احتمال وجود نقطة مختارة عشوائيا تنتمي إلى دائرة

لنتخيل أن لدينا دائرة نصف قطرها ص ونختار نقطة عشوائية داخل هذه الدائرة. من المثير للاهتمام معرفة ما هو احتمال أن تنتمي هذه النقطة المختارة عشوائيا إلى دائرة.

لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام الطريقة الهندسية. بادئ ذي بدء ، دعونا نلقي نظرة على تعريف الدائرة — إنها مجموعة من النقاط التي لا تتجاوز المسافة إلى مركز الدائرة نصف القطر ر.إذا أخذنا في الاعتبار جميع النقاط الممكنة داخل هذه الدائرة ، فإن كل منها سوف يفي بهذا الشرط.

الآن دعنا ننتقل إلى مفهوم المنطقة. مساحة الدائرة هي بي * ص^2 ، حيث بي هو ثابت رياضي يساوي حوالي 3.14159 ، و ص هو نصف قطر الدائرة. مساحة الدائرة هي جزء صغير من المستوى الذي تشغله هذه الدائرة. إذا اخترنا نقطة عشوائية داخل منطقة الدائرة ، فإن احتمال انتمائها إلى الدائرة سيكون مساويا لنسبة مساحة الدائرة إلى المساحة الكلية ، أي بي * ص^2/(مساحة الطائرة) أو ، على نحو مكافئ ، بي*ص^2 / (بي*ص^2) = 1.

وبالتالي ، فإن احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة هو 1 أو 100٪. هذا يرجع إلى حقيقة أن جميع النقاط الممكنة داخل الدائرة تفي بشرط الانتماء إلى هذه الدائرة.

1. احتمال وجود نقطة تنتمي إلى دائرة
2. تعريف مفهوم "الدائرة"
3. نقطة عشوائية على متن طائرة
4. طرق تحديد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة
5. صيغة حساب الاحتمال
6. أمثلة على حساب الاحتمالات
7. اعتماد الاحتمال على نصف قطر الدائرة
8. التطبيق العملي في المهام
9. سؤال وجواب
10. ما هو احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة?
11. إذا كان نصف قطر الدائرة يزيد, كيف احتمال اختيار نقطة داخله تغيير?
12. ما هو احتمال اختيار نقطة على حدود الدائرة?
13. كيف يمكن للمرء أن يعبر عن احتمال اختيار نقطة خارج الدائرة?

احتمال وجود نقطة تنتمي إلى دائرة

يمكن حساب احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة باستخدام طرق هندسية واحتمالية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة وإحداثيات النقطة.

لتحديد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة أم لا ، يمكن استخدام القاعدة التالية: إذا كانت المسافة من مركز الدائرة إلى النقطة أقل من أو تساوي نصف القطر ، فإن النقطة تنتمي إلى الدائرة.

لحساب احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة ، سنحتاج إلى معرفة مساحة الدائرة ومنطقة المنطقة بأكملها التي تم تحديد النقطة فيها. يمكن التعبير عن هذه المناطق من حيث نصف قطر الدائرة ونصف قطر منطقة العينة.

ثم يمكن حساب احتمال وجود نقطة تنتمي إلى دائرة باستخدام الصيغة:

ع = عينات سيركل / ثانية

أين ص هو الاحتمال المطلوب ، سيركل هي مساحة الدائرة ، س من العينة هي مساحة منطقة العينة.

من المهم ملاحظة أن هذه الصيغة قابلة للتطبيق فقط عندما تكون عينة النقاط موحدة وعشوائية ، وكذلك عند استخدام مساحة احتمالية مستمرة.

تعريف مفهوم "الدائرة"

الدائرة هي شكل هندسي يتكون من مجموعة من النقاط على مسافة متساوية من نقطة مركزية معينة.

