مصفوفة باسكال هي مصفوفة مربعة خاصة تنتج عن عمليات اندماجية على أرقام تعرف باسم أرقام باسكال. واحدة من الخصائص المدهشة لهذه المصفوفة هي أن محددها يساوي دائما واحدا.
محدد المصفوفة هو رقم يشير إلى مساحة الفضاء التي يشغلها التحويل الخطي المعطى بواسطة هذه المصفوفة. عادة ، يتم استخدام المحدد لتحديد ما إذا كان التحويل الخطي سيغير المستوى أو الحجم.
لفهم سبب كون محدد مصفوفة باسكال هو دائما 1 ، تحتاج إلى النظر في هيكلها. مصفوفة باسكال لها شكل مثلث ، حيث يتم ترتيب العناصر في مثلث. يمتلئ المثلث العلوي بالأصفار ، وكل عنصر من عناصر المثلث السفلي يساوي مجموع العنصرين فوقه.
باستخدام هذه الطريقة لملء مصفوفة باسكال ، يمكنك أن ترى أن مجموع عناصر كل صف يساوي دائما اثنين. ويترتب على ذلك أن كل صف من مصفوفة باسكال هو مزيج خطي من الصفوف السابقة. وبالتالي ، تعتمد جميع صفوف المصفوفة على بعضها البعض. لذلك ، عندما نحسب المحدد ، فإن المصفوفة تعتمد خطيا ومحددها دائما 1.
- ما هو محدد مصفوفة باسكال?
- لماذا هو محدد مصفوفة باسكال يساوي 1?
- سؤال وجواب
- ما هو حجم مصفوفة باسكال?
- لماذا هو محدد مصفوفة باسكال يساوي 1?
- كيف يمكننا إثبات أن محدد مصفوفة باسكال يساوي واحدا?
ما هو محدد مصفوفة باسكال?
محدد مصفوفة باسكال هو قيمة رقمية يمكن حسابها لمصفوفة مربعة مشتقة من مثلث باسكال. مصفوفة باسكال هي مصفوفة خاصة يكون فيها كل عنصر مساويا لمجموع العنصرين فوقه. على سبيل المثال ، عنصر مصفوفة باسكال في الصف الأول والعمود ي يساوي مجموع عناصر الخلية أعلاه (في الصف الأول-1 والعمود ي) وإلى اليسار (في الصف الأول والعمود ي-1).
يشار إلى محدد مصفوفة باسكال بواسطة ديت (ص) أو |ص| ويمثل رقما يمثل ممتلكاتهم أو خصائص تلك المصفوفة. محدد مصفوفة باسكال هو دائما 1. هذا يعني أنه بغض النظر عن حجم مصفوفة باسكال (عدد الصفوف والأعمدة) ، فإن محددها سيكون دائما 1.
المصفوفات باسكال لديها مجموعة واسعة من التطبيقات في الرياضيات وتطبيقاتها. تتضمن بعض التطبيقات استخدام مصفوفات باسكال للعثور على تعبيرات للمعاملات ذات الحدين ، وحل أنظمة المعادلات الخطية ، وحساب الاحتمالات في نظرية الاحتمالات.
مثال على مصفوفة باسكال:
| 1 | |||||
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 2 | 1 | |||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
لماذا هو محدد مصفوفة باسكال يساوي 1?
مصفوفة باسكال هي مصفوفة مربعة يتم فيها حساب عناصر الصفوف والأعمدة وفقا للقاعدة التالية: العنصر في الموضع (أنا ، ي) يساوي مجموع عناصر المصفوفة في المواضع (أنا—1 ، ي-1) و (أنا-1 ، ي). يتكون الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة دائما من وحدات.
مصفوفة باسكال لها الشكل التالي:
| (1,1) | |||
| (2,1) | (2,2) | ||
| (3,1) | (3,2) | (3,3) | |
| (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
محدد مصفوفة باسكال هو دائما 1 ، بغض النظر عن حجم المصفوفة.
يمكن إثبات ذلك عن طريق الحث. لمصفوفة 2 2 2 ، المحدد هو (2,2) * (1,1) — (2,1) * (1,2) = 1 * 1 — 1 * 1 = 0. بالنسبة إلى ن-مصفوفة الأبعاد ، يمكن التعبير عن المحدد من حيث محدد (ن-1)-مصفوفة باسكال الأبعاد والعمود الأول من المصفوفة. إذا قمت بتغيير جميع العناصر في العمود الأول إلى 1 ، وترك العناصر من مصفوفة باسكال (ن-1) الأبعاد في المواضع المتبقية،فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد مصفوفة باسكال (ن-1) الأبعاد. وبالتالي ، يمكن التعبير عن محدد مصفوفة باسكال من حيث محدد مصفوفة باسكال (ن-1) الأبعاد، مما يعني أنها تساوي 1.
أمثلة:
- لمصفوفة باسكال 2 2 2:
- لمدة 3 3 3 باسكال المصفوفات:
| 1 | |
| 1 | 1 |
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 | 2 | 1 |
سؤال وجواب
ما هو حجم مصفوفة باسكال?
مصفوفة باسكال لها البعد ن س ن ، أين ن هو عدد الصفوف والأعمدة.
لماذا هو محدد مصفوفة باسكال يساوي 1?
محدد مصفوفة باسكال هو دائما 1 ، لأنها مصفوفة مثلثة بوحدات على القطر الرئيسي. جميع العناصر الأخرى للمصفوفة هي أيضا أعداد صحيحة تتكون من مجموع الأرقام فوقها.
كيف يمكننا إثبات أن محدد مصفوفة باسكال يساوي واحدا?
تتمثل إحدى طرق إثبات أن محدد مصفوفة باسكال يساوي واحدا في النظر في خصائص المصفوفة المثلثية العليا ، مثل حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر ، وربطها بالمحدد. يمكنك أيضا استخدام طريقة الحث الرياضي لإثبات المساواة لأي بعد من مصفوفة باسكال.