الفضاء المترافق هو أحد أهم المفاهيم في التحليل الوظيفي. يتم استخدامه لوصف عامل خطي بين مسافتين باناخ أو مسافات هيلبرت. الفضاء المترافق هو مجموعة من جميع الوظائف الخطية المستمرة على مساحة معينة. هذه الوظائف هي عوامل خطية تقوم بتعيين قيمة عددية لكل عنصر في مساحة معينة.
من السمات المهمة للفضاء المترافق أنه لا يتطابق بشكل عام مع المساحة الأصلية. يجب أن يكون عريضا بما يكفي لاحتواء جميع الوظائف الخطية في المساحة الأصلية ، بما في ذلك تلك غير المستمرة. في الوقت نفسه ، يحتفظ الفضاء المترافق ببعض خصائص الفضاء الأصلي ، مثل الإضافة والخطية.
أمثلة على المساحات المترافقة:
1. بالنسبة إلى فضاء هيلبرت ح ، الفضاء المترافق ح * هي مجموعة جميع الوظائف الخطية المستمرة على ح. يتم تعيين كل عنصر في ح* إلى عنصر من ح بطريقة تحدد القاعدة في ح * باستخدام المنتج القياسي في ح.
2. لمساحة جميع الوظائف القابلة للتكامل ل^ص على مجموعة معينة س ، أين 1 p ص < < ، الفضاء المترافق ل^ف ، أين 1 / ص + 1 / ف = 1 ، يتم تعريفها على أنها مجموعة جميع الوظائف الخطية المستمرة على ل^ص.
- ما هو الفضاء المترافق?
- التعريف والمفاهيم الأساسية
- خصائص الفضاء المترافق
- الخطية والهيكل
- وجود الأساس والبعد
- الخصائص الأساسية للبعد من الفضاء المترافق:
- الازدواجية ورسم الخرائط
- سؤال وجواب
- ما هو الفضاء المترافق?
- ما هي الخصائص التي يمتلكها الفضاء المترافق?
- هل يمكنك إعطاء أمثلة على المساحات المترافقة?
- كيف تختلف المساحة المترافقة عن المساحة الأصلية?
ما هو الفضاء المترافق?
الفضاء المترافق هو مفهوم الجبر الخطي الذي ينشأ عند العمل مع الوظائف الخطية على مساحة متجهة. إنها مساحة متجهة جديدة تتكون من وظائف خطية ، أي خرائط خطية ترسم خريطة لكل متجه من الفضاء القياسي الأصلي.
يتضمن تعريف الفضاء المترافق الخصائص التالية:
- في الفضاء المترافق ، يمكنك إجراء عمليات إضافة وظائف خطية وضربها في العددية.
- تشكل المساحة المترافقة مساحة متجهة ، أي أنها في حد ذاتها مساحة متجهة.
- بالنسبة لأي متجه من الفضاء الأصلي ، هناك وظيفة خطية واحدة من الفضاء المترافق الذي يرسم عددا قياسيا لهذا المتجه.
- يمكن أن يكون للفضاء المترافق بعد لانهائي.
تنشأ المساحات المترافقة في العديد من مجالات الرياضيات والفيزياء. يلعبون دورا مهما في التحليل الوظيفي ونظرية المجموعة والمعادلات التفاضلية وفروع الرياضيات الأخرى. مثال على الفضاء المترافق هو مساحة الوظائف ، المنتج القياسي الذي يتم إعطاؤه من خلال تكامل منتجهم.
في الختام ، الفضاء المترافق هو فضاء متجه يتم فيه النظر في الوظائف الخطية على مساحة المتجه الأصلية. يحتوي على عدد من الخصائص التي تسمح لك بإجراء عمليات حسابية باستخدام وظائف خطية وتطبيقها على العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية.
التعريف والمفاهيم الأساسية
الفضاء المترافق هو مفهوم ينشأ في الرياضيات ، أي الجبر الخطي. إنه تعميم لمفهوم المنتج القياسي على مساحة متجه عشوائية. يسمح لنا الفضاء المترافق بالنظر إلى المتجهات ليس فقط كعناصر من الفضاء المتجه نفسه ، ولكن أيضا كوظائف في هذا الفضاء.