الدائرة هي أحد الأشكال الرئيسية في الهندسة. لديها الخصائص التالية:

• مركز الدائرة: النقطة التي تكون منها جميع النقاط على الدائرة متساوية البعد. يشار إليه بالرمز "س".

• دائرة نصف قطرها من الدائرة: المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على الدائرة. يشار إليه بالرمز "ص".

• قطر الدائرة: المسافة بين نقطتين على الدائرة التي تمر عبر مركز الدائرة. نصف قطر مزدوج. يشار إليه بالرمز "د".

• الدائرة: حدود الدائرة ، مجموعة من النقاط على مسافة متساوية من المركز. يشار إليه بالرمز "ج".

للدائرة العديد من الخصائص والخصائص التي تمت دراستها في الهندسة. يتم استخدامه لحل المشاكل المتعلقة بالعلاقات المكانية والأبعاد.

نقطة عشوائية على متن الطائرة

لنفترض أن لدينا مستوى به نظام إحداثيات حيث يتوافق إحداثيان مع كل نقطة-الإحداثي السيني (س) والإحداثي (ص).

لنفترض أن كل نقطة على المستوى لها احتمال متساو في أن يتم اختيارها عشوائيا. بعد ذلك ، من أجل تحديد احتمال أن تنتمي نقطة تم اختيارها عشوائيا إلى أي منطقة على المستوى ، من الضروري مراعاة نسبة مناطق المناطق المقابلة.

على سبيل المثال ، خذ دائرة على مستوى متمركز في الأصل ومع نصف القطر ص. دع س دائرة تكون مساحة هذه الدائرة. إذا سقطت نقطة عشوائية داخل الدائرة ، يقال إنها تنتمي إلى الدائرة. يمكن تعريف احتمال مثل هذا الحدث على النحو التالي:

ص (نقطة عشوائية تنتمي إلى دائرة) = دائرة / طائرة

هنا ، الطائرة هي مساحة الطائرة بأكملها.

يمكنك أيضا التفكير في مستطيل بطول الجانبين أ و ب. دع المستطيل يكون مساحة هذا المستطيل. إذا سقطت نقطة عشوائية داخل مستطيل ، يقال إنها تنتمي إلى المستطيل. يمكن تعريف احتمال مثل هذا الحدث على النحو التالي:

ص (نقطة عشوائية تنتمي إلى مستطيل) = الزاوية اليمنى / الطائرة اليمنى

وبالتالي ، فإن احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى منطقة على المستوى يعتمد على مساحة هذه المنطقة ومساحة المستوى بأكمله.

طرق تحديد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة

يعتمد تحديد ما إذا كانت النقطة المختارة عشوائيا تنتمي إلى دائرة على الأساليب والصيغ الرياضية.

• طريقة الإحداثيات الديكارتية: تستخدم هذه الطريقة إحداثيات نقطة ونصف قطر الدائرة لتحديد العضوية. إذا كانت المسافة بين النقطة المحددة ومركز الدائرة أقل من أو تساوي نصف القطر ، فإن النقطة تنتمي إلى الدائرة.
• طريقة الأشكال الهندسية: تستخدم هذه الطريقة الخصائص الهندسية للأشكال مثل الدائرة والمستطيل لتحديد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى دائرة. إذا كانت النقطة تقع داخل الدائرة ، فستقع أيضا داخل المستطيل الموصوف بها ، وبالمثل ، إذا كانت النقطة لا تقع داخل المستطيل ، فإنها لا تنتمي إلى الدائرة.
• طريقة صيغة المنطقة: تستخدم هذه الطريقة صيغة لحساب مساحة الدائرة ومساحة المثلث المتكون بنقطة ونقطتين على محيط الدائرة. إذا كان مجموع مساحات المثلثات بين النقطة المحددة وكل زوج من النقاط على الدائرة يساوي مساحة الدائرة ، فإن النقطة تنتمي إلى الدائرة. خلاف ذلك ، إذا كان مجموع مساحات المثلثات أكبر أو أقل من مساحة الدائرة ، فإن النقطة لا تنتمي إلى الدائرة.

