هل تساءلت يوما ما هو احتمال أن نفس القيم سوف تظهر على ثلاثة الزهر القيت? أو ربما كنت قد لعبت ألعاب الطاولة حيث كان لديك للفة النرد وكنت أتساءل كيف نادرة هذا الحدث?
للإجابة على هذا السؤال ، دعونا نلقي نظرة على جميع التوليفات الممكنة للقيم على ثلاثة نرد. يمكن إضافة إحدى القيم الست الممكنة إلى كل نرد: 1, 2, 3, 4, 5 أو 6. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة هو 6*6*6 = 216.
الآن دعونا نرى كم من هذه المجموعات تحتوي على نفس القيم على كل الزهر ثلاثة. على سبيل المثال ، لدينا مجموعات حيث تسقط جميع النرد الثلاثة 1: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3) وهلم جرا. وبالمثل ، هناك مجموعات مع ثلاثة ثنائيات وثلاثة ثلاثات وما إلى ذلك. هناك 6 مجموعات من هذا القبيل في المجموع.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط نفس القيم على ثلاثة نرد مرمى هو 6/216 أو حوالي 0.0278 ، أي حوالي 2.8٪.
هذا الاحتمال منخفض جدا ، مما يجعل فقدان نفس القيم على ثلاثة نرد حدثا نادرا إلى حد ما. هذا هو السبب في أن هذا الحدث يمكن أن يكون مثيرا للاهتمام أو مفاجئا بشكل خاص إذا حدث.
- الاحتمال النظري للحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت
- تعريف الاحتمال النظري
- حساب احتمال سقوط نفس القيمة على نفس النرد
- حساب احتمال اثنين من القيم متطابقة تسقط على اثنين من الزهر
- حساب احتمال سقوط نفس القيمة على كل من النرد الثلاثة
- حساب احتمال نفس القيم تسقط على ثلاثة النرد
- أمثلة على حسابات احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت
- مقارنة الاحتمال النظري بالبيانات التجريبية
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال الحصول على ثلاث قيم متطابقة على ثلاثة النرد القيت?
- ما هو احتمال أن اثنين من وجوه متطابقة سوف تظهر على ثلاثة الزهر القيت?
- إذا ظهرت نفس القيمة على ثلاثة النرد القيت, هناك فرصة أن النرد اثنين آخرين سيكون لها نفس القيم?
- هل من الممكن لمدة ثلاثة الزهر القيت لديك ثلاث قيم مختلفة?
- ما هو احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة الزهر القيت, إذا كان من المعروف أن الأولين كان نفس القيم?
الاحتمال النظري للحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت
يمكن حساب احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد يتم إلقاؤها باستخدام نهج رياضي بسيط. أولا ، تحتاج إلى فهم القيم التي يمكن أن تقع على كل عظم.
عادة ما يكون هناك ستة وجوه على النرد ، يشار إليها بالأرقام من 1 إلى 6. لذلك هناك ست قيم ممكنة لكل عظم.
باستخدام مبدأ الرسوم المتحركة ، يمكننا تحديد العدد الإجمالي للنتائج للنرد الثلاثة. اضرب عدد القيم الممكنة لكل عظم (6) في نفسه ثلاث مرات:
6 * 6 * 6 = 216
وبالتالي ، هناك 216 مجموعات مختلفة لإسقاط القيم على ثلاثة النرد القيت.
الآن ، لتحديد عدد النتائج الإيجابية (أي عندما تكون قيم النرد الثلاثة متشابهة) ، يجب أن نحسب عدد هذه المجموعات. لدينا 6 مجموعات ممكنة فقط عندما يكون لكل عظم نفس القيمة:
- 1, 1, 1
- 2, 2, 2
- 3, 3, 3
- 4, 4, 4
- 5, 5, 5
- 6, 6, 6
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد يتم إلقاؤها يساوي عدد النتائج الإيجابية (6) مقسوما على إجمالي عدد النتائج (216):
ص (نفس القيم) = 6/216 = 1/36
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت هو 1 في 36 أو حوالي 0.02778 (تقريب إلى المكان العشري الخامس).