في الفضاء المترافق ، تسمى المتجهات الوظائف أو الوظائف الخطية. تعمل الوظائف على المتجهات وتترجمها إلى عدديات. رسميا ، وظيفية على مساحة المتجه الخامس هو رسم الخرائط الخطية من الخامس إلى مجال العددية و.
المفاهيم الأساسية المتعلقة بالفضاء المترافق:
- الفضاء المترافق الخامس * هي مجموعة جميع الوظائف على المتجه الفضاء الخامس.
- المنتج القياسي هو دالة ثنائية الخطوط محددة على زوج من المتجهات من الفضاء الخامس والفضاء الخامس * ومطابقة العددية لهم.
- الفضاء المزدوج هو مفهوم ينشأ في سياق الفضاء المترافق. الفضاء المزدوج الخامس * هي مجموعة من جميع الوظائف على مساحة المتجه الخامس التي هي وظائف خطية.
الفضاء المترافق وخصائصه لها مجموعة واسعة من التطبيقات في الرياضيات والعلوم الأخرى. أحد الأمثلة على التطبيق هو نظرية المشغلين والتحليل الوظيفي ، حيث الفضاء المترافق هو أحد الأدوات الرئيسية لدراسة العوامل الخطية وخصائصها.
خصائص الفضاء المترافق
1. تفرد عملية الاقتران:
لكل عنصر من الفضاء المترافق ، هناك عنصر واحد هو اقترانه. مثال على هذه العملية هو الاقتران في الأعداد المركبة ، حيث يتم تشكيل الرقم المترافق عن طريق تغيير علامة الجزء التخيلي.
2. الخطية:
عملية الاقتران هي دالة خطية ، أي أن الخصائص التالية صالحة:
- إن اقتران مجموع عنصرين يساوي مجموع العناصر المترافقة.
- المنتج المترافق لعنصر برقم يساوي حاصل ضرب العنصر المترافق بهذا الرقم.
3. عدم التماثل:
إذا كان اقتران عنصرين صفرا ، فإن العناصر نفسها تكون أيضا صفرا. أي إذا كان أ و ب عناصر من الفضاء المترافق ، إذن أ * = ب * إذا وفقط إذا أ = ب = 0.
4. الاقتران فيما يتعلق بالمنتج:
بالنسبة لأي عنصرين أ و ب من الفضاء المترافق ، يكون ما يلي صحيحا: (أ * ب)* = ب * أ*.
5. عنصر تطبيع:
إذا كان العنصر س من الفضاء المترافق يفي بالشرط س * س * = 0 ، فهو عنصر طبيعي. العنصر الطبيعي هو صفر.
6. المنتج العددية:
في الفضاء المترافق ، يمكنك إدخال منتج عددي يحتوي على الخصائص التالية:
- التماثل: المنتج العددي لـ أ و ب يساوي المنتج العددي لـ ب و أ.
- الخطية: المنتج العددي خطي في كلتا الوسيطتين.
- اليقين الإيجابي: المنتج القياسي لـ أ و أ دائما غير سلبي.
تسمح لنا خصائص المنتج القياسي بالنظر في الفضاء المترافق كمساحة هيلبرت.
الخطية والهيكل
الفضاء المترافق له خاصية هامة للخطية. هذا يعني أن إضافة عنصرين وضرب عنصر بواسطة عددي هما أيضا عنصران في الفضاء المترافق.
وهكذا ، إذا و و ز هي عناصر من الفضاء المترافق ، إذن:
- إضافة واو و زاي: (و + ز) (خ) = و (خ) + ز (خ) لأي س من الفضاء الأصلي.
- ضرب و من قبل العددية: (أف) (س) = ((و (س)) لأي س من الفضاء الأصلي وأي العددية α.
هيكل الفضاء المترافق له أيضا خصائصه الخاصة. على سبيل المثال ، في حالة فضاء متجه محدود الأبعاد الخامس ، الفضاء المترافق الخامس* له بعد يساوي البعد الخامس.علاوة على ذلك ، يؤدي اختيار الأساس في فضاء متجه إلى اختيار طبيعي للأساس المترافق في مساحته المترافقة.