يعتمد اختيار الطريقة على المهمة والبيانات المتاحة والدقة المطلوبة. كل طريقة لها مزاياها وقيودها ، لذلك من المهم اختيار الطريقة المناسبة لحالة معينة.

صيغة حساب الاحتمال

يعتمد حساب احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة على نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع الذي تم تسجيله فيه.

صيغة حساب الاحتمال لها الشكل:

ع = دائرة / مربع,

أين:

• ص هو احتمال وجود نقطة تنتمي إلى دائرة;
• الدائرة-منطقة الدائرة;
• المربع هو مساحة المربع.

يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة:

سيركل = r * ر2,

أين:

• constant هو ثابت رياضي ، القيمة التقريبية التي هي 3.14159;
• ص هو نصف قطر الدائرة.

مساحة المربع تساوي ضعف مساحة جانب المربع:

مربع = 4 * 2,

أين:

• أ هو طول جانب المربع.

الصيغة النهائية لحساب الاحتمال هي:

يسمح لك حساب الاحتمال بتحديد مدى احتمال سقوط نقطة تم اختيارها عشوائيا داخل الدائرة ، اعتمادا على نصف قطر الدائرة وطول جانب المربع الذي تم تسجيله فيه.

أمثلة على حساب الاحتمالات

فيما يلي بعض الأمثلة على حساب احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة ذات معلمات معروفة:

• مثال 1:

  يتم إعطاء دائرة نصف قطرها 5 سم. أوجد احتمال أن تنتمي نقطة تم اختيارها عشوائيا إلى دائرة.

  خطوات الحساب	النتيجة
  حساب مساحة الدائرة:	ن = r * ص^2 = 3.14 * 5^2 = 78.5 انظر^2
  احسب مساحة المربع الذي يحتوي على الدائرة:	مساحة مربع = الجانب^2 = (2 * ص)^2 = 100 سم^2
  احسب الاحتمال:	الاحتمال = مساحة الدائرة / مساحة المربع = 78.5 / 100 = 0.785

  وبالتالي ، فإن احتمال اختيار نقطة تنتمي إلى دائرة هو 0.785 أو 78.5٪.

• المثال 2:

  يتم إعطاء دائرة نصف قطرها 8 أمتار. أوجد احتمال أن تكون نقطة تم اختيارها عشوائيا خارج الدائرة.

  خطوات الحساب	النتيجة
  حساب مساحة الدائرة:	ن = r * ص^2 = 3.14 * 8^2 = 201.06 م^2
  احسب مساحة المربع الذي يحتوي على الدائرة:	مساحة مربع = الجانب^2 = (2 * ص)^2 = 256 م^2
  احسب مساحة المربع الذي لا يحتوي على دائرة:	مساحة مربع = الجانب^2 = (2 * ص + 1)^2 = 289 م^2
  احسب الاحتمال:	الاحتمال = مساحة مربع لا يحتوي على دائرة / مساحة مربع = 289 / 256 = 1.125

  وبالتالي ، فإن احتمال اختيار نقطة لا تنتمي إلى الدائرة هو 1.125 أو 112.5٪.

اعتماد الاحتمال على نصف قطر الدائرة

يعتمد احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة على نصف قطر الدائرة. أكبر دائرة نصف قطرها من الدائرة ، والأرجح هو أن نقطة سوف تقع داخله.

تخيل أن لدينا دائرة بنصف قطر معين. تعتبر جميع النقاط داخل هذه الدائرة "ناجحة" ، وتعتبر النقاط خارج الدائرة"غير ناجحة". يمكن حساب احتمال ضرب نقطة تم اختيارها عشوائيا داخل الدائرة بقسمة عدد النقاط" الناجحة " على إجمالي عدد النقاط في الفضاء.

