احتمال الحصول على 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات

عملة القذف هي واحدة من أبسط والأكثر شعبية الألعاب في العالم. واحدة من المهام المثيرة للاهتمام المرتبطة بهذه اللعبة هي تحديد احتمال سقوط مجموعة معينة. في هذه الحالة ، سننظر في احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات.

دائما ما يكون احتمال سقوط شعار النبالة أو ذيول عند رمي عملة عادلة من 1 إلى 2 ، نظرا لأن لدينا نتيجتين محتملتين فقط — شعار النبالة والذيل. لتحديد احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ، نحتاج إلى مراعاة عدد مجموعات العملات الممكنة عند القذف 10 مرات.

يمكن تحديد عدد التوليفات الممكنة عند رمي 10 عملات معدنية باستخدام صيغة الجمع دون تكرار:

ج (10 ، 4) = 10! / (4! * (10 — 4)!) = 210

1. ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف من الأسلحة على التوالي عند التقليب عملة 10 مرات?
2. صيغة الاحتمال
3. احتمال وجود معطف من الأسلحة تسقط مع إرم واحد
4. حساب احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي
5. مقارنة الاحتمالات
6. احتمال الحصول على 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ومجموعات أخرى
7. حقائق مثيرة للاهتمام حول الاحتمال
8. الاستنتاجات
9. سؤال وجواب
10. كم عدد خيارات إسقاط العملة هناك 10 مرات?
11. ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات?
12. أمثلة على التسلسلات عند رمي عملة معدنية 10 مرات, أين 4 تسقط شعارات النبالة على التوالي?
13. ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف من الأسلحة في صف واحد عندما القذف عملة ن مرات?

ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف من الأسلحة على التوالي عند التقليب عملة 10 مرات?

احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند قلب عملة معدنية 10 مرات هو احتمال أنه مع 10 تقلبات متتالية للعملة ، سوف يسقط شعار النبالة 4 مرات متتالية.

لحساب هذا الاحتمال ، يمكننا استخدام صيغة بسيطة لحساب احتمال وقوع حدث عشوائي-نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في حالة معينة ، يكون الحدث هو فقدان 4 طبقات من الأسلحة على التوالي. للعثور على عدد من النتائج الإيجابية ، ونحن بحاجة إلى أن تأخذ في الاعتبار أن شعار النبالة يمكن أن تقع على أي من 10 قذفات ، ولكن 4 معاطف من الأسلحة يجب أن تقع على التوالي.

وبالتالي ، يمكن حساب عدد النتائج الإيجابية على أنه عدد المواضع المحتملة لمجموعة من 4 عناصر (شعارات النبالة) داخل صف من 10 عناصر (قذفات العملة). في هذه الحالة ، نتعامل مع موضع بدون تكرار ، لذلك يمكن حساب هذا الرقم باستخدام الصيغة ن! / ((ن-ك)!) ، أين ن هو عدد العناصر على التوالي (10 رميات) ، و ك هو عدد العناصر في مجموعة (4 طبقات من الأسلحة).

يمكن حساب العدد الإجمالي للنتائج المحتملة على أنه 2 لقوة 10 ، نظرا لأن لدينا 2 نتيجة محتملة لكل رمية عملة (شعار النبالة أو ذيول) ، ولدينا 10 رميات.

بعد الحصول على أرقام النتائج الإيجابية وإجمالي النتائج المحتملة ، يمكننا حساب احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي. للقيام بذلك ، نحتاج إلى قسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة:

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند قلب عملة معدنية 10 مرات هو حوالي 4.92 ٪ أو حوالي 0.04921875.

صيغة الاحتمال

صيغة الاحتمال هي الأداة الرياضية الرئيسية لحساب احتمالات الأحداث المختلفة. في سياق مشكلة احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات ، تسمح لك صيغة الاحتمال بتقدير فرصة حدوث مثل هذا الحدث.

