يمكن تحديد احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من مجموعة من ثمانية رياضيين باستخدام التوافقية. العدد الإجمالي للمجموعات التي يمكن تشكيلها من ثمانية رياضيين هو 8! (مضروب) أو 40320.
الآن نحن بحاجة إلى تحديد عدد الطرق لاختيار اثنين من سادة الرياضة. يمكن القيام بذلك باستخدام مجموعة. في مثل هذه الحالة ، فإن الجمع بين ثمانية رياضيين من اثنين سيكون مساويا لـ 8! / (2! * (8-2)!) أو 28.
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين هو 28/40320 أو حوالي 0.0007. هذا يعني أنه لا توجد سوى فرصة ضئيلة لاختيار اثنين من أساتذة الرياضة من مجموعة من ثمانية رياضيين.
- كيفية اختيار اثنين من سادة الرياضة?
- التباديل والتركيبات
- حساب الجمع
- احتمال اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين
- هناك العديد من الخيارات للاختيار من بينها
- الصيغة لحساب الاحتمال
- شروط مهمة اختيار سادة الرياضة
- كيفية تجنب الأخطاء والتكرار
- أمثلة على حل المشكلة
- حساب الاحتمال في إكسيل
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين?
- كيفية حساب عدد التوليفات الممكنة للرياضيين?
- ما هو احتمال اختيار سادة الرياضة من مجموعة من الرياضيين?
كيفية اختيار اثنين من سادة الرياضة?
المصدر: مقال في قسم "الاحتمال" على الموقع MathIsFun.com
إذا كان لديك مجموعة من ثمانية رياضيين وترغب في اختيار اثنين من أساتذة الرياضة منهم ، فستحتاج إلى معرفة أساسيات الاحتمال. يمكن حساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة باستخدام التوافقية.
التباديل والتركيبات
أولا ، تحتاج إلى فهم الفرق بين التباديل والتركيبات. التقليب هو مجموعة مرتبة من العناصر ، والمزيج عبارة عن مجموعة غير مرتبة.
- التقليب: على سبيل المثال ، لديك أربعة رياضيين وتريد اختيار سيدين. من المهم بالنسبة لك تحديد ترتيب الاختيار. بمعنى ، إذا اخترت الرياضي أ ثم الرياضي ب ، فسيتم اعتباره تبادلا مختلفا عن اختيار الرياضي ب ثم الرياضي أ.
- مزيج: على سبيل المثال ، تريد اختيار سيدين من مجموعة من الرياضيين. ترتيب الاختيار ليس مهما. سيتم اعتبار اختيار الرياضي أ ثم الرياضي ب نفس المجموعة مثل اختيار الرياضي ب ثم الرياضي أ.
حساب الجمع
لحساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين ، نحتاج إلى استخدام صيغة للمجموعات.
صيغة للتركيبات:
| C | n | k | = | ن! | / | (ن-ك)! | ك! |
أين:
- ج-الجمع
- ن-عدد العناصر للاختيار (في هذه الحالة 8 رياضيين)
- ك-عدد العناصر للاختيار (في هذه الحالة 2 سادة الرياضة)
- ! - عامل الرقم (حاصل ضرب الأرقام من 1 إلى رقم)
- (ن-ك)! - عامل الفرق بين ن و ك
- ك! - عامل الرقم ك
استبدال القيم في الصيغة ، يمكننا حساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين.
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين هو:
| C | 8 | 2 | = | 8! | / | (8 — 2)! | 2! |
احتمال اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين
لتحديد احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين ، من الضروري معرفة العدد الإجمالي للرياضيين وعدد سادة الرياضة.
لنفترض أن هناك ثلاثة أساتذة في الرياضة من بين ثمانية رياضيين. لتحديد الاحتمال ، من الضروري تقسيم عدد مجموعات اختيار اثنين من أساتذة الرياضة على العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة لاختيار اثنين من الرياضيين من أصل ثمانية.
يمكن حساب العدد الإجمالي لمجموعات اختيار رياضيين من أصل ثمانية باستخدام الصيغة:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين ن هو العدد الإجمالي للرياضيين (في هذه الحالة 8) ، و ك هو عدد الرياضيين الذين سيتم اختيارهم (في هذه الحالة 2).
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لمجموعات اختيار اثنين من الرياضيين من أصل ثمانية يساوي:
ج (8 ، 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 8! / (2! * 6!) = (8 * 7) / (2 * 1) = 28
الآن من الضروري تحديد عدد مجموعات اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثلاثة:
ج (3 ، 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين هو:
ع = ج (3 ، 2) / ج (8 ، 2) = 3/28 0 0.1071
أي أن الاحتمال هو حوالي 0.1071 أو 10.71٪.
هناك العديد من الخيارات للاختيار من بينها
لحل هذه المشكلة ، من الضروري تحديد عدد الخيارات الممكنة لاختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين. دعونا نستخدم صيغة التوافقية.
الصيغة التوافقية لتحديد عدد مجموعات ن عناصر بواسطة ك عناصر:
كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!),
أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر و ك هو عدد العناصر التي سيتم اختيارها.
بناء على هذه المهمة ، لدينا ن = 8 رياضيين ، و ك = 2 سادة الرياضة.
دعنا نستبدل البيانات في الصيغة ونحسب عدد المجموعات:
ج82 = 8! / (2! * (8 — 2)!) = 8! / (2! * 6!) = 8 * 7 / (2 * 1) = 28.
وبالتالي ، هناك 28 خيارا ممكنا لاختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين.
الصيغة لحساب الاحتمال
يمكن حساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين باستخدام التوافقية. في هذه المهمة ، علينا اختيار رياضيين من أصل ثمانية. من المهم أن تأخذ في الاعتبار ترتيب الرياضيين المختارين.
لحساب هذا الاحتمال ، يتم استخدام صيغة الجمع:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين:
- ن هو العدد الإجمالي للعناصر (في هذه الحالة الرياضيين)
- ك هو عدد العناصر التي نختارها (في هذه الحالة 2)
- ن! هي الأعداد المضروبة ن (حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ن)
استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على:
ج (8 ، 2) = 8! / (2! * (8 — 2)!) = 8! / (2! * 6!)
دعونا نكشف عن العوامل:
جيم(8, 2) = (8 * 7 * 6!) / (2! * 6!) = (8 * 7) / (2 * 1) = 56 / 2 = 28
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين هو 28 من أصل 56 ، وهو ما يقرب من 0.5 أو 50٪.
شروط مهمة اختيار سادة الرياضة
تعتبر مهمة اختيار أساتذة الرياضة حالة يجب فيها اختيار عدد معين من أساتذة الرياضة من مجموعة معينة من الرياضيين. في هذه الحالة ، نحن بحاجة إلى اختيار اثنين من سادة الرياضة من ثمانية رياضيين.
هذه المشكلة هي حالة خاصة لمشكلة التوافقية-مشكلة التوليفات. تختلف المجموعات في ترتيب العناصر ، لذلك في هذه المشكلة نعتبر المجموعات دون تكرار. هذا يعني أن ترتيب الرياضيين المختارين لا يهم.
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام صيغة التوليفات دون تكرار:
ج (ن ، ك) = ن! / ((ن — ك)! * ك!)
أين:
- ن هو العدد الإجمالي للعناصر (في حالتنا ، الرياضيون)
- ك هو عدد العناصر التي سيتم اختيارها (في حالتنا ، سادة الرياضة)
- ن! هو عامل الرقم ن
- (ن-ك)! - عامل العدد (ن-ك)
- ك! - عامل الرقم ك
بتطبيق هذه الصيغة على مهمتنا ، يمكننا تحديد عدد التركيبات الممكنة لاختيار اثنين من أساتذة الرياضة من بين ثمانية رياضيين.
كيفية تجنب الأخطاء والتكرار
عند اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين ، هناك عدة طرق لتجنب الأخطاء والتكرار:
- قم بعمل قائمة بجميع الرياضيين وقم بتمييز الرياضيين المختارين حتى لا تنساهم عند اختيار رياضي ثان.
- استخدم طريقة اختيار مناسبة ، مثل الاختيار العشوائي أو الطريقة التوافقية ، لضمان فرص متساوية لجميع الرياضيين.
- تحقق من اختيارك للتأكد من تحديد كل رياضي مرة واحدة فقط.
يمكن أن تحدث الأخطاء والتكرار إذا لم تتبع هذه التوصيات. على سبيل المثال ، إذا لم تضع علامة على رياضي تم اختياره بالفعل ، فيمكنك تحديده مرتين. أيضا ، إذا كنت تستخدم طريقة اختيار غير كافية ، فقد يكون من المرجح أن يتم اختيار بعض الرياضيين أكثر من غيرهم.
من المهم اتباع هذه النصائح لضمان اختيار عادل ودقيق لاثنين من أساتذة الرياضة من بين ثمانية رياضيين.
أمثلة على حل المشكلة
في هذه المهمة ، نحتاج إلى اختيار اثنين من سادة الرياضة من ثمانية رياضيين. لحل هذه المشكلة ، يمكن استخدام طرق اندماجية ، مثل المجموعات دون تكرار.
مثال 1:
نختار اثنين من أصل ثمانية رياضيين. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام صيغة المجموعات دون تكرار:
كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، أين ن هو عدد العناصر ، ك هو عدد العناصر التي سيتم اختيارها.
في هذه الحالة ، ن = 8 (عدد الرياضيين) و ك = 2 (عدد سادة الرياضة التي سيتم اختيارها).
