ربما تساءل الكثير منا عن احتمال الحصول على عدد معين من الرؤوس عند قلب عملة معدنية. ومع ذلك ، لفهم هذا ، من المهم أن ننتقل إلى أساسيات نظرية الاحتمالات.
بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد صيغة ستساعدنا في حساب احتمال سقوط عدد معين من النسور. يمكن التعبير عن الاحتمال باستخدام صيغة برنولي:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين ص (ك) هو احتمال سقوط رؤوس ك مع ن تقلب العملة ، ج(ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك (عدد طرق الاختيار ك عناصر من ن) ، ص هو احتمال سقوط نسر بقلب عملة واحدة.
وبالتالي ، من أجل العثور على احتمال سقوط 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات عملة ، من الضروري حساب مجموع احتمالات سقوط 9-10 نسور. قد تكون هذه مهمة صعبة للغاية ، ولكن بمساعدة هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على نتيجة دقيقة.
- كيف يمكنني حساب احتمال الحصول على الأقل 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
- تحديد احتمال سقوط النسر
- تطبيق التوزيع ذي الحدين
- حساب احتمال سقوط 9 نسور على الأقل
- باستخدام صيغة المعامل ذي الحدين
- مثال على حساب الاحتمال
- احتمال السقوط هو بالضبط 10 نسور
- ملاحظات ومعلومات إضافية
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال الحصول على 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
- كيف يمكنني حساب احتمال الحصول على الأقل 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
- ما هو احتمال أن ما لا يقل عن 9 والنسور تسقط مع 10 تقلب عملة?
كيف يمكنني حساب احتمال الحصول على الأقل 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
لحساب احتمال فقدان ما لا يقل عن 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة ، فمن الضروري استخدام التوافقية والحسابات الاحتمالية.
الرؤوس والذيل هي أحداث ثنائية يمكن أن تحدث بشكل مستقل عن بعضها البعض. احتمال سقوط النسر بقلب عملة واحدة هو 0.5 (50٪) ، نظرا لوجود نتيجتين محتملتين بنفس القدر: الرؤوس والذيل.
لحساب احتمال سقوط عدد معين من الرؤوس مع عدة تقلبات للعملة المعدنية ، يمكننا استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين:
| صيغة التوزيع ذات الحدين: | ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) |
أين:
- ص (ك) هو احتمال سقوط النسور ك
- ج (ن ، ك) هو عدد طرق الاختيار ك عناصر من ن (معامل التوزيع ذي الحدين)
- ص هو احتمال النجاح (في حالتنا 0.5)
- ن هو عدد تقلب العملة
يمكن حساب احتمال فقدان 9 نسور على الأقل على النحو التالي:
- احتمال فقدان 9 النسور: ص (9) = ج(10, 9) * 0,5^9 * (1-0,5)^(10-9)
- احتمال 10 نسور: ص (10) = ج(10, 10) * 0,5^10 * (1-0,5)^(10-10)
- الاحتمال النهائي: احتمال 9 أو 10 نسور: ص (9 أو 10) = ص (9) + ص (10)
باستبدال القيم في الصيغة ، يمكننا حساب الاحتمال النهائي لسقوط 9 رؤوس على الأقل مع تقلب 10 عملات معدنية.
تحديد احتمال سقوط النسر
يعتمد احتمال سقوط جانب معين من العملة على خصائصها وظروف القذف. لتحديد احتمال سقوط النسر ، من الضروري أن تعرف بالضبط شروط هذه التجربة والعملات المعدنية المستخدمة.
إذا تم استخدام عملة معدنية متوازنة ، أي عملة معدنية بدون جانب مفضل ، فإن احتمال الرؤوس والذيل سيكون هو نفسه وهو 0.5 أو 50 ٪ لكل جانب.
إذا كانت العملة تحتوي على أي ميزات ، مثل التوزيع غير المتكافئ للكتلة أو الشكل غير المتماثل ، فقد يكون احتمال سقوط النسر مختلفا. في هذه الحالة ، لتحديد الاحتمال ، من الضروري إجراء تجارب باستخدام عملة معدنية وتحليل النتائج.