تبدو صيغة الاحتمال بشكل عام كما يلي:

ع (أ) = ن (أ) / ن (ق)

أين:

• ص (أ) هو احتمال وقوع الحدث أ;
• ن (أ) هو عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها الحدث أ;
• ن (ق) هو العدد الإجمالي للنتائج ، أي عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة.

في مهمتنا ، النتيجة الإيجابية هي حدث "فقدان 4 طبقات من الأسلحة على التوالي". لا يوجد سوى 6 نتائج سيحدث فيها هذا الحدث ، لأنه مع كل قلب عملة هناك نتيجتان محتملتان (شعار النبالة أو ذيول) ، ونحن بحاجة إلى الحصول على 4 طبقات من الأسلحة على التوالي.

لا يوجد سوى 2^10 نتائج للتجربة ، نظرا لوجود نتيجتين محتملتين لكل من 10 تقلبات للعملة. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج التجريبية هو 1024.

باستخدام صيغة الاحتمال ، يمكننا حساب احتمال وقوع الحدث "فقدان 4 طبقات من الأسلحة على التوالي" عند رمي عملة معدنية 10 مرات:

ع (أ) = 6 / 1024 = 0.005859375

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند قلب عملة معدنية 10 مرات هو حوالي 0.59٪.

احتمال وجود معطف من الأسلحة تسقط مع إرم واحد

احتمال سقوط شعار النبالة بقلب عملة واحدة هو 0.5 أو 50٪. هذا يرجع إلى حقيقة أن العملة لها وجهان: شعار النبالة والذيل ، ولكل منهم نفس فرصة السقوط.

العملة عبارة عن قرص مقسم إلى جزأين متساويين. يقع شعار النبالة على جانب واحد ، والذيل على الجانب الآخر. عند رمي عملة معدنية ، يمكن أن تسقط فقط مع وجود جانبين لأعلى: شعار النبالة أو ذيول.

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة بقلب عملة واحدة هو 1 إلى 2 أو 0.5 أو 50٪.

حساب احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي

لنفترض أننا نقلب عملة معدنية 10 مرات. المهمة هي لحساب احتمال أنه مع هذه 10 عملة تقلب ، 4 معاطف من الأسلحة سوف تسقط في صف واحد.

لحل هذه المشكلة ، سوف نستخدم صيغة لحساب احتمال وقوع حدث يحدث عدة مرات بشكل مستقل عن بعضها البعض:

ع (أ 1 و أ 2 و ... و أ) = ص (أ1) * ص (أ2)*... * ف (أ)

في حالتنا ، فإن احتمال سقوط شعار النبالة هو 1/2 (نظرا لأن لدينا نتيجتين محتملتين بنفس القدر: شعار النبالة والذيل). لذا ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي سيكون:

ف (4 معاطف من الأسلحة على التوالي) = (1/2)^4 = 1/16 = 0.0625

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند قلب عملة معدنية 10 مرات هو 0.0625 أو 6.25٪.

مقارنة الاحتمالات

احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات منخفض جدا ويعتمد على عدد النتائج المحتملة. ومع ذلك ، من أجل تقييم هذا الاحتمال بشكل كامل ، تحتاج إلى مقارنته بالاحتمالات الأخرى من أجل الحصول على نقطة انطلاق.

على سبيل المثال ، احتمال سقوط شعار واحد عند قلب عملة معدنية هو 1/2 أو 0.5. هذا يعني أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التقلبات ، فإن ما يقرب من نصف النتائج ستكون شعار النبالة. يمكن حساب احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي بضرب احتمالات كل شعار نبالة فردي.

يمكن إجراء مقارنة أخرى مع احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي في حالة رمي 10 عملات معدنية. احتمال سقوط طبقة واحدة من الأسلحة في كل لفة فردية هو 1/2. للحصول على احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ، تحتاج إلى مضاعفة احتمال وجود طبقة واحدة من الأسلحة في حد ذاته 4 مرات. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي سيكون (1/2) ^ 4 = 1/16 أو 0.0625.

من المثير للاهتمام مقارنة هذا الاحتمال باحتمال سقوط أي تسلسل آخر من شعارات النبالة والذيل. على سبيل المثال ، يمكن حساب احتمال سقوط 2 طبقة من الأسلحة و 2 ذيول من 4 رميات باستخدام صيغة المجموعات. احتمال مثل هذه النتيجة سيكون ج(4,2)/(2^4) = 6/16 = 0.375.

وبالتالي ، فإن احتمال إسقاط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي (0.0625) أقل بكثير من احتمال إسقاط 2 طبقة من الأسلحة و 2 ذيول (0.375).

احتمال الحصول على 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ومجموعات أخرى

عندما تقلب عملة معدنية 10 مرات ، هناك مجموعات مختلفة يمكن الحصول عليها. واحدة من هذه المجموعات هي فقدان 4 طبقات من الأسلحة على التوالي. لحساب احتمال هذه المجموعة ، نحتاج إلى معرفة احتمال سقوط شعار النبالة على قلب عملة واحدة.

احتمال سقوط شعار النبالة على قلب عملة واحدة هو 1/2 ، لأن العملة لها وجهان-شعار النبالة والذيل ، وكلا الجانبين متساويان في الاحتمال. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا حساب احتمال وجود مجموعة من 4 طبقات من الأسلحة على التوالي.

للحصول على 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ، فمن الضروري أن أول 4 عملة تقلب تنتهي مع معطف من الأسلحة. احتمال سقوط شعار النبالة على قلب عملة واحدة هو 1/2 ، لذا فإن احتمال أن تنتهي أول 4 تقلبات بشعار النبالة هو (1/2)^4 = 1/16.

ومع ذلك ، في سياق 10 تقلبات للعملات المعدنية ، ليس فقط الجمع بين 4 طبقات من الأسلحة هو المهم. يمكننا أيضا التفكير في مجموعات أخرى ، مثل:

1. 0 معاطف من الأسلحة (جميع ذيول) - احتمال (1/2)^10 = 1/1024
2. 1 شعار النبالة-الاحتمال 10*(1/2)^10 = 10/1024
3. 2 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(2! * (10-2)!) * (1/2)^10 = 45/1024
4. 3 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(3! * (10-3)!) * (1/2)^10 = 120/1024
5. 5 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(5! * (10-5)!) * (1/2)^10 = 252/1024
6. 6 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(6! * (10-6)!) * (1/2)^10 = 210/1024
7. 7 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(7! * (10-7)!) * (1/2)^10 = 120/1024
8. 8 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(8! * (10-8)!) * (1/2)^10 = 45/1024
9. 9 معاطف من الأسلحة-احتمال 10!/(9! * (10-9)!) * (1/2)^10 = 10/1024
10. 10 شعارات النبالة (جميع شعارات النبالة) - الاحتمال (1/2)^10 = 1/1024

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات هو 1/16 ، ويعتمد احتمال المجموعات الأخرى على عدد طبقات الأسلحة في المجموعة ويمكن أيضا حسابها.

حقائق مثيرة للاهتمام حول الاحتمال

• احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات: احتمال سقوط شعار النبالة برمية عملة واحدة هو 1/2 ، نظرا لوجود نتيجتين محتملتين بنفس القدر — شعار النبالة أو ذيول. احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي مع 10 رميات هو (1/2)^4 ، أي 1/16 أو حوالي 0.0625.

• احتمال إضافة رقمين والحصول على نتيجة معينة: يتم استخدام مفهوم التوافقية لهذا الحساب. على سبيل المثال ، احتمال الحصول على مجموع 7 على المكعب (المبلغ الأكثر احتمالا) هو 6/36 أو 1/6 ، لأن المكعب له 6 وجوه ، ويمكن أن يسقط كل وجه باحتمال 1/6.

