يتطلب حل هذه المشكلة معرفة أساسيات الهندسة والقدرة على العمل مع الإحداثيات ثلاثية الأبعاد. المهمة هي العثور على قيم الزوايا التي عندها النقطة ص1 0 سيتم تدويرها للحصول على نقطة بإحداثيات 3 2 1 2.
أولا ، دعنا نتعرف على معنى هذه الإحداثيات. النقطة ص1 0 له إحداثيات س = 1 و ص = 0. النقطة ذات الإحداثيات 3 2 1 2 لها إحداثيات س = 3, ص=2 و ض = 1. المتجه ص 1 0 يربط هاتين النقطتين ببساطة.
يمكننا الآن استخدام صيغ الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد لإيجاد الزوايا التي يدور عندها المتجه. في هذه الحالة ، سنحتاج إلى إيجاد قيم زوايا الدوران بالنسبة لمحاور س و ص و ض.
بفضل معرفة إحداثيات النقاط ، يمكننا إيجاد الزوايا التي نحتاج من خلالها إلى تدوير النقطة ص 1 0 للحصول على نقطة بإحداثيات 3 2 1 2.
- زوايا الدوران للحصول على نقطة في الفضاء
- الزاوية الأولى للدوران
- الزاوية الثانية للدوران
- الزاوية الثالثة للدوران
- الزاوية الرابعة للدوران
- الزاوية الخامسة للدوران
- الزاوية السادسة للدوران
- سؤال وجواب
- ما زوايا أحتاج لتدوير نقطة ص (1,0) للحصول على نقطة مع الإحداثيات (3,2)?
- ما هي الحركات التي تحتاج إلى القيام بها مع النقطة ص (1,0) بحيث ينتهي بها الأمر عند النقطة مع الإحداثيات (3,2)?
- ما ينبغي تعيين زوايا دوران إلى نقطة ص (1,0) بحيث ينتقل إلى نقطة مع الإحداثيات (3,2)?
زوايا الدوران للحصول على نقطة في الفضاء
من أجل الحصول على نقطة ذات إحداثيات (3 ، 2 ، 1 ، 2) من نقطة البداية ص(1 ، 0) ، من الضروري إجراء بعض الدورات الزاوية في الفضاء. يمكن ضبط زوايا الدوران بالراديان أو الدرجات ، وتحديد الدوران حول محاور الإحداثيات.
لهذه المهمة ، يمكنك استخدام التسلسل التالي من التناوب الزاوي:
- الدوران حول المحور السيني: من أجل الحصول على تنسيق المحور السيني 3 ، النقطة ص يجب تدويرها للأمام بمقدار 2 راديان (أو 114.6 درجة).
- الدوران حول المحور ص: من أجل الحصول على الإحداثيات 2 على المحور ص ، النقطة ص يجب تدويرها إلى اليمين بمقدار 1 راديان (أو 57.3 درجة).
- الدوران حول ض المحور: من أجل الحصول على إحداثيات (1 ، 2) على طول المستوى الأفقي ، النقطة ص يجب أن تدور حول ض المحور بمقدار 2 راديان (أو 114.6 درجة).
بعد إجراء التناوب الزاوي المحدد ، النقطة ص (1 ، 0) سيتم تحديد موقع النقطة مع الإحداثيات المحددة (3 ، 2 ، 1 ، 2) في الفضاء.
الزاوية الأولى للدوران
للحصول على نقطة ذات إحداثيات (3 ، 2 ، 1 ، 2) من النقطة ص (1 ، 0) ، يجب إجراء زاوية الدوران الأولى.
دوران نقطة ص يحدث في الفضاء ثلاثي الأبعاد ويتم تحديدها من قبل ثلاث زوايا: زوايا الدوران في الطائرة س ص ، شز و يز.
في هذه الحالة ، نعرف فقط إحداثيات النقطة ص ونقطة النهاية (3, 2, 1, 2), لذلك ، يمكن اختيار زاوية الدوران الأولى بشكل تعسفي.
اعتمادا على متطلبات وسياق المهمة ، يمكن تحديد زاوية الدوران الأولى بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، يمكن تحديده لتدوير النقطة ص حول المحور س بزاوية معينة ، أو يمكنك تحديد دوران حول المحور ص أو ض. يعتمد الاختيار المحدد للزاوية على المهمة المطروحة والنتائج المطلوبة.
