المعادلات هي واحدة من المفاهيم الهامة في الرياضيات. غالبا ما تستخدم لوصف العلاقات بين المتغيرات في مختلف مجالات العلوم والهندسة. واحدة من الخصائص الرئيسية للمعادلات هي وجود أو عدم وجود جذور حقيقية.
تمثل الجذور الحقيقية للمعادلات قيم المتغيرات التي تأخذ فيها المعادلة قيمة صفرية. ولكن ماذا لو لم يكن للمعادلة جذور حقيقية? وكيف يمكنني العثور على جميع القيم المعلمة التي يحدث هذا?
للقيام بذلك ، من الضروري النظر في الظروف التي تصبح فيها المعادلة غير قابلة للحل. بالنسبة لواحدة من أبسط معادلات النموذج فأس^2 + ب + ج = 0 ، والتي ليس لها جذور حقيقية ، يمكن كتابة الشرط كـ د < 0 ، أين د هو المميز.
المميز هو تعبير عن النموذج د = ب^2-4 أ ، مما يوضح عدد الجذور الحقيقية للمعادلة اعتمادا على قيم أ ، ب و ج.
لذلك ، تم العثور على جميع قيم المعلمة أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها في الحالات التي يكون فيها د < 0. باستخدام هذا الشرط ، من الممكن تحديد فترات قيم المعلمة أ التي لا تحتوي المعادلة على جذور حقيقية لها.
- كيف يمكنني العثور على قيم?
- وبدون جذور صالحة
- لماذا المعادلة ليس لها جذور حقيقية?
- قيمة التمييز
- كيف أجد كل القيم من دون جذور صالحة?
- باستخدام المعادلة التربيعية
- سؤال وجواب
- كيف أجد كل القيم التي المعادلة ليس لها جذور حقيقية?
- ما المعيار الذي يجعل من الممكن تحديد أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية?
- كيف يمكننا تحديد قيم والتي المعادلة لها جذور وهمية فقط?
- كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية مع جذور وهمية?
- كيف يمكنني العثور على قيم والتي المعادلة التربيعية لها جذور وهمية فقط?
كيف يمكنني العثور على قيم?
لإيجاد قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، يجب استخدام شرط مميز.
المعادلة ليس لها جذور حقيقية إذا كان التمييز سالبا:
د < 0
يتم حساب المميز للمعادلة التربيعية فأس^2 + ب + ج = 0 بواسطة الصيغة:
د = ب^2-4 أ
وبالتالي ، من أجل إيجاد قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، فمن الضروري:
- أدخل قيم المعاملات أ ، ب ، ج من المعادلة التربيعية.
- احسب المميز باستخدام الصيغة د = ب^2-4 أ.
- تحقق مما إذا كان التمييز سالبا (د < 0).
- إذا كان التمييز سالبا ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية والقيمة أ مناسبة.
على سبيل المثال ، عند حل المعادلة التربيعية 2 س^2 +3 س + 1 = 0 ، تكون المعاملات أ = 2 ، ب = 3 ، ج = 1. احسب المميز:
دال = 3^2 — 4 * 2 * 1 = 9 — 8 = 1
نظرا لأن المميز موجب ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان. إذا أردنا إيجاد قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، فنحن بحاجة إلى إيجاد مثل هذه القيم التي سيكون التمييز سالبا لها.
وبدون جذور صالحة
هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية إذا كان التمييز أقل من الصفر:
يتم حساب المميز باستخدام الصيغة: د = ب^2-4 أ
- إذا كانت قيمة التمييز د هي < 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
- إذا كانت قيمة التمييز د > 0 ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان.
- إذا كانت قيمة التمييز د = 0 ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد.
للعثور على جميع قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، تحتاج إلى حل عدم المساواة د < 0.
هذا هو:
| الحالة | عدم المساواة |
|---|---|
| معادلة بدون جذور حقيقية | د < 0 |
الآن النظر في مثال:
المعادلة معطاة: فأس^2 + بكس + ج = 0
التمييز: د = ب^2-4 أ
معادلة بدون جذور حقيقية: د < 0
الاستعاضة عن دال في عدم المساواة:
ب^2-4 ج < 0
لجميع قيم أ التي عندها عدم المساواة ب^2-4ا < 0 يحمل ، لن يكون للمعادلة جذور حقيقية.
أخيرا ، الإجابة على السؤال هي: لجميع قيم أ التي عندها عدم المساواة ب^2-4ا < 0 يحمل ، لن يكون للمعادلة جذور حقيقية.