يمكن تحديد احتمال سقوط عدد معين من الرؤوس مع عدة تقلبات للعملة باستخدام توزيع ذي الحدين. على سبيل المثال ، لتحديد احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات عملة ، يمكنك استخدام الصيغة التالية:
| انخفض عدد النسور | احتمال سقوط هذا العدد من النسور مع 10 قذفات |
|---|---|
| هو 9 | 0.009765625 |
| 10 | 0,0009765625 |
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات للعملة هو 0.009765625 أو حوالي 0.97٪.
تطبيق التوزيع ذي الحدين
التوزيع ذو الحدين هو أحد التوزيعات الرئيسية في نظرية الاحتمالات. يتم استخدامه لمحاكاة المواقف التي يوجد فيها نتيجتان محتملتان (على سبيل المثال ، حدث ناجح أو غير ناجح) ويظل احتمال كل نتيجة ثابتا في جميع التجارب. في حالتنا ، هذه عملة معدنية ، حيث تكون النتائج عبارة عن رؤوس أو ذيول.
لحساب احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات للعملة ، يمكننا استخدام التوزيع ذي الحدين. احتمال كل نتيجة فردية (فقدان النسر) هو 0.5 ، منذ عملة متناظرة وفرص رؤساء وذيول هي نفسها.
صيغة حساب احتمال التوزيع ذي الحدين هي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك),
أين:
- ص (س = ك ) هو احتمال الحصول بالضبط ك النجاحات,
- ن هو العدد الإجمالي للمحاكمات,
- ك هو عدد النجاحات,
- ف هو احتمال النجاح,
- ج (ن, ك) هو مزيج من ن بواسطة ك (يشار إليها أيضا باسم "ن بواسطة ك "أو" ن اختر ك") ، والتي تحسب على أنها ج(ن, ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، حيث"!"يدل على مضروب.
في حالتنا ، لإيجاد احتمال الحصول على 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات عملة ، يجب أن نجد مجموع احتمالات الحصول على 9 ، 10 نسور:
ص (س > = 9) = ص (س = 9) + ص (س = 10)
نظرا لأن الرؤوس والذيل تتساقط في كل تجربة بشكل مستقل ، يمكننا استخدام جداول الجمع للعثور على جميع مجموعات أرقام الرؤوس والذيل لكل عدد من النجاحات.
جدول الاحتمالات لقذف العملات المعدنية:
| عدد النسور (ك) | عدد المجموعات (ج (10 ، ك)) | احتمال ص (س = ك ) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.0009765625 |
| 1 | 10 | 0.009765625 |
| 2 | 45 | 0.0439453125 |
| 3 | 120 | 0.1171875 |
| 4 | 210 | 0.205078125 |
| 5 | 252 | 0.24609375 |
| 6 | 210 | 0.205078125 |
| 7 | 120 | 0.1171875 |
| 8 | 45 | 0.0439453125 |
| 9 | 10 | 0.009765625 |
| 10 | 1 | 0.0009765625 |
وبالتالي ، فإن مجموع احتمالات الحصول على 9 نسور على الأقل هو:
ف (خ >= 9) = 0.009765625 + 0.0009765625 = 0.0107421875
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات عملة ما يقرب من 0.0107 أو 1.07٪.
حساب احتمال سقوط 9 نسور على الأقل
لحساب احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات للعملة ، يمكنك استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين.
صيغة التوزيع ذات الحدين هي كما يلي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)
أين:
- ص (س = ك ) هو احتمال أن المتغير العشوائي س يساوي ك;
- ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك;
- ص هو احتمال النجاح (في حالتنا ، نسر) ، وعادة ما يشار إليه باسم ص;
- ن هو العدد الإجمالي للتجارب (في حالتنا ، تقلب العملة) ، وعادة ما يشار إليها باسم ن;
- ك هو عدد النجاحات (في حالتنا ، قطرات النسر) ، وعادة ما يشار إليها باسم ك.
