تتيح لنا هذه المهمة فهم الخصائص الرياضية المثيرة للاهتمام والعمليات الجبرية. ضع في اعتبارك مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2
دعونا نحاول أن نفترض أن هذا المبلغ هو مربع بالضبط ، وإثبات هذا الافتراض من خلال طريقة التناقض.
لنفترض أن مجموع هذه المربعات هو مربع دقيق ويشير إليه على أنه ن^2. هذا هو:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = ن^2
دعونا توسيع الأقواس وإعطاء مصطلحات مماثلة:
1 + 4 + 9 + 16 + 25 = ن^2
تلخيص هذه الأرقام ، نحصل على 55 = ن^2.
لدحض هذا الافتراض ، يجب إثبات أن 55 ليس مربعا دقيقا. للقيام بذلك ، لاحظ أن القيمة المطلقة للفرق بين مربعين متتاليين تزداد مع نمو العدد الطبيعي. لذا ، فإن أكبر فرق ممكن بين مربعين متتاليين هو الفرق 25^2 — 24^2 = 49.
نظرا لأن الفرق بين 55 وأي مربع دقيق آخر سيكون أكبر من 49 ، فلا يمكن أن يكون 55 مربعا دقيقا. وبالتالي ، فإن الافتراض بأن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية هو مربع دقيق غير صحيح.
- عرض المشكلة
- مجموع المربعات من خمسة أعداد طبيعية متتالية
- التبرير
- إنكار إمكانية الحصول على مربع دقيق
- دليل
- طريقة الحث
- سؤال وجواب
- هل يمكن أن تفسر لماذا مجموع المربعات من خمسة أرقام متتالية ليست مربع المحدد?
- كيف يمكننا أن نثبت أن مجموع المربعات من خمسة أعداد طبيعية متتالية ليست مربع بالضبط?
- هل هناك أي طريقة لإثبات رياضيا أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أرقام متتالية لا يمكن أن يكون مربعا دقيقا?
تمثيل المشكلة
يتم إعطاء المهمة لإثبات أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا. أولا ، دعنا نحدد المشكلة نفسها ونوضح ما نعنيه بـ"الأعداد الطبيعية المتتالية".
الأعداد الطبيعية المتتالية هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض دون إغفال. على سبيل المثال, 1, 2, 3, 4, 5 — هذه سلسلة من خمسة أعداد طبيعية متتالية.
علينا أن نثبت أن مجموع مربعات الأعداد الطبيعية الخمسة المتتالية ليس مربعا دقيقا. بمعنى آخر ، يجب أن نوضح أنه لا يوجد عدد طبيعي يمثل مربع مجموع مربعات الأعداد الطبيعية الخمسة المتتالية.
للقيام بذلك ، يمكننا استخدام طريقة الإثبات ضد العكس. لنفترض أن هناك عددا طبيعيا هو مربع مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية. ثم يمكننا محاولة تمثيل هذا الرقم على أنه مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية وإثبات أن هذا مستحيل.
دعنا نلقي نظرة فاحصة على الحل خطوة بخطوة لهذه المشكلة في القسم التالي.
مجموع المربعات من خمسة أعداد طبيعية متتالية
لإثبات أن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا ، ضع في اعتبارك تسلسل الأرقام التالي:
- دع الرقم الأول في التسلسل يكون ن.
- ثم الأرقام الأربعة التالية في التسلسل ستكون ن + 1 ، ن + 2 ، ن + 3 و ن + 4.
- دعونا نعبر عن مجموع مربعات هذه الأعداد الخمسة:
| العدد | مربع الرقم |
|---|---|
| n | ن2 |
| ن + 1 | (ن + 1 ) 2 |
| ن + 2 | (ن + 2) 2 |
| ن + 3 | (العدد + 3) 2 |
| ن + 4 | (العدد + 4) 2 |
لنجد الآن مجموع مربعات الأعداد الخمسة:
- ن2 +(ن + 1 ) 2 +(ن + 2) 2 +(ن + 3) 2 +(ن + 4) 2
- ن2 + 2 ن + 1 + ن2 + 4 ن + 4 + ن2 + 6 ن + 9 + ن2 + 8 ن + 16
- 4ن2 + 20ن + 30
- 2 (2ن2 + 10ن + 15)
يمكن كتابة مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية كـ 2ك ، أين ك = 2ن2 + 10ن + 15.
من الواضح أن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا ، حيث يمكن كتابته كمنتج لـ 2 برقم طبيعي ك.