تعريف الاحتمال النظري
الاحتمال النظري هو احتمال مجرد يتم حسابه بناء على النظر في جميع النتائج الممكنة وإيجاد نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج.
في حالة لفة من ثلاثة نرد ، يكون لكل نرد ستة وجوه تكتب عليها الأرقام من 1 إلى 6. لتحديد احتمال الحصول على نفس القيم على جميع النرد الثلاثة ، تحتاج إلى النظر في عدد النتائج الإيجابية وتقسيمها على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
يمكن العثور على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة باستخدام مبدأ الضرب. كل نرد له 6 نتائج محتملة ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو 6 * 6 * 6 = 216.
للعثور على عدد النتائج الإيجابية ، تحتاج إلى تحديد عدد المجموعات التي تحتوي فيها جميع النرد الثلاثة على نفس القيم. في هذه الحالة ، لا يوجد سوى مثل هذه المجموعات 6 (1,1,1; 2,2,2; 3,3,3; 4,4,4; 5,5,5; 6,6,6).
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت هو:
| عدد النتائج الإيجابية | عدد النتائج المحتملة | الاحتمال |
|---|---|---|
| 6,216 | 1/36 |
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد مدلفن هو 1/36 أو حوالي 0.03 (مقربا إلى منزلتين عشريتين).
حساب احتمال سقوط نفس القيمة على نفس النرد
لحساب احتمال سقوط نفس القيمة على عظم واحد ، من الضروري معرفة جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها العظم قيد الدراسة. في أبسط الحالات ، يمكن أن يكون للعظم ستة وجوه بأرقام من 1 إلى 6.
لتحديد احتمال سقوط قيمة معينة على النرد ، يمكنك استخدام الصيغة:
احتمال سقوط قيمة = 1 / إجمالي عدد القيم على النرد
في هذه الحالة ، العدد الإجمالي للقيم لكل عظم هو 6 ، لأن العظم له 6 وجوه. أي أن احتمال سقوط قيمة معينة على النرد هو 1/6 ، أو حوالي 0.1667 (16.67٪).
وبالتالي ، عندما يتم دحرجة نرد واحد ، هناك احتمال بنسبة 16.67 ٪ أن تظهر قيمة محددة عليه.
حساب احتمال اثنين من القيم متطابقة تسقط على اثنين من الزهر
عند رمي نردتين ، هناك عدة مجموعات يمكن أن تؤدي إلى نفس القيم. لحساب احتمال مثل هذا الحدث ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة وعدد المجموعات التي تسقط فيها نفس القيم.
الطريقة الرئيسية لحساب احتمال الحصول على نفس القيم على نردتين هي استخدام الطريقة المجدولة. يسرد الجدول جميع التوليفات الممكنة من اثنين من الزهر وعلامات مجموعات مع نفس القيم.
| العظم الأول | العظم الثاني |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
| 1 | 4 |
| 1 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 1 |
| 2 | 2 |
| 2 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 5 |
| 2 | 6 |
| 3 | 1 |
| 3 | 2 |
| 3 | 3 |
| 3 | 4 |
| 3 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 1 |
| 4 | 2 |
| 4 | 3 |
| 4 | 4 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
| 5 | 1 |
| 5 | 2 |
| 5 | 3 |
| 5 | 4 |
| 5 | 5 |
| 5 | 6 |
| 6 | 1 |
| 6 | 2 |
| 6 | 3 |
| 6 | 4 |
| 6 | 5 |
| 6 | 6 |
ويبين الجدول 36 مجموعات من اثنين من الزهر. من هذه ، تحتوي 6 مجموعات على قيمتين متطابقتين(1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6).
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط قيمتين متطابقتين على نردتين هو 6/36 أو 1/6 ، أي 16.67٪.
حساب احتمال سقوط نفس القيمة على كل من النرد الثلاثة
في هذه الحالة ، نعتبر موقفا يكون فيه من الضروري تحديد احتمال سقوط نفس القيمة على جميع النرد الثلاثة التي تم إلقاؤها. لإجراء الحسابات ، من الضروري مراعاة عدد النتائج المحتملة وعدد النتائج التي تسقط فيها نفس القيمة.
في المجموع ، يمكن أن تظهر 6 قيم مختلفة على كل عظم ، من 1 إلى 6. وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لثلاث عظام هو 6 * 6 * 6 = 216.
لتحديد عدد النتائج التي تقع فيها نفس القيمة على جميع النرد الثلاثة ، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار أن أي من القيم 6 يمكن أن تقع على كل عظم. وبالتالي ، يمكن دمج كل من القيم الـ 6 الممكنة على العظم الأول مع أي من القيم الـ 6 على العظم الثاني وأي من القيم الـ 6 على العظم الثالث. نحصل على ما مجموعه 6 * 6 * 6 = 216 نتيجة بنفس القيمة.
وبالتالي ، من أجل تحديد احتمال سقوط نفس القيمة على كل من النرد الثلاثة ، من الضروري تقسيم عدد النتائج التي تنخفض فيها نفس القيمة على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة. في هذه الحالة ، سيكون الاحتمال:
ع = (عدد النتائج التي تسقط فيها نفس القيمة) / (العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة)
وبالتالي ، فإن الاحتمال هو ص = 216/216 = 1.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط نفس القيمة على كل من النرد الثلاثة هو 1 أو 100٪.
حساب احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد
يمكن حساب احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد يتم إلقاؤها باستخدام طريقة الفرز من خلال جميع المجموعات الممكنة.
هنا نحن بحاجة إلى معرفة أساسيات التوافقية. عدد جميع التوليفات الممكنة عند رمي ثلاثة نرد يساوي حاصل ضرب عدد القيم الممكنة على كل نرد. في الحالة الكلاسيكية ، هناك ست قيم مختلفة على كل نرد (من 1 إلى 6) ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة هو 6 * 6 * 6 = 216.
بعد ذلك ، تحتاج إلى تحديد عدد المجموعات التي تكون فيها القيم الثلاث متشابهة. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك جميع المجموعات المتطابقة الممكنة:
- المكعب 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- المكعب 2: 1, 2, 3, 4, 5, 6
- 3-المكعب ال: 1, 2, 3, 4, 5, 6
من هذه المجموعات ، 6 فقط متطابقة (1-1-1, 2-2-2, 3-3-3, 4-4-4, 5-5-5, 6-6-6).
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد يساوي نسبة عدد المجموعات المتطابقة إلى العدد الإجمالي للمجموعات:
الاحتمال = 6/216 = 1/36 = حوالي 0.0278 أو حوالي 2.78٪.
وبالتالي ، فإن فرصة الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت حوالي 1 في 36.
أمثلة على حسابات احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت
لحساب احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة النرد القيت ، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار جميع النتائج المحتملة وتحديد كم منهم تلبية حالة المشكلة.
لنلق نظرة على أمثلة على عشرين وجها من العظام. في المجموع ، يمكن أن يحتوي هذا النرد على 20 قيمة ممكنة: من 1 إلى 20.
1. احتمال الحصول على نفس القيمة على ثلاثة النرد القيت:
- نحن لفة العظام الأولى والحصول على النتيجة 1. من أجل أن تقع نفس القيمة على العظمتين التاليتين ، لدينا خيار واحد فقط — يجب أن يظهر العظم أيضا 1. احتمال وجود 1 على كل من الزهر الثلاثة هو 1/20. وبالتالي ، فإن الاحتمال الكلي هو (1/20) * (1/20) * (1/20) = 1/8000.
- نحن لفة العظام الأولى والحصول على النتيجة 2. للحصول على نفس القيمة على النرد التاليين ، سيكون لدينا خياران-يمكن أن يظهر كل من النرد 2. احتمال وجود 2 على كل من الزهر الثلاثة هو 1/20. وبالتالي ، فإن الاحتمال الكلي هو (1/20) * (1/20) * (1/20) * 2 = 1/4000.
- استمرارا لحسابات مماثلة للقيم المتبقية من 3 إلى 20 ، يمكننا تحديد احتمال سقوط نفس القيم على ثلاثة نرد ملفوف لنرد معين.
2. جدول موجز لاحتمالات نفس القيم تسقط على ثلاثة النرد القيت:
| المعنى | الاحتمال |
|---|---|
| هو 1 | 1/8000 |
| 2 | 1/4000 |
| 3 | 1/8000 |
| … | … |
| 20 | 1/8000 |
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد ملفوف لنرد معين يساوي مجموع كل الاحتمالات التي حسبناها لكل قيمة من 1 إلى 20.
مقارنة الاحتمال النظري بالبيانات التجريبية
من أجل اختبار الاحتمال النظري لنفس القيم التي تسقط على ثلاثة نرد مرمى ، سنقوم بإجراء تجربة ومقارنة نتائجها بالقيم المتوقعة.
يمكن حساب احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة نرد يتم إلقاؤها باستخدام مبدأ الضرب. إذا ظهرت إحدى القيم الست (من 1 إلى 6) على كل نرد، فسيكون العدد الإجمالي للنتائج المحتملة مساويا لـ 6 * 6 * 6 = 216. في هذه الحالة ، هناك مجموعة واحدة فقط عندما تظهر نفس القيم على جميع النرد الثلاثة (على سبيل المثال ، 1 على كل نرد). وبالتالي ، فإن الاحتمال النظري لنفس القيم السقوط هو 1/216.
لاختبار هذا الاحتمال ، سنقوم بإجراء سلسلة من التجارب التي تتكون من رمي ثلاثة نرد وحساب عدد الحالات التي يكون فيها للنرد الثلاثة نفس القيم. بعد إجراء عدد كبير من الاختبارات ، دعنا نقارن التردد النسبي بالاحتمال النظري.
| عدد الاختبارات | عدد المباريات | التردد النسبي |
|---|---|---|
| 100 | 2 | 0.02 |
| 1000 | 25 | 0.025 |
| 10000 | 275 | 0.0275 |
| 100000 | 2980 | 0.0298 |
| 1000000 | 29460 | 0.02946 |
من البيانات الواردة في الجدول ، يمكن ملاحظة أنه مع زيادة عدد الاختبارات ، يقترب التردد النسبي من الاحتمال النظري. تظهر النتائج التي تم الحصول عليها أن البيانات التجريبية تتفق مع الاحتمال النظري لنفس القيم التي تسقط على ثلاثة نرد.
سؤال وجواب
ما هو احتمال الحصول على ثلاث قيم متطابقة على ثلاثة النرد القيت?
احتمال سقوط ثلاث قيم متطابقة على ثلاثة نرد ملفوف هو 1/216 أو حوالي 0.46٪.
ما هو احتمال أن اثنين من وجوه متطابقة سوف تظهر على ثلاثة الزهر القيت?
احتمال أن اثنين من وجوه متطابقة سوف تسقط على ثلاثة النرد القيت هو 5/18 أو حوالي 27.8٪.
إذا ظهرت نفس القيمة على ثلاثة النرد القيت, هناك فرصة أن النرد اثنين آخرين سيكون لها نفس القيم?
إذا سقطت نفس القيمة على ثلاثة نرد تم إلقاؤها ، فإن احتمال أن يكون للنردين الآخرين نفس القيم هو 1/6 أو حوالي 16.7٪.
هل من الممكن لمدة ثلاثة الزهر القيت لديك ثلاث قيم مختلفة?
نعم ، هذا ممكن. احتمال ظهور ثلاث قيم مختلفة على ثلاثة نرد مرمى هو 125/216 ، أو حوالي 57.9٪.
ما هو احتمال الحصول على نفس القيم على ثلاثة الزهر القيت, إذا كان من المعروف أن الأولين كان نفس القيم?
إذا سقطت نفس القيم على أول نردتين تم إلقاؤهما ، فإن احتمال سقوط نفس القيم على النرد الثلاثة هو 1/6 أو حوالي 16.7٪.