لحساب احتمال الحصول على ما لا يقل عن 9 رؤساء مع 10 عملة تقلب ، ونحن بحاجة إلى العثور على احتمال أن س هو 9 أو 10:
ع (س 9 9) = ع (س = 9) + ع (س = 10)
باستبدال القيم في صيغة التوزيع ذات الحدين ، نحصل على:
ص(س 9 9) = ج (10 ، 9) * ص^9 * (1-ص)^(10-9) + ج (10 ، 10) * ص^10 * (1-ص)^(10-10)
بعد الحساب في جدول مجموعات القيم الحقيقية لاحتمال سقوط النسر عند قلب عملة واحدة ، يمكننا العثور على القيمة النهائية لاحتمال سقوط 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات عملة.
| n | جيم (نون ، ك) | ف ^ك | (1-ف)^(ن-ك) | ع (س = ك ) |
|---|---|---|---|---|
| 9 | ج (10 ، 9) = 10 | ص^9 | (1-ص)^(10-9) | |
| 10 | ج (10 ، 10) = 1 | ص^10 | (1-ص)^(10-10) |
فإن قيمة احتمال لا يقل عن 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة يكون مساويا لمجموع الاحتمالات ص (س = 9) و ص(س = 10).
باستخدام صيغة المعاملات ذات الحدين
عندما نتخيل حالة رمي العملة التي نحتاج فيها إلى حساب احتمال سقوط عدد معين من الرؤوس ، يمكننا استخدام صيغة المعاملات ذات الحدين.
تسمح لنا صيغة المعامل ذات الحدين بحساب عدد مجموعات عدد معين من النجاحات (في هذه الحالة ، عدد النسور) مع عدد معين من المحاولات (تقلب العملة).
بالنسبة لحالتنا المحددة ، حيث نحتاج إلى إيجاد احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات للعملة المعدنية ، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
| عدد النسور | الاحتمال |
|---|---|
| 9 | 10! / (9! * (10-9)!) |
| 10 | 10! / (10! * (10-10)!) |
هنا "!"يشير إلى عامل الرقم ، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى رقم معين.
من خلال حساب قيم المعاملات ذات الحدين لـ 9 و 10 نسور ، يمكننا الحصول على احتمال سقوط 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات عملة عن طريق إضافة هذه الاحتمالات.
على سبيل المثال ، إذا كنا نتصور الوضع عملة إرم كسلسلة من "س" و "ص" ، حيث "س" يدل على فقدان رؤساء ، و "ص" — فقدان ذيول ، ثم احتمال 9 رؤساء سيكون على قدم المساواة 10! / (9! * (10-9)!) = 10.
سيكون الاحتمال الإجمالي للحصول على 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات للعملة مساويا لمجموع احتمالات الحصول على 9 و 10 نسور وجميع القيم الوسيطة.
يسمح لنا استخدام صيغة المعامل ذي الحدين بحساب احتمال سقوط عدد معين من النسور بدقة مع عدد معين من محاولات رمي العملات المعدنية وهو طريقة فعالة لحل مثل هذه المشكلات.
مثال على حساب الاحتمال
دعونا ننظر في مشكلة ما هو احتمال الحصول على ما لا يقل عن 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة.
لحل هذه المشكلة ، سوف نستخدم التوزيع ذي الحدين. التوزيع ذو الحدين قابل للتطبيق في الحالات التي يكون فيها للحدث نتيجتان محتملتان: النجاح أو الفشل. في هذه الحالة ، سيكون النجاح هو فقدان الرؤوس ، والفشل سيكون فقدان ذيول.
صيغة حساب احتمال التوزيع ذي الحدين هي:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك *(1-ص)^(ن-ك)
أين:
- ص (ك) هو احتمال الحصول على ك النسور
- ج (ن ، ك) - عدد مجموعات ن بواسطة ك
- ف-احتمال الرؤوس
- (1-ص) - احتمال ذيول
- ن - عدد تقلب العملة
في مشكلتنا ، ن هو 10 و ص هو 0.5 ، لأن احتمال الرؤوس والذيل هو نفسه. نحتاج أيضا إلى احتمال سقوط 9 نسور على الأقل ، وهو ما يساوي مجموع احتمالات سقوط 9-10 نسور:
ص (س > = 9) = ص (س = 9) + ص (س = 10)
احسب كل احتمال باستخدام الصيغة:
- ف (س = 9) = ج(10, 9) * 0.5^9 * (1-0.5)^(10-9)
- ف (س = 10) = ج(10, 10) * 0.5^10 * (1-0.5)^(10-10)
استبدل القيم في الصيغة واحسب الاحتمالات:
- احتمال سقوط 9 نسور: ص (س = 9) = ج(10, 9) * 0.5^9 * 0.5^1 = 10 * 0.5^10 = 0.009765625
- احتمال 10 النسور: ص (س = 10) = ج(10, 10) * 0.5^10 * 0.5^0 = 1 * 0.5^10 = 0.0009765625
الآن دعنا نحسب مجموع احتمالات سقوط 9 نسور على الأقل:
- مجموع احتمالات السقوط على الأقل 9 النسور: ص (س > = 9) = ص (س = 9) + ص (س = 10) = 0.009765625 + 0.0009765625 = 0.0107421875
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات للعملة هو 0.0107421875 أو حوالي 1.07٪.
احتمال الحصول على 10 نسور بالضبط
يمكن حساب احتمال الحصول على 10 رؤوس بالضبط مع 10 تقلبات عملة باستخدام توزيع ذي الحدين.
يصف التوزيع ذو الحدين احتمال تكرار نتيجتين محتملتين في سلسلة من التجارب المستقلة مع عدد ثابت من التجارب. في هذه الحالة ، نحن نفكر في رمي عملة معدنية ، والتي يمكن أن تسقط رؤوس أو ذيول.
احتمال سقوط الرؤوس في كل تجربة هو 1/2 ، واحتمال سقوط ذيول هو أيضا 1/2.
لحساب احتمال الحصول على 10 نسور بالضبط ، نستخدم صيغة التوزيع ذات الحدين:
| : | ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) |
| أين: |
|
في حالتنا:
- ص = 1/2 (احتمال سقوط نسر)
- ن = 10 (عدد المحاكمات)
- ك = 10 (عدد النسور التي نريد الحصول عليها)
ملاحظات ومعلومات إضافية
لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام التوزيع ذي الحدين. يصف التوزيع ذو الحدين ظاهرة عشوائية ذات نتيجتين محتملتين ، مثل الرؤوس أو الذيول في قلب العملة.
في هذه الحالة ، لدينا 10 تقلب عملة مستقلة ، كل منها يمكن أن تقع إما رؤساء أو ذيول. احتمال سقوط نسر في قلب عملة واحدة هو 0.5.
لتحديد احتمال سقوط 9 نسور على الأقل من 10 تقلبات للعملة ، يمكننا استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين:
| عدد النجاحات | احتمال النجاح في محاكمة واحدة | احتمال ما لا يقل عن عدد معين من النجاحات |
|---|---|---|
| هو 9 | 0.5 | 0.246 |
| 10 | 0.5 | 0.053 |
لذلك ، فإن احتمال الحصول على 9 رؤوس على الأقل مع 10 تقلبات للعملة هو 0.246 + 0.053 = 0.299 ، أو ما يقرب من 29.9٪.
وبالتالي ، مع احتمال حوالي 29.9 ٪ ، يمكن توقع أنه مع تقلب 10 عملات معدنية ، فإن 9 منها على الأقل ستسقط الرؤوس.
سؤال وجواب
ما هو احتمال الحصول على 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
يمكن حساب احتمال سقوط 9 رؤوس مع 10 تقلبات عملة باستخدام صيغة برنولي. حوالي 0.00977 ، أو 0.977٪.
كيف يمكنني حساب احتمال الحصول على الأقل 9 رؤساء مع 10 تقلب عملة?
لحساب احتمال الحصول على 9 نسور على الأقل مع 10 تقلبات عملة ، تحتاج إلى إضافة احتمال الحصول على 9.10 نسور والحصول على حوالي 0.00977 ، أو 0.977٪.
ما هو احتمال أن ما لا يقل عن 9 والنسور تسقط مع 10 تقلب عملة?
إذا قمت بحساب احتمال سقوط 9 رؤوس واحتمال سقوط 10 رؤوس مع تقلب 10 عملات معدنية ، ثم جمعتها ، فستحصل على حوالي 0.00977 ، أو 0.977٪.