• القمار من أجل الحظ: دائما ما يكون احتمال الفوز في ألعاب القمار المختلفة من أجل الحظ ، مثل الروليت أو ماكينات القمار ، ضئيلا. من المهم بالنسبة للكازينوهات أن يكون احتمال الفوز أقل من احتمال الخسارة ، بحيث يكون لديهم ميزة رياضية على المدى الطويل.

• قانون الأعداد الكبيرة: وفقا لهذا القانون الرياضي ، مع زيادة عدد التجارب ، يقترب احتمال النتيجة من احتمالها النظري. على سبيل المثال ، مع رمي العملات المعدنية المتعددة ، يميل احتمال سقوط شعار النبالة إلى 1/2.

• احتمال الأحداث النادرة: عادة ما يبدو احتمال الأحداث النادرة ، مثل الفوز باليانصيب أو الفوز بالكازينو ، صغيرا جدا. ومع ذلك ، بالنسبة للعديد من الأشخاص ، فإن إمكانية الفوز بجائزة صغيرة أو حتى الفوز بالجائزة الكبرى جذابة وتشجعهم على المشاركة في مثل هذه الألعاب.

يلعب الاحتمال دورا مهما في مختلف جوانب الحياة ، من اتخاذ القرار إلى تحليل البيانات. فهم المفاهيم الأساسية للاحتمال يساعد في الحياة اليومية وفي اتخاذ القرارات الهامة.

الاستنتاجات

بناء على الحسابات والتحليل الذي تم إجراؤه ، يمكن استخلاص الاستنتاجات التالية:

1. احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات هو 0.001953125.
2. هذا احتمال صغير إلى حد ما أن يحدث مثل هذا التسلسل مع قلب عملة عشوائي عادي.
3. يمكن تنفيذ مثل هذا التسلسل في كثير من الأحيان نسبيا مع إعداد عملة خاصة أو باستخدام آلية خادعة. لذلك ، إذا اقترح شخص ما المراهنة على مثل هذا التسلسل ، فعليك أن تكون حذرا ومريبا.

ومن المثير للاهتمام أن احتمال ظهور 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات منخفض جدا في حد ذاته ، لكن احتمال حدوث مثل هذه النتيجة لا يتم استبعاده تماما. الاحتمال موجود دائما ، ولكن يمكن أن يكون صغيرا جدا أو ، على العكس ، مرتفع جدا. لذلك ، عند إجراء دراسات إحصائية مختلفة واتخاذ القرارات ، من الضروري دائما مراعاة نسبة الاحتمالات وإجراء تحليل بناء على هذه المعلومات.

سؤال وجواب

كم عدد خيارات إسقاط العملة هناك 10 مرات?

عدد خيارات إسقاط العملة 10 مرات هو 2^10 = 1024. وذلك لأن كل لفة لديها 2 النتائج المحتملة: معطف من الأسلحة أو ذيول.

ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية 10 مرات?

احتمال سقوط شعار النبالة أو ذيول على عملة واحدة هو 1/2. للحصول على احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي ، تحتاج إلى إضافة احتمالات كل متغير محتمل لمثل هذا التسلسل ، حيث يمكن أن تسقط طبقات الأسلحة في البداية أو في المنتصف أو في النهاية. اتضح أن احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي هو (1/2) ^4 = 1/16.

أمثلة على التسلسلات عند رمي عملة معدنية 10 مرات, أين 4 تسقط شعارات النبالة على التوالي?

أمثلة على تسلسل عند القذف عملة 10 مرات ، حيث 4 معاطف من الأسلحة تسقط في صف واحد: ييغررر ، رررغررر ، ررررغغ ، ييغغررر وهلم جرا. قد يكون هناك العديد من هذه المجموعات.

ما هو احتمال الحصول على 4 معاطف من الأسلحة في صف واحد عندما القذف عملة ن مرات?

يمكن حساب احتمال سقوط 4 طبقات من الأسلحة على التوالي عند رمي عملة معدنية ن مرات باستخدام الصيغة (1/2) ^ 4 = 1/16. تعمل هذه الصيغة مع أي عدد من قذفات العملات المعدنية.