لماذا المعادلة ليس لها جذور حقيقية?
قد لا يكون للمعادلة جذور حقيقية في الحالات التالية:
- التمييز أقل من الصفر. تذكر أن المميز هو تعبير تحت علامة الجذر في الصيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. إذا كان المميز أقل من الصفر (د < 0) ، فهذا يعني أن هناك رقما سالبا تحت الجذر لا يمكن استخراجه. في هذه الحالة ، المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
- التعبير عن الراديكالي سلبي. في بعض الحالات ، عند إيجاد جذور المعادلة ، قد تنشأ مواقف مثيرة للاهتمام تتعلق باستبدال القيم في الراديكالية. إذا تم الحصول على قيمة سالبة عن طريق استبدال متغير في جذري بدلا من متغير ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية. على سبيل المثال ، عند حل المعادلة x(س — 2) = -3 ، عند الاستبدال نحصل على √(-3 — 2) = -3 ، وهو أمر مستحيل ، لأن الجذر من رقم سالب غير موجود.
- المعادلة لها جذور معقدة فقط. في بعض الأحيان يمكن أن يكون للمعادلة جذور معقدة فقط ، أي الجذور الممثلة كأعداد مركبة. على سبيل المثال ، المعادلة س^2 + 1 = 0 ليس له جذور حقيقية ، حيث لا يوجد رقم حقيقي ، والاستبدال الذي قد ينتج عنه صفر بدلا من س. ومع ذلك ، فإن حل هذه المعادلة هو الرقم المركب أنا ، منذ أنا^2 = -1.
من المهم ملاحظة أن وجود أو عدم وجود جذور حقيقية في المعادلة يعتمد على هيكلها ومعاملاتها. عند حل معادلة ، يجب عليك دائما أخذ هذه الميزات في الاعتبار واستخدام الطرق المناسبة لتحديد الجذور.
قيمة التمييز
التمييز هو رقم يحدد الخصائص المميزة لجذور معادلة الدرجة الثانية. بالنسبة للمعادلة التربيعية للنموذج فأس^2 + ب + ج = 0 ، يتم حساب المميز بواسطة الصيغة:
د = ب^2-4 أ
تحدد قيمة المميز عدد الجذور الحقيقية للمعادلة:
- إذا د < 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
- إذا د = 0 ، فإن المعادلة لها جذر حقيقي واحد.
- إذا د > 0 ، فإن المعادلة لها جذران حقيقيان.
إذا كانت المعادلة لها جذور معقدة ، فسيكون التمييز سالبا أيضا ، ولكن مع مراعاة المكون المعقد.
وبالتالي ، من أجل إيجاد جميع قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، من الضروري مراعاة قيم أ التي يكون التمييز لها د سيكون أقل من الصفر:
| قيمة أ | هل المعادلة لها جذور حقيقية ? |
|---|---|
| أ < 0 | نعم |
| أ = 0 | نعم |
| أ > 0 | لا |
كيف أجد كل القيم من دون جذور صالحة?
للعثور على جميع قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، من الضروري التفكير في معادلة تربيعية للشكل:
الفأس 2 + بكس + ج = 0
لكي لا يكون للمعادلة جذور حقيقية ، يجب أن يكون المميز سالبا:
د < 0
يتم تحديد التمييز بواسطة الصيغة:
د = ب 2-4 أ
وبالتالي ، لكي لا يكون للمعادلة جذور حقيقية ، من الضروري إيجاد قيم أ التي يكون فيها التمييز د سيكون أقل من الصفر.
يتم استيفاء هذا الشرط عندما يكون التعبير ب 2-4 أ سلبي. يمكن استخدام التحليل العددي أو الطرق الرسومية للعثور على كل هذه القيم.
على سبيل المثال ، يمكنك رسم معادلة وتحديد قيم أ التي لا يتقاطع عندها الرسم البياني للمعادلة مع المحور س.
سيساعدك جدول القيم أو الرسم البياني على تحديد نطاق قيم أ بصريا ، حيث لا تحتوي المعادلة على جذور حقيقية.
باستخدام المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية لها الشكل:
الفأس 2 + بكس + ج = 0,
أين أ, ب و ج هي معاملات المعادلة.
للعثور على جميع قيم أ التي ليس للمعادلة جذور حقيقية لها ، من الضروري النظر في تمييز المعادلة. يتم تحديد التمييز بواسطة الصيغة التالية: