مشكلة الاحتمال. يوجد 6 كرات في الجرة, يتم إخراج كرتين - ما هو الاحتمال?

ربما تكون قد واجهت بالفعل مشاكل في رياضيات الاحتمالات الأولية. واحدة من هذه المهام لديها الصياغة التالية: هناك 6 كرات في الجرة ، اثنان منها يتم اختيارها عشوائيا دون عودة. أنا مهتم في السؤال التالي-ما هو احتمال أن اثنين من كرات محددة سيتم رسمها?

لحل هذه المشكلة ، من الضروري استخدام مبدأ التوافقية. بادئ ذي بدء ، يمكنك تحديد العدد الإجمالي للخيارات التي يمكن الحصول عليها عند اختيار كرتين من الجرة. ثم من الضروري تحديد عدد النتائج الإيجابية عند تعيين كل من الكرات المحددة.

لحل هذه المشكلة ، من الضروري استخدام مجموعات. العدد الإجمالي لاختيارات كرتين من الجرة يساوي عدد المجموعات من 6 إلى 2. ثم يمكنك تحديد عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد المجموعات من 2 إلى 2. نتيجة للحساب ، سيكون الاحتمال مساويا لنسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للخيارات.

1. مشكلة الاحتمال
2. بيان المشكلة
3. معلومات عامة
4. حل المشكلة
5. الخطوة الأولى من الحل
6. الخطوة الثانية من الحل
7. النتائج والاحتمالات
8. سؤال وجواب
9. ما هو احتمال الحصول على اثنين من الكرات من جرة?
10. ما هو احتمال الحصول على كرتين من الجرة إذا تم إخراجهما بالتتابع وإعادتهما?
11. ما هو احتمال سحب كرتين إذا تم إخراجهما في نفس الوقت ، دون العودة إلى الجرة?

مشكلة الاحتمال

تعتبر مشكلة الاحتمال احتمال حدوث حدث معين. في هذه الحالة ، ضع في اعتبارك مشكلة احتمال سحب الكرات من الجرة.

لنفترض أن لدينا جرة بها 6 كرات. نخرج كرتين من هذه الجرة. السؤال الذي يطرح نفسه: ما هو احتمال أننا سوف سحب بعض الكرات?

لحل هذه المشكلة ، نحتاج إلى معرفة كميتين:

1. العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في هذه الحالة ، هذا هو عدد الطرق لاختيار 2 كرات من أصل 6. نستخدم التوافقية وصيغة التوليفات لهذا: ج (6 ، 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 15.
2. عدد النتائج الإيجابية. في هذه الحالة ، هذا هو عدد الطرق لاختيار كرتين من أصل 6. الجواب هو: 6! / (2! * (6-2)!) = 15.

لذا ، فإن احتمال سحب كرتين من الجرة يساوي عدد النتائج الإيجابية مقسوما على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة: 15/15 = 1.

وبالتالي ، فإن احتمال سحب كرتين من الجرة هو 1 أو 100٪.

عند حل مشكلة الاحتمال ، من الضروري دائما مراعاة العدد الإجمالي للنتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية من أجل الحصول على إجابة دقيقة.

بيان المشكلة

ضع في اعتبارك مشكلة الاحتمال المرتبطة بجرة تحتوي على 6 كرات. نحن نعلم أنه يتم إخراج كرتين من هذه الجرة. نحن مهتمون باحتمال حدوث حدث معين.

قد تكون صياغة المشكلة على النحو التالي:

يتم إخراج كرتين من جرة تحتوي على 6 كرات. ما هو احتمال أن تكون كلتا الكرتين بلون معين (على سبيل المثال ، أحمر)?

للعثور على احتمال هذا الحدث ، من الضروري مراعاة عدد الكرات ذات اللون المحدد في الجرة والعدد الإجمالي للكرات في الجرة.

معلومات عامة

مشكلة الاحتمال هي مشكلة رياضية تريد فيها حساب احتمال حدوث حدث معين. في هذه المشكلة ، نعتبر جرة تحتوي على 6 كرات. نحن نعلم أنه تم بالفعل إخراج كرتين من الجرة ، وعلينا حساب احتمال حدوث حدث معين يتعلق بالكرات المتبقية.

لحل هذه المشكلة ، من الضروري معرفة عدد النتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية. في هذه الحالة ، يكون عدد النتائج المحتملة مساويا لعدد الطرق لاختيار كرتين من أصل ستة ، والتي يمكن حسابها باستخدام التوافقية. يعتمد عدد النتائج الإيجابية على الحدث المحدد ، الذي نريد حسابه.

وبالتالي ، لحساب الاحتمال في هذه المشكلة ، من الضروري معرفة عدد طرق اختيار كرتين من أصل ستة وعدد طرق اختيار كرتين من لون معين ، إذا كان من المعروف أن هناك كرات بألوان مختلفة في الجرة.

حل المشكلة

هناك 6 كرات في الجرة. نحن بحاجة إلى حساب احتمال أنه نتيجة لاستخراج اثنين من الكرات ، سيكون لديهم خاصية معينة (على سبيل المثال ، نفس اللون).

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى استخدام التوافقية ومبدأ الضرب.

في المجموع ، من الممكن مع 62 = 15 خيارا لاختيار كرتين من الجرة.

لنفترض أنك بحاجة إلى سحب كرتين من نفس اللون:

1. حدد الكرة الأولى. لدينا 6 خيارات لاختيار الكرة الأولى.
2. نختار الكرة الثانية. منذ أن تم اختيار الكرة الأولى بالفعل ، لدينا 5 كرات متبقية.

وبالتالي ، سيكون العدد الإجمالي للخيارات المناسبة 6 * 5 = 30.

وبالتالي ، فإن احتمال سحب كرتين من نفس اللون هو 30/15 = 2/3.

وبالمثل ، يمكن حساب الاحتمال لخصائص أخرى للكرات.

وبالتالي ، فإن حل المشكلة يكمن في تحديد جميع التوليفات الممكنة وحساب الخيارات المناسبة.

الخطوة الأولى من الحل

الخطوة الأولى في حل مشكلة الاحتمال هذه هي تحديد العدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في هذه الحالة ، لدينا جرة تحتوي على 6 كرات ، ونحن بحاجة لتحديد 2 كرات.

نحن نستخدم التوافقية لتحديد عدد المجموعات. الصيغة نر = ن! / (ص!(ن ص)!) يسمح لنا بحساب عدد مجموعات ن العناصر عن طريق التحديد ص عناصر منها.

وبالتالي ، بالنسبة لمهمتنا ، سيكون عدد النتائج المحتملة مساويا لعدد مجموعات 6 كرات ، واختيار 2 كرات:

إذن لدينا 15 نتيجة محتملة في مشكلة الاحتمال هذه. بعد ذلك ، سنكون قادرين على حساب احتمال كل نتيجة وتحديد الاحتمال المطلوب.

الخطوة الثانية من الحل

الخطوة الثانية في حل مشكلة الاحتمال هي تحديد عدد النتائج الإيجابية.

لتحديد النتائج الإيجابية ، من الضروري مراعاة ما يلي:

• يوجد في البداية 6 كرات في الجرة ، تتم إزالة اثنتين منها.
• يمكن اختيار الكرة الأولى من قبل أي من الستة المتبقية.
• بعد اختيار الكرة الأولى ، هناك 5 كرات متبقية ، يمكن أيضا اختيار الكرة الثانية منها.

وبالتالي ، فإن جميع التوليفات الممكنة للكرات المختارة هي نتائج إيجابية (على سبيل المثال ، الكرة الأولى حمراء ، الكرة الثانية زرقاء ، أو الكرة الأولى زرقاء ، الكرة الثانية حمراء).