استبدال القيم في الصيغة:
ج82 = 8! / (2! * (8 — 2)!) = 8! / (2! * 6!) = 8 * 7 / (2 * 1) = 28.
وبالتالي ، هناك 28 طريقة مختلفة لاختيار اثنين من سادة الرياضة من ثمانية رياضيين.
المثال 2:
باستخدام الجدول ، يمكنك تخيل جميع المجموعات الممكنة من ثمانية رياضيين:
| رياضي 1 | رياضي 2 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 1 | 3 |
| 1 | 4 |
| 1 | 5 |
| 1 | 6 |
| 1 | 7 |
| 1 | 8 |
| 2 | 3 |
| 2 | 4 |
| 2 | 5 |
| 2 | 6 |
| 2 | 7 |
| 2 | 8 |
| 3 | 4 |
| 3 | 5 |
| 3 | 6 |
| 3 | 7 |
| 3 | 8 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
| 4 | 7 |
| 4 | 8 |
| 5 | 6 |
| 5 | 7 |
| 5 | 8 |
| 6 | 7 |
| 6 | 8 |
| 7 | 8 |
يسرد الجدول جميع المجموعات الممكنة ، وعددها الإجمالي هو 28 ، مما يؤكد قرارنا السابق.
حساب الاحتمالات في إكسيل
إكسيل هو أداة عالمية للعمل مع الجداول وإجراء العمليات الحسابية المختلفة. يمكن استخدامه لأتمتة حسابات الاحتمالات ، بما في ذلك أخذ العينات من مجموعة.
لحساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من بين ثمانية رياضيين ، هناك عدة طرق. واحد منهم هو استخدام صيغة التوافقية.
- قم بإنشاء جدول بيانات إكسل يمثل مجموعة من 8 رياضيين.
- حدد حالة المهمة-لاختيار اثنين من سادة الرياضة.
- تحديد عدد الطرق لاختيار اثنين من الرياضيين من مجموعة من 8 أشخاص. للقيام بذلك ، استخدم الصيغة التوافقية ج (8 ، 2) ، حيث ج هو تعيين عدد المجموعات.
تبدو الصيغة ج (8 ، 2) كما يلي:
| 8! | 2!(8-2)! |
|---|---|
| 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 | (2 * 1)(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) |
| = 40320 | = 2 * 720 |
| = 1440 |
وبالتالي ، هناك 1440 طريقة لاختيار اثنين من سادة الرياضة من مجموعة من 8 رياضيين.
يمكن حساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة باستخدام الصيغة:
الاحتمال = عدد النتائج المواتية للحدث / العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.
في حالتنا ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو 1440 (وفقا لصيغة التوافقية) ، والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو إجمالي مجموعات من 8 رياضيين ، يساوي ج(8 ، 2).
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من مجموعة من 8 رياضيين هو:
الاحتمال = 1440 / ج (8 ، 2)
استبدل القيم في الصيغة واحصل على النتيجة كنسبة مئوية.
سؤال وجواب
ما هو احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين?
يمكن حساب احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين باستخدام صيغة الجمع. في هذه الحالة ، فإن عدد الطرق لاختيار اثنين من سادة الرياضة من ثمانية رياضيين هو ج (8 ، 2) = 28. العدد الإجمالي للمجموعات الممكنة لثمانية رياضيين هو ج (8 ، 2) = 28. ولذلك ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية رياضيين هو 1/28 ، أو حوالي 3.57٪.
كيفية حساب عدد التوليفات الممكنة للرياضيين?
يمكن حساب عدد المجموعات الممكنة من الرياضيين باستخدام صيغة الجمع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للرياضيين وعدد الرياضيين الذين سيتم اختيارهم. الصيغة المركبة مكتوبة كـ ج (ن, ك) ، أين ن هو عدد الرياضيين و ك هو عدد الرياضيين الذين سيتم اختيارهم. لهذه المهمة ، يمكن حساب عدد مجموعات اختيار رياضيين من أصل ثمانية على أنه ج (8 ، 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 28.
ما هو احتمال اختيار سادة الرياضة من مجموعة من الرياضيين?
يعتمد احتمال اختيار أساتذة الرياضة من مجموعة من الرياضيين على عدد أساتذة الرياضة في المجموعة والعدد الإجمالي للرياضيين. لحساب الاحتمال ، تحتاج إلى معرفة عدد سادة الرياضة والعدد الإجمالي للرياضيين. لهذه المهمة ، إذا كان هناك ثمانية رياضيين في المجموعة وجميع الثمانية هم سادة الرياضة ، فإن احتمال اختيار اثنين من سادة الرياضة من أصل ثمانية هو 1 ، لأن جميع الرياضيين الثمانية هم سادة الرياضة.