على سبيل المثال ، عند اختيار زاوية الدوران حول المحور س ، نقوم بتغيير قيمة الإحداثيات ص للنقطة ص ، عند اختيار زاوية الدوران حول المحور ص ، تتغير قيمة الإحداثيات س ، وعند الدوران حول المحور ض ، تتغير قيمة الإحداثيات س و ص.
وبالتالي ، للحصول على نقطة ذات إحداثيات (3 ، 2 ، 1 ، 2) من النقطة ص (1 ، 0) ، يجب علينا تحديد زاوية الدوران الأولى ، والتي ستسمح لنا بتغيير قيم الإحداثيات المقابلة للنقطة ص إلى القيم المطلوبة.
الزاوية الثانية للدوران
ستكون الزاوية الثانية للدوران هي الزاوية التي ستسمح لك بتغيير إحداثيات النقطة ص من (1 ، 0) إلى (3 ، 2). لقد حددنا بالفعل زاوية الدوران الأولى ، والتي حولت النقطة ص بحيث يكون لها إحداثيات (1 ، 2). الآن نحن بحاجة إلى إيجاد الزاوية التي ستعطي التغييرات المتبقية في إحداثيات النقطة.
للعثور على الزاوية الثانية للدوران ، يمكنك استخدام الصيغة لتدوير النقطة (س ، ص) بالزاوية α:
س ' = س * كوس (y) - ذ * الخطيئة ())
ذ ' = س * الخطيئة ()) + ذ * كوس ())
أين (س ، ص) هي الإحداثيات الأصلية للنقطة ، (س' ، ص') هي الإحداثيات الجديدة للنقطة بعد الدوران.
دعنا نستبدل الإحداثيات الأولية والنهائية للنقطة في هذه الصيغ ونجد الزاوية α:
| الإحداثيات الأولية | الإحداثيات النهائية | زاوية α |
|---|---|---|
| (1, 2) | (3, 2) |
دعونا نحل نظام المعادلات:
- ل س تنسيق:
- س ' = س * كوس (y) - ذ * الخطيئة ())
- 3 = 1 * كوس ()) — 2 * الخطيئة ())
- ل ذ تنسيق:
- ذ ' = س * الخطيئة ()) + ذ * كوس ())
- 2 = 1 * الخطيئة ()) + 2 * كوس (co)
من خلال حل نظام المعادلات هذا ، يمكن للمرء أن يجد الزاوية.. وبالتالي ، فإن الزاوية الثانية لدوران النقطة ص ستكون مساوية للقيمة الموجودة..
الزاوية الثالثة للدوران
الزاوية الرابعة للدوران
من أجل الحصول على نقطة ذات إحداثيات (3 ، 2 ، 1) ، نحتاج إلى تدوير النقطة (1 ، 0) بزاوية معينة. في هذه الحالة ، نحن مهتمون بزاوية الدوران الرابعة.
زاوية الدوران الرابعة هي الزاوية التي تتشكل بين المحور السيني والمستوى الذي توجد فيه النقطة (1 ، 0) والنقطة المطلوبة (3 ، 2 ، 1). لتحديد هذه الزاوية ، يمكنك استخدام نظرية جيب التمام.
تسمح لنا نظرية جيب التمام بإيجاد الزاوية بين متجهين. في هذه الحالة ، سيتم توجيه المتجه الأول من الأصل إلى النقطة (1 ، 0) ، وسيتم توجيه المتجه الثاني من الأصل إلى النقطة (3 ، 2 ، 1).
وفقا لنظرية جيب التمام ، يتم تعريف الزاوية بين متجهين على النحو التالي:
| نظرية جيب التمام |
|---|
كوس (θ) = (أ^2 + ب^2-ج^2) / (2 * أ * ب) |
أين angle هي الزاوية المرغوبة ، أ و ب هي أطوال المتجهات ، و ج هي المسافة بين النقاط.
باستبدال قيم الإحداثيات في الصيغة ، يمكننا إيجاد الزاوية بين المتجهات (1 ، 0) و (3 ، 2 ، 1):
- المسافة بين النقاط: جيم = √((3-1)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2) = √10
- طول المتجه الأول: أ = √(1^2 + 0^2) = 1
- طول المتجه الثاني: ب = √(3^2 + 2^2 + 1^2) = √14
- استبدال القيم في الصيغة: كوس(co) = (1^2 + √14^2 — √10^2) / (2 * 1 * √14) = (1 + 14 — 10) / (2√14) = 5 / (2√14) ≈ 0.53
- أوجد الزاوية: arc أرككوس(0.53) 5 58.1°
وبالتالي ، فإن الزاوية الرابعة للدوران المطلوبة للحصول على النقطة (3 ، 2 ، 1) من النقطة (1 ، 0) هي حوالي 58.1°.
الزاوية الخامسة للدوران
في سياق مشكلة تحول نقطة ص (1 ، 0) للحصول على نقطة مع الإحداثيات (3, 2, 1, 2), يمكن أن تكون المعلومات الزاوية حول الزاوية الخامسة للدوران مفيدة.
في الأساس ، لتدوير نقطة في مساحة 4 أبعاد ، تحتاج إلى استخدام 4 زوايا دوران ، كل منها مسؤول عن إحداثي واحد. ومع ذلك ، إذا عرفنا إحداثيات نقطة البداية ونقطة النهاية ، يمكننا تحديد قيمة زاوية الدوران الخامسة.
لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى معرفة الصيغة الرياضية لتدوير نقطة في مساحة 4 أبعاد. إحداثيات النقطة ص (1 ، 0) يمكن تمثيلها على النحو التالي (1, 0, 0, 0), والإحداثيات الجديدة(3, 2, 1, 2) – مثل (س ، ص ، ض ، ث).
صيغة تدوير نقطة في مساحة 4 أبعاد هي كما يلي:
x’ = x * cos(a) — y * sin(a) * cos(b) + z * sin(a) * sin(b) — w * sin(a) * sin(b) * cos(c) + w * sin(a) * sin(b) * sin(c) + y * sin(a) * cos(b) * sin(c) + z * sin(a) * cos(b) * cos(c)
y’ = x * sin(a) * cos(b) + y * cos(a) + z * sin(b) + w * sin(b) * cos(c) + w * sin(b) * sin(c) — y * cos(b) * sin(c) + z * cos(b) * cos(c)
z’ = -x * sin(a) * sin(b) + y * sin(a) * cos(b) * sin(c) + z * cos(a) * cos(b) + w * cos(b) * sin(c) — y * cos(b) * cos(c) + z * sin(b) * sin(c)
w’ = -x * sin(a) * sin(b) * cos(c) + y * sin(a) * sin(b) * sin(c) — z * sin(a) * cos(b) * sin(c) + w * cos(a) * cos(b) * sin(c) + y * sin(a) * cos(b) * cos(c) + z * cos(a) * cos(b) * cos(c)
Теперь мы можем подставить координаты точек p(1, 0) и (3, 2, 1, 2) вформулу и найти значение пятого угла поворота.
تذكر أنه يجب معرفة قيم جميع زوايا الدوران الأخرى من أجل إيجاد قيمة الزاوية الخامسة للدوران.
- أوجد قيم زوايا الدوران الأولى والثانية والثالثة والرابعة باستخدام الإحداثيات المعروفة لنقطتي البداية والنهاية.
- استبدل القيم الموجودة في صيغة الدوران وحلها فيما يتعلق بزاوية الدوران الخامسة.
- ستكون القيمة الناتجة هي الإحداثي الخامس لمتجه الدوران.
وبالتالي ، يمكن العثور على الزاوية الخامسة للدوران باستخدام الإحداثيات المعروفة للنقاط وصيغة رياضية لتدوير نقطة في مساحة 4 أبعاد. سيسمح لك ذلك بتحديد زاوية الدوران بدقة التي يجب تطبيقها على النقطة ص(1 ، 0) للحصول على نقطة ذات إحداثيات (3, 2, 1, 2).
الزاوية السادسة للدوران
من أجل الحصول على نقطة مع الإحداثيات (3, 2, 1, 2), من نقطة البداية (1 ، 0) ، من الضروري الدوران بست زوايا.
يتم تحديد زاوية الدوران الأولى بحيث تتحرك النقطة على طول المحور س بمقدار 1 وحدة. يتم تحديد زاوية الدوران الثانية بحيث تتحرك النقطة على طول المحور ص بمقدار 2 وحدة. يتم تحديد زاوية الدوران الثالثة بحيث تتحرك النقطة على طول ض المحور بواسطة 1 وحدة. يتم تحديد زاوية الدوران الرابعة بحيث تتحرك النقطة على طول محور دبليو بمقدار 2 وحدة. يتم تحديد زاوية الدوران الخامسة بطريقة تدور على مستوى شز وتحريك النقطة في اتجاه المتجه (3 ، 1). يتم تحديد زاوية الدوران السادسة بطريقة تدور على مستوى يو وتحريك النقطة في اتجاه المتجه (2 ، 2).
يمكن تمثيل عملية تدوير النقطة في شكل جدول:
| زاوية الدوران | ناقل الدوران |
|---|---|
| الزاوية الأولى للدوران | (1, 0) |
| الزاوية الثانية للدوران | (0, 2) |
| الزاوية الثالثة للدوران | (0, 0, 1) |
| الزاوية الرابعة للدوران | (0, 0, 0, 2) |
| زاوية الدوران الخامسة | (3, 0, 1, 0) |
| زاوية الدوران السادسة | (0, 2, 0, 2) |
النقطة الأخيرة بعد زاوية الدوران السادسة سيكون لها إحداثيات (3, 2, 1, 2).
سؤال وجواب
ما زوايا أحتاج لتدوير نقطة ص (1,0) للحصول على نقطة مع الإحداثيات (3,2)?
من أجل تدوير النقطة ص (1 ، 0) والحصول على نقطة بإحداثيات (3 ، 2) ، تحتاج إلى عمل زاويتين للدوران. ستكون الزاوية الأولى مساوية للقوس المعاكسالظل من نسبة تغيير الإحداثيات الصادية إلى تغيير الإحداثيات السينية. في هذه الحالة ، هو قوس الظل(2/1) = 1.1071 راديان أو حوالي 63.43 درجة. بعد ذلك ، يجب حساب الزاوية الثانية بناء على التغيير في ض-إحداثي. في هذه الحالة ، يظل الإحداثي ض دون تغيير ، وبالتالي فإن الزاوية الثانية هي 0. وهكذا ، لتدوير نقطة ص (1 ، 0) والحصول على نقطة مع الإحداثيات (3 ، 2) ، تحتاج إلى تدوير 63.43 درجة حول المحور س.
ما هي الحركات التي تحتاج إلى القيام بها مع النقطة ص (1,0) بحيث ينتهي بها الأمر عند النقطة مع الإحداثيات (3,2)?
من أجل النقطة ص (1 ، 0) لتكون عند النقطة ذات الإحداثيات (3 ، 2) ، من الضروري تحريكها 2 وحدة على طول المحور س و 2 وحدة على طول المحور ص. وبالتالي ، تحتاج إلى الانتقال إلى المتجه (2 ، 2).
ما ينبغي تعيين زوايا دوران إلى نقطة ص (1,0) بحيث ينتقل إلى نقطة مع الإحداثيات (3,2)?
من أجل النقطة ص (1 ، 0) للانتقال إلى النقطة مع الإحداثيات (3 ، 2) ، تحتاج إلى تدوير بواسطة زاويتين. ستكون الزاوية الأولى مساوية لقوس الظل لنسبة تغيير الإحداثيات الصادية إلى تغيير الإحداثيات السينية. في هذه الحالة ، هو قوس الظل(2/1) = 1.1071 راديان أو حوالي 63.43 درجة. ثم ، فإن الزاوية الثانية تعتمد على تغيير ض-تنسيق. في هذه الحالة ، لا يتغير تنسيق ض ، وبالتالي فإن الزاوية الثانية هي 0. وبالتالي ، من أجل تحريك النقطة ص (1 ، 0) إلى النقطة ذات الإحداثيات (3 ، 2) ، من الضروري إجراء منعطف بمقدار 63.43 درجة حول المحور السيني.