التبرير
بادئ ذي بدء ، ضع في اعتبارك مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية:
أ2 + (أ + 1) 2 +(أ + 2) 2 +(أ + 3) 2 +(أ + 4) 2
فتح الأقواس وإعطاء شروط مماثلة:
| أ2 | + | (أ2 + 2 أ + 1) | + | (أ2 + 4 أ + 4) | + | (أ2 + 6 أ + 9) | + | (أ2 + 8 أ + 16) |
| + | 4 أ | + | 8 أ | + | 16 | |||
| + | 12 ألف | + | 16 |
فيما يلي مصطلحات مماثلة:
| 5 أ 2 | + | 20 ألف | + | 30 |
نرى أن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية هو مربع ثلاثي الحدود:
5 أ 2 + 20 أ + 30
لكي يكون مجموع المربعات مربعا دقيقا ، من الضروري أن يكون المربع ثلاثي الحدود قابلا للعوامل. ومع ذلك ، لا يمكن تحليل مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ، لأن مربع المعامل ليس مربع عدد صحيح والمشتق الأول غير صفري.
وبالتالي ، فإن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا.
إنكار إمكانية الحصول على مربع دقيق
لنفترض أن مجموع مربعات الأعداد الطبيعية الخمسة المتتالية هو مربع دقيق. لإثبات العكس ، افترض أن مثل هذا المربع الدقيق موجود ويشير إليه على أنه ن2 ، أين ن هو عدد طبيعي.
ثم يمكنك كتابة مجموع مربعات خمسة أرقام طبيعية متتالية في النموذج:
ن2 = أ12 + أ22 + أ32 + أ42 + أ52
أين أ1 ، أ2 ، أ3 ، أ4 ، أ5 هي خمسة أعداد طبيعية متتالية.
لإيجاد قيمة ن ، افترض ، على سبيل المثال لا الحصر العمومية ، أن الرقم الأول أ1 هو 1. ثم لدينا:
أ12 = 1
أ22 = أ12 + 1
أ 32 = أ 22 + 1
أ42 = أ32 + 1
أ52 = أ42 + 1
مع وضع ذلك في الاعتبار ، سيبدو مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية كما يلي:
| ن2 | = | 1 + (1+1) + (1+1+1) + (1+1+1+1) + (1+1+1+1+1) |
| = 15 | ||
| = 3 س 5 |
إذن ، لقد حصلنا على أن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية يساوي حاصل ضرب الرقمين 3 و 5. لكن هذا المنتج ليس مربعا دقيقا لعدد طبيعي.
وهكذا ، وصلنا إلى تناقض. افتراضنا حول وجود مربع دقيق لمجموع المربعات المكونة من خمسة أعداد طبيعية متتالية غير صحيح. لذلك ، فإن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا.
دليل
لنفترض أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أعداد طبيعية متتالية هو مربع دقيق. أولا ، دعنا نحدد ما سيكون عليه هذا التعبير.
دع الرقم الأول في التسلسل يكون ن ، ثم خمسة أرقام متتالية سيكون لها الشكل ن ، ن + 1 ، ن + 2 ، ن + 3 ، ن + 4. ثم يمكن كتابة مجموع مربعات هذه الأرقام على النحو التالي:
- مربع الرقم الأول: ن^2
- مربع الرقم الثاني: (ن+1)^2
- مربع الرقم الثالث: (ن+2)^2
- مربع الرقم الرابع: (ن + 3)^2
- مربع الرقم الخامس: (ن + 4)^2
الآن دعونا العثور على مجموع المربعات:
| ن^2 +(ن + 1)^2 +(ن + 2)^2 +(ن + 3)^2 +(ن + 4)^2 |
| = ن^2 +(ن^2 + 2 ن + 1) + (ن^2 + 4 ن + 4) +(ن^2 + 6 ن + 9) + (ن^2 + 8 ن + 16) |
| = 5ن^2 + 20ن + 30 |
الآن دعونا نفترض أن هذا المبلغ هو مربع بالضبط وكتابته على النحو التالي:
5ن^2 + 20ن + 30 = م^2 ، أين م هو عدد صحيح.
دعونا نعبر عن الجانب الأيسر من المعادلة كمربع كامل:
5ن^2 + 20ن + 30 = (ن^2 + 4ن + 2)^2-4ن^2 +2
استبدل هذا التعبير مرة أخرى بالمعادلة الأصلية:
(ن^2 + 4 ن + 2)^2-4 ن^2 + 2 = م^2
(ن^2 + 4 ن + 2)^2-م^2 = 4 ن^2-2
((ن^2 + 4 ن + 2) — م)((ن^2 + 4 ن + 2) + م) = 4(ن^2-1)
(ن^2 + 4 ن + 2-م) (ن^2 + 4 ن + 2 + م) = 4 (ن^2-1)
لاحظ الآن أن الجزء الأيسر هو حاصل ضرب عددين صحيحين ، لذلك يجب أن يكون الجزء الأيمن أيضا حاصل ضرب عددين صحيحين. لكن 4 لا يمكن أن يكون نتيجة نتاج مربعين من الأعداد الطبيعية. هذا التناقض يدل على أن الافتراض كان غير صحيح.
وهكذا ، فقد أثبتنا أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا.
طريقة الحث
طريقة الحث هي واحدة من الطرق الرئيسية للإثبات الرياضي. يعتمد على مبدأ الاستقراء الرياضي ، والذي يسمح لك بإثبات البيانات لجميع الأعداد الطبيعية.
لنفترض أن لدينا بيانا: "مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا."
دعونا نثبت هذا البيان باستخدام طريقة الحث الرياضي.
- قاعدة الاستقراء: نتحقق من صحة البيان للقيمة الأولية. في هذه الحالة ، دعنا نتحقق من خمسة أعداد طبيعية متتالية من 1 إلى 5: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$. من الواضح أن 55 ليس مربعا دقيقا.
- افتراض الاستقراء: افترض أن العبارة صحيحة بالنسبة للبعض n ن n.
- الانتقال التعريفي: دعنا نثبت أن العبارة صحيحة لـ n ن + 1 using باستخدام افتراض الاستقراء. ضع في اعتبارك مجموع مربعات squares ن + 1 numbers أعداد طبيعية متتالية:
| مجموع المربعات | المعنى |
|---|---|
| n ن^2 +(ن + 1)^2$ | n ن^2 + ن^2 + 2 ن + 1$ |
| $2ن^2 + 2ن + 1$ | |
| 2 2 (ن^2 + ن) + 1$ |
لاحظ أن n ن^2 + ن n هو مجموع مربعات numbers ن numbers الأعداد الطبيعية المتتالية. وفقا لافتراض الاستقراء ، فإن هذا الرقم ليس مربعا دقيقا.
وهكذا ، حصلنا على أن مجموع مربعات n ن +1 numbers من الأعداد الطبيعية المتتالية هو الرقم 2 2(ن^2+ن)+1 $ ، وهو أيضا ليس مربعا دقيقا.
بناء على افتراض الاستقراء ، يكون البيان صحيحا لجميع الأعداد الطبيعية. لذلك ، فإن مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية ليس مربعا دقيقا.
سؤال وجواب
هل يمكن أن تفسر لماذا مجموع المربعات من خمسة أرقام متتالية ليست مربع المحدد?
نعم ، بالطبع. دعونا نثبت ذلك. دعونا ن يكون الأول من خمسة أعداد طبيعية متتالية. ثم سيكون مجموع مربعات هذه الأرقام الخمسة مساويا ن^2 +(ن + 1)^2 + (ن+2)^2 + (ن+3)^2 + (ن+4)^2. افتح الأقواس وقم بتبسيط التعبير: 5ن^2 + 20ن + 30. لاحظ أن هذا التعبير هو دالة للقطع المكافئ ولا يمكن أن يكون مربعا دقيقا ، لأنه لا يمكن تمثيله كـ (ك^2) ، أين ك هو رقم طبيعي.
كيف يمكننا أن نثبت أن مجموع المربعات من خمسة أعداد طبيعية متتالية ليست مربع بالضبط?
لإثبات هذه الحقيقة ، يمكنك استخدام طريقة الافتراض المعاكس. لنفترض أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أعداد طبيعية متتالية هو مربع دقيق. أي أن هناك عددا طبيعيا ك مثل: ن^2 +(ن + 1)^2 + (ن+2)^2 + (ن+3)^2 + (ن+4)^2 = ك^2. افتح الآن الأقواس وقم بتبسيط الجانب الأيسر من المعادلة: 5ن^2 + 20ن + 30 = ك^2. لكن هذا يتناقض مع تعريف المربع ، لأن هذا التعبير لا يمكن أن يكون مربعا دقيقا.
هل هناك أي طريقة لإثبات رياضيا أن مجموع المربعات المكونة من خمسة أرقام متتالية لا يمكن أن يكون مربعا دقيقا?
نعم ، بالطبع. لنلق نظرة على الصيغة العامة لمجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية: ن^2 + (ن+1)^2 + (ن+2)^2 + (ن+3)^2 + (ن+4)^2. افتح الأقواس وقم بتبسيط التعبير: 5ن^2 + 20ن + 30. لاحظ أن كثير الحدود هذا هو قطع مكافئ للشكل و(ن)= 5ن^2 + 20ن+30. من المعروف أن القطع المكافئ لا يمكن أن يكون مربعا دقيقا ، لأنه لا يمكن تمثيله كـ (ك^2) ، أين ك هو رقم طبيعي. وبالتالي ، لا يمكن أن يكون مجموع مربعات خمسة أعداد طبيعية متتالية مربعا دقيقا.