضاء الأولى هو 9/15 ، حيث لا يوجد سوى 15 كرة في الجرة و 9 منها بيضاء. بعد إخراج الكرة البيضاء الأولى ، تبقى 14 كرة في الجرة ، 8 منها بيضاء. وبالتالي ، فإن احتمال إخراج الكرة البيضاء الثانية ، بشرط أن تكون الأولى بيضاء ، هو 8/14. من أجل حساب احتمال كلا الحدثين ، يجب علينا ضربهما: (9/15) * (8/14) = 4/7 أو حوالي 0.5714 (تقريب إلى أربعة منازل عشرية).