يمكن أيضا تمثيل بنية الفضاء المترافق في شكل جدول ، حيث يتوافق كل عنصر س من الفضاء الأصلي مع عنصر و (س) من الفضاء المترافق الخامس*:
| عناصر الفضاء الخامس | عناصر الفضاء الخامس* |
|---|---|
| س. | واو (س س س) |
| إكس | واو (ثاني أكسيد الكربون) |
| إكس تي | واو (خ) |
| … | … |
يوضح هذا الجدول أن كل عنصر س من الفضاء الأصلي يتوافق مع بعض العناصر و (س) من الفضاء المترافق ، وهي دالة خطية لـ س.
وجود الأساس والبعد
في الفضاء المترافق ، يمكن تمثيل كل عنصر كمزيج خطي من متجهات الأساس. الأساس هو مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا التي تولد جميع عناصر الفضاء المترافق.
تضمن خاصية الأساس في الفضاء المترافق أنه يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر الفضاء المترافق بطريقة فريدة من حيث متجهات الأساس. إذا كان هناك أساس ن ناقلات في الفضاء المترافق ، ثم البعد من هذا الفضاء سيكون مساويا ل ن ، وهذا هو ، خافت (الخامس*) = ن.
لنفكر في مثال على بعد الفضاء المترافق. دعونا ضد أن يكون الفضاء الخطي على حقل و وجود ن البعد. ثم الفضاء المترافق الخامس * يتكون من جميع الوظائف الخطية على الخامس.
إذا الخامس له أساس {الإصدار 1 ، الإصدار 2،..., فن}, ثم كل عنصر من عناصر الخامس * يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات {و1, و2,...، الجبهة الوطنية} ، حيث كل ف_ي هو وظيفي خطي على الخامس ، يعرف بأنه و (في جي) = أوشتيج ، حيث أوشتيج هو رمز كرونيكر.
وبالتالي ، فإن بعد الفضاء المترافق الخامس * سيكون مساويا أيضا ن. تسمح لنا هذه الخاصية بإنشاء مراسلات فردية بين عناصر الفضاء الخطي الخامس والوظائف الموجودة عليه."""
الخصائص الأساسية للبعد من الفضاء المترافق:
- إذا الخامس هو فضاء خطي محدود الأبعاد ، إذن الخامس * سيكون أيضا محدود الأبعاد وسيكون بعده مساويا لبعد الخامس.
- إذا الخامس * هو مساحة خطية محدودة الأبعاد ، ثم الخامس سيكون أيضا محدود الأبعاد وسيكون بعده مساويا لبعد الخامس*.
- إذا الخامس هو مساحة خطية لانهائية الأبعاد ، ثم الخامس * سيكون أيضا لانهائي الأبعاد.
- في حالة وجود مساحة محدودة الأبعاد الخامس ، الأبعاد الخامس و الخامس * متساوية ، ويشار إليها بالرمز ن.
- في حالة الفضاء اللامتناهي الأبعاد ، فإن البعد الخامس * يشار إليه بالرمز ج (متصلة) وسيكون أكبر من أو يساوي البعد الخامس إذا الخامس هو أيضا لانهائي الأبعاد.
الازدواجية ورسم الخرائط
الازدواجية هي مفهوم أساسي في نظرية المساحات المترافقة. يربط الفضاء بمساحته المترافقة ويسمح لك بإقامة علاقات بين عناصر هذه المساحات.
الأداة الرئيسية لوصف الازدواجية هي رسم الخرائط. التعيين هو قاعدة تخصص لكل عنصر من عناصر مجموعة واحدة (مساحة مزدوجة) عنصرا من مجموعة أخرى (مساحة رئيسية).
رسميا ، يتم تحديد التعيين من الفضاء المزدوج س* إلى الفضاء الرئيسي س من خلال وظيفة خطية. وظيفة خطية هي وظيفة لها خاصية خطية: لأي عنصرين ش و الخامس من الفضاء س وأي رقم أ ، النسبة و (ش + الخامس) = و (ش) + و (الخامس) و(الاتحاد الافريقي) = أف(ش) يتم الوفاء بها.
ال وظيفي خطي و هو رسم الخرائط الذي يعين لكل عنصر ش من الفضاء المزدوج س * الرقم و (ش) من الفