يمكن التعبير عن سرعة حركة النقطة باستخدام الصيغة س = ر^3 + 2 ر^2 ، أين س هي المسافة المقطوعة و ر هو وقت الحركة. المعادلة هي دالة تكعيبية تصف التغير في السرعة كدالة للوقت.
قيمة ر^3 يحدد مقدار سرعة نقطة تتغير بمرور الوقت. كلما ارتفعت قيمة تي ، زاد التأثير على السرعة. تأخذ الصيغة أيضا في الاعتبار القيمة 2 تي^2 ، مما يضيف تسارعا ثابتا لسرعة النقطة طوال فترة الحركة.
تسمح لك الصيغة بتحديد سرعة نقطة في أي وقت باستخدام قيم س و ر. للقيام بذلك ، أدخل القيم في الصيغة وقم بإجراء العمليات الحسابية. وبالتالي ، يمكننا تحليل حركة نقطة والحصول على معلومات حول سرعتها في نقاط زمنية مختلفة.
يتيح لك استخدام هذه الصيغة وصف حركة نقطة ما بدقة أكبر والتنبؤ بسرعتها في نقاط زمنية معينة. هذا يجعل من الممكن تحسين عملية حساب الحركة والتنبؤ بها في مختلف المجالات العلمية والهندسية مثل الفيزياء والميكانيكا والديناميكا الهوائية.
- الصيغة لسرعة حركة نقطة
- صيغة حركة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2
- مهمة تحديد السرعة
- تعبير رياضي للسرعة
- سرعة حركة نقطة اعتمادا على الوقت
- تغيير السرعة عندما يتغير الوقت
- رسم بياني لاعتماد السرعة في الوقت المحدد
- أمثلة على حل المشكلات لسرعة حركة النقطة
- سؤال وجواب
- ما هي الصيغة التي تحدد سرعة نقطة?
- كيف يمكن للمرء أن يجد السرعة وفقا لقانون معين لحركة نقطة?
- كيف تتغير سرعة النقطة أثناء الحركة?
- ما هو التفسير المادي للصيغة لسرعة نقطة?
الصيغة لسرعة حركة نقطة
صيغة سرعة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 ر^2 يمكن الحصول عليها عن طريق التمييز بين دالة المسافة س بالوقت ر.
لنأخذ مشتق دالة المسافة في الوقت المناسب ، باستخدام قاعدة تمايز دالة القدرة:
- بالنسبة للمصطلح الأول ر^3 ، نطبق قاعدة دالة الطاقة ، حيث المشتق ر^ن يساوي ن * ر^(ن-1). في هذه الحالة ، نحصل على 3 طن^2.
- بالنسبة للمصطلح الثاني 2 تي^2 ، نطبق أيضا قاعدة دالة الطاقة ، حيث المشتق ر^ن يساوي ن * ر^(ن-1). في هذه الحالة ، نحصل على 2 * 2 طن = 4 طن.
وبالتالي ، فإن مشتق دالة المسافة في الوقت سيكون مساويا لـ 3 طن^2 + 4 طن ، وهي صيغة لسرعة حركة نقطة وفقا لقانون معين.
يمكن أيضا ملاحظة أن سرعة النقطة ستختلف اعتمادا على قيمة الوقت ر. المصطلح 3 تي^2 سيكون مسؤولا عن تسريع النقطة ، لأنها دالة تربيعية للوقت. سيكون المصطلح 4 تي مسؤولا عن السرعة الثابتة ، لأنها دالة خطية للوقت.
وبالتالي ، فإن صيغة سرعة حركة نقطة وفقا لقانون معين تسمح لك بتحديد سرعة وتسارع نقطة في نقاط زمنية مختلفة ودراسة اعتمادها على الوقت.
صيغة حركة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2
صيغة سرعة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 ر^2 يصف المسار الذي تقطعه النقطة اعتمادا على الوقت. هنا س هو المسار الذي قطعته النقطة ، و ر هو الوقت المناسب.
تحدد الصيغة مسار النقطة كدالة للوقت. يعتمد تغيير المسار على قيم الوقت ويؤدي إلى ظهور رسوم بيانية مختلفة لحركة النقطة.
لتصور حركة نقطة وفقا لهذا القانون ، يمكنك رسم اعتماد المسار في الوقت المحدد. يتم تحديد المحور س المقابل لتغيير الوقت ر والمحور ص المقابل لتغيير المسار س كمحاور للرسم البياني.
قانون الحركة س = ر^3 + 2 ر^2 هي دالة من الدرجة الثالثة. يمكن أن يكون الرسم البياني لهذه الوظيفة في شكل قطع مكافئ أو سلسلة متعددة الخطوط ، اعتمادا على قيم الوقت.
دعونا نفكر في عدة قيم زمنية:
- إذا ر = 0 ، ثم المسار هو س = 0^3 + 2 * 0^2 = 0. النقطة في وضع البداية.
- مع زيادة الوقت ، ستنتقل النقطة إلى اليمين على المحور س وأعلى على المحور ص. في الوقت نفسه ، سيزداد المسار.
- إذا كان الوقت سالبا ، فستنتقل النقطة إلى اليسار على المحور س وأعلى على المحور ص.
الخلاصة: صيغة حركة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 ر^2 يصف المسار الذي تسلكه النقطة اعتمادا على الوقت. يمكن أن يكون الرسم البياني لهذه الوظيفة في شكل قطع مكافئ أو سلسلة متعددة الخطوط.
مهمة تحديد السرعة
الدالة س = ر3 + 2 ر2 معطى ، أين س هي المسافة المقطوعة حسب الوقت ر. مهمتنا هي تحديد سرعة حركة نقطة في كل لحظة من الزمن.
لحل هذه المشكلة ، من الضروري إيجاد مشتق الدالة س في الوقت المناسب:
ت = دس / دت = 3 طن 2 + 4 طن
وبالتالي ، فإن سرعة النقطة في كل لحظة من الزمن ر هو 3 طن 2 + 4 طن.
من أجل تحديد النقطة الزمنية التي ستكون فيها سرعة النقطة صفرا ، من الضروري حل المعادلة:
3 طن 2 + 4 طن = 0
سيعطينا حل هذه المعادلة اللحظات الزمنية التي تكون فيها السرعة صفرا وتغير النقطة اتجاه حركتها.
وبالتالي ، بعد حل هذه المشكلة ، سنكون قادرين على تحديد سرعة حركة نقطة وفقا لقانون معين لتغيير المسافة. باستخدام مشتق الدالة ، يمكننا إيجاد السرعة في كل لحظة من الزمن تي وتحديد اللحظات التي تكون فيها السرعة صفرا.
تعبير رياضي للسرعة
يتم إعطاء سرعة نقطة في هذا الموضوع من خلال تعبير رياضي يعتمد على قانون الحركة س = ر^3 + 2 ر^2 ، حيث:
- ج هي سرعة النقطة;
- تي هو الوقت المناسب.
لإيجاد سرعة نقطة ما ، عليك أن تأخذ مشتق هذه المعادلة في الوقت المناسب. يسمح لك المشتق بإيجاد معدل تغيير الوظيفة فيما يتعلق بالوقت.
إذن ، لنأخذ مشتق الدالة س = ر^3 + 2 ر^2:
| وظيفة | المشتقات |
|---|---|
| تي^3 | 3 تي^2 |
| 2 طن^2 | 4 طن |
جمع المشتقات التي نحصل عليها:
- 3 طن^2 + 4 طن
وبالتالي ، فإن التعبير الرياضي لسرعة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2 هو 3 طن^2 + 4 طن.
سرعة حركة نقطة اعتمادا على الوقت
لتحديد سرعة حركة نقطة كدالة للوقت ، يتم استخدام مشتق دالة مسار الوقت. إذا تم إعطاء قانون حركة نقطة ما ، فيمكنك الحصول على صيغة للسرعة.
في هذه الحالة ، يتم إعطاء قانون حركة النقطة بالصيغة س = ر^3 + 2 ر^2 ، أين س هو مسار النقطة ، ر هو الوقت.
للعثور على السرعة ، تحتاج إلى أخذ مشتق دالة المسار في الوقت المناسب:
ت (ر) = دس / دت
مشتق الدالة س فيما يتعلق ر سيكون:
الخامس (ر) = 3 طن^2 + 4 طن
وبالتالي ، يتم تحديد سرعة نقطة كدالة للوقت بواسطة الصيغة الخامس (ر) = 3 طن^2 + 4 طن.
تغيير السرعة عندما يتغير الوقت
عندما تتحرك نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2 ، يمكن أن تتغير السرعة بمرور الوقت. لنلق نظرة على كيفية تأثير هذه التغييرات على السرعة.
معادلة السرعة الخامس يعرف بأنه مشتق دالة المسار س في الوقت المناسب ر:
ت = س / دت
حيث دس هو الزيادة الأولية للمسار في الوقت دت الابتدائية.
في هذه الحالة ، بالنظر إلى أن دالة المسار س تعطى بالصيغة س = ر^3 + 2 ر^2 ، نجد مشتق هذه الوظيفة:
س / دت = د (ر^3 + 2 طن^2) / دت = 3 طن^2 + 4 طن
وبالتالي ، فإن سرعة نقطة عند التحرك وفقا لهذا القانون تعطى بالصيغة الخامس = 3 طن^2 + 4 طن.
يمكن أن نرى من هذه الصيغة أن سرعة النقطة تعتمد على الوقت ر. عندما يتغير الوقت ، ستتغير السرعة أيضا.
| الوقت (ر) | السرعة (الخامس) |
|---|---|
| ر = 0 | الخامس = 0 |
| ر = 1 | الخامس = 7 |
| ر = 2 | الخامس=16 |
| ر = 3 | الخامس=27 |
يوضح الجدول قيم السرعة لقيم زمنية مختلفة. لاحظ أنه مع زيادة الوقت ، تزداد السرعة أيضا.
يمكن أن يكون التغيير في السرعة مع تغيير الوقت موجبا (زيادة في السرعة) ، أو صفرا (السرعة لا تتغير) ، أو سالبا (انخفاض في السرعة) ، اعتمادا على قيمة الوقت ر.
وبالتالي ، عندما تتحرك نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2 ، ستتغير السرعة حسب الوقت ، والصيغة الخامس = 3 طن^2+4 طن يسمح لك بحساب السرعة لقيمة زمنية معينة.
رسم بياني لاعتماد السرعة في الوقت المحدد
لرسم اعتماد السرعة في الوقت المحدد ، سيتم استخدام صيغة تحدد سرعة حركة النقطة وفقا للقانون:
الخامس = ر2 + 4 طن
تصف هذه الصيغة حركة النقطة كدالة للوقت ، حيث الوقت ر يقاس بالثواني والسرعة الخامس يقاس بالأمتار في الثانية.
لرسم الرسم البياني ، سوف نستخدم نظام إحداثيات حيث يعكس المحور الأفقي الوقت ، وسيعكس المحور الرأسي السرعة. سنقوم برسم نقاط الرسم البياني لقيم زمنية مختلفة.
لإنشاء رسم بياني ، يمكنك استخدام جدول القيم ، حيث يتم حساب قيمة السرعة المقابلة لكل قيمة زمنية.
| الوقت ر ، ق | السرعة الخامس ، م / ث |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 5 |
| 2 | 12 |
| 3 | 21 |
لنقم ببناء رسم بياني بناء على القيم التي تم الحصول عليها:
- ضع علامة على قيم الوقت على المحور الأفقي.
- لنحدد قيم السرعة على المحور الرأسي.
- لكل نقطة من جدول القيم ، سنضع علامة عند تقاطع الوقت والسرعة المقابلة.
- دعنا نربط العلامات بالخطوط للحصول على رسم بياني لاعتماد السرعة في الوقت المحدد.
نتيجة لذلك ، نحصل على رسم بياني يوضح اعتماد سرعة نقطة في الوقت المحدد. في هذه الحالة ، تزداد السرعة بمرور الوقت ، وهو ما ينعكس في زيادة نقاط الرسم البياني.
أمثلة على حل المشكلات لسرعة حركة النقطة
لنلق نظرة على بعض الأمثلة على المشكلات التي يلزم فيها إيجاد سرعة حركة نقطة وفقا لقانون معين.
المهمة 1.
معطى: س = ر^3 + 2 طن^2
البحث عن: سرعة حركة النقطة.
مقرر: للعثور على السرعة ، تحتاج إلى أخذ مشتق الوظيفة في الوقت المناسب.
لدينا: ت = دس / دت = 3 طن^2 + 4 طن.
وبالتالي ، فإن سرعة النقطة تعطى بالصيغة الخامس = 3 طن ^2 + 4 طن.
المهمة 2.
معطى: س = 2 طن^3-5 طن^2 + 3 طن
البحث عن: سرعة حركة النقطة.
الحل: على غرار المشكلة السابقة ، نأخذ مشتق الوظيفة في الوقت المناسب.
لدينا: ت = دس / دت = 6 طن^2-10 طن + 3.
صيغة سرعة النقطة هي: الخامس = 6 طن^2-10 طن + 3.
المهمة 3.
معطى: س = 4 طن^2 + ر
البحث عن: سرعة حركة النقطة.
القرار: مرة أخرى ، نأخذ مشتق الوظيفة في الوقت المناسب.
لدينا: ت = دس / دت = 8 طن + 1.
صيغة سرعة النقطة هي الخامس = 8 طن + 1.
سؤال وجواب
ما هي الصيغة التي تحدد سرعة نقطة?
صيغة سرعة نقطة وفقا للقانون س = ر^3 + 2 طن^2 يعطى بمشتق هذه الوظيفة ، أي الخامس = 3 طن^2 + 4 طن.
كيف يمكن للمرء أن يجد السرعة وفقا لقانون معين لحركة نقطة?
لإيجاد السرعة وفقا لقانون معين لحركة نقطة ما ، من الضروري حساب مشتق هذا القانون. في هذه الحالة ، بالنظر إلى الصيغة س = ر^3 + 2 طن^2 ، ستكون السرعة مساوية الخامس=3 طن^2 + 4 طن.
كيف تتغير سرعة النقطة أثناء الحركة?
ستتغير سرعة النقطة وفقا للصيغة الخامس=3 طن^2 + 4 طن. نظرا لأن هذه دالة تربيعية ، فإن اعتماد السرعة على الوقت سيكون غير خطي. في بداية الحركة ، عند قيم منخفضة من تي ، ستكون السرعة منخفضة ، ولكن مع زيادة الوقت ستزداد.
ما هو التفسير المادي للصيغة لسرعة نقطة?
تسمح لك صيغة سرعة النقطة الخامس=3 طن^2 + 4 طن بإيجاد السرعة حسب الوقت. هنا 3 تي^2 يمثل تسارع نقطة (أي معدل التغير في السرعة) ، و 4 تي هي سرعة ثابتة. وبالتالي ، فإن التفسير المادي للصيغة هو وصف التغيير في سرعة نقطة ما بمرور الوقت ، مع مراعاة التسارع والسرعة الثابتة.