يمكنك أن ترى أنه مع زيادة نصف قطر الدائرة ، تزداد مساحة الدائرة أيضا. هذا يعني أن عدد النقاط "الناجحة" داخل الدائرة سيزداد. لذلك ، فإن احتمال ضرب نقطة داخل الدائرة سيزيد.

اعتماد الاحتمال على نصف قطر الدائرة

وبالتالي ، كلما كان نصف قطر الدائرة أكبر ، زادت احتمالية سقوط نقطة تم اختيارها عشوائيا داخل هذه الدائرة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع زيادة مساحة الدائرة ، يزداد عدد النقاط "الناجحة" بداخلها ، مما يؤثر على احتمال ضربها.

التطبيق العملي في المهام

يرتبط أحد التطبيقات العملية لاحتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة بمجال رسومات الكمبيوتر. على سبيل المثال ، عند بناء نماذج ثلاثية الأبعاد للكائنات ، يلزم إجراء حسابات لتحديد ما إذا كانت النقاط داخل أو خارج حجم الكائن.

أيضا ، يتم استخدام احتمال نقطة تنتمي إلى دائرة عند تحليل نتائج التجارب الإحصائية. في مثل هذه الحالات ، يمكن استخدام الأساليب الاحتمالية لتقييم الأهمية الإحصائية للبيانات التي تم الحصول عليها.

يمكن أن يكون احتمال وجود نقطة تنتمي إلى دائرة مفيدا أيضا في مهام التعلم الآلي والذكاء الاصطناعي. على سبيل المثال ، عند تطوير خوارزميات لمعالجة الصور أو التعرف على الأنماط ، يمكنك استخدام الاحتمال لتحديد حدود الكائنات وأشكالها.

تجدر الإشارة أيضا إلى التطبيق العملي لاحتمال الانتماء إلى نقطة تم اختيارها عشوائيا إلى دائرة في مهام رسم الرسوم البيانية والرسوم البيانية. يتيح لك تحديد احتمالية وصول النقاط إلى الرسم البياني عرض توزيع البيانات بدقة أكبر وإبراز الاتجاهات والأنماط الرئيسية.

بشكل عام ، يجد احتمال وجود نقطة تم اختيارها عشوائيا تنتمي إلى دائرة تطبيقا في مجالات مختلفة حيث يكون من الضروري تحليل البيانات وتحديد حدود الكائنات وحل مشكلات التعرف أو التنبؤ.

سؤال وجواب

ما هو احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة?

يعتمد احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة على نصف قطر الدائرة. إذا كان نصف قطر الدائرة هو ص ، فإن احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة يساوي مساحة الدائرة مقسومة على مساحة المنطقة بأكملها. في هذه الحالة ، سيكون الاحتمال بي * ص^2 / (بي*ص^2) ، وهو 1.

إذا كان نصف قطر الدائرة يزيد, كيف احتمال اختيار نقطة داخله تغيير?

إذا زاد نصف قطر الدائرة ، فإن مساحة الدائرة تزداد أيضا. لذلك ، فإن احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة سيزداد. سيكون الاحتمال مساويا لمساحة الدائرة مقسوما على مساحة المنطقة بأكملها. أكبر دائرة نصف قطرها من الدائرة ، والأرجح هو لتحديد نقطة داخله.

ما هو احتمال اختيار نقطة على حدود الدائرة?

احتمال اختيار نقطة على حدود الدائرة هو صفر. تحتوي النقاط الموجودة على الحدود على مساحة صفرية ، لذا فإن احتمال اختيار مثل هذه النقطة بالضبط هو صفر. سيكون احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة وعلى الحدود معا 1.

كيف يمكن للمرء أن يعبر عن احتمال اختيار نقطة خارج الدائرة?

يمكن التعبير عن احتمال اختيار نقطة خارج الدائرة على أنها 1 مطروحا منها احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة. إذا كان احتمال اختيار نقطة داخل الدائرة هو ص ، فإن احتمال اختيار نقطة خارج الدائرة سيكون 1-ص.