يمكن تحديد العدد الإجمالي للنتائج الإيجابية بواسطة الصيغة:

عدد النتائج الإيجابية = عدد الخيارات للكرة الأولى * عدد الخيارات للكرة الثانية

في هذه الحالة:

• عدد الخيارات لاختيار الكرة الأولى = 6 (حيث يوجد في البداية 6 كرات في الجرة)
• عدد الخيارات لاختيار الكرة الثانية = 5 (بعد اختيار الكرة الأولى ، هناك 5 كرات متبقية)

وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج الإيجابية يساوي:

النتائج والاحتمالات

في هذه المشكلة ، تحتاج إلى حساب احتمال الحصول على نتيجة معينة عند إزالة كرتين من جرة تحتوي على 6 كرات.

لنبدأ بالعدد الإجمالي للنتائج المحتملة. في البداية ، هناك 6 كرات في الجرة ، لذلك يمكن حساب العدد الإجمالي للنتائج باستخدام صيغة التوافقية:

ن = ج (6 ، 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 15

وبالتالي ، لا يوجد سوى 15 نتيجة محتملة في الجرة.

أنت الآن بحاجة إلى حساب عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد الطرق لسحب كرتين من الجرة بطريقة تلبي شروطا معينة. في هذه المشكلة ، الشرط هو أن كلا الكرتين المأخوذتين يجب أن يكونا بلون معين.

لنفترض أن هناك 2 كرات من نفس اللون و 4 كرات من لون مختلف في الجرة. ثم يمكن حساب عدد النتائج الإيجابية على النحو التالي:

م = ج(2 ، 2) = 2! / (2! * (2-2)!) = 1

وبالتالي ، يمكن أن تحدث نتيجة إيجابية في هذه المهمة في حالة واحدة فقط.

الآن يمكننا حساب احتمال نتيجة مواتية:

ع = م / ن = 1 / 15 0 0.067

أي أن احتمال سحب كرتين من الجرة ، سيكون لكلتا الكرتين لون معين هو حوالي 0.067 أو 6.7٪.

سؤال وجواب

ما هو احتمال سحب كرتين من الجرة?

يعتمد احتمال سحب كرتين من الجرة على العدد الإجمالي للكرات في الجرة وعلى عدد الكرات المختارة. إذا كان لدينا 6 كرات في جرة ونحن بحاجة إلى سحب اثنين منهم ، ثم احتمال يمكن حسابها باستخدام الصيغة: ع = (عدد الطرق لاختيار 2 كرات) / (العدد الإجمالي للطرق لاختيار 2 كرات من أصل 6). في هذه الحالة ، يكون عدد طرق اختيار 2 كرة هو 6 ج2 = 15 ، والعدد الإجمالي لطرق اختيار 2 كرة من 6 هو 6 ج2 = 15. لذلك ، الاحتمال هو ص = 15/15 = 1.

ما هو احتمال الحصول على كرتين من الجرة إذا تم إخراجهما بالتتابع مع العودة?

إذا تم إخراج الكرات بالتتابع مع العودة ، فإن احتمال الحصول على كرتين سيكون مساويا لمنتج احتمال سحب كل كرة على حدة. في هذه الحالة ، سيكون احتمال سحب كل كرة 1/6 ، لأن لدينا 6 كرات في الجرة. لذلك ، فإن احتمال الحصول على كرتين سيكون مساويا لـ (1/6) * (1/6) = 1/36.

ما هو احتمال سحب كرتين إذا تم إخراجهما في نفس الوقت ، دون العودة إلى الجرة?

إذا تم إخراج كرتين في نفس الوقت دون العودة إلى الجرة ، فيمكن حساب احتمال سحب كرتين على النحو التالي: عدد الطرق لاختيار 2 كرات من أصل 6 / عدد الطرق الشائعة لاختيار 2 كرات من أصل 6. في هذه الحالة ، يكون عدد طرق اختيار 2 كرة من 6 هو 6 ج2 = 15 ، والعدد الإجمالي لطرق اختيار 2 كرة من 6 هو 6 ج2 = 15. لذلك ، فإن الاحتمال هو 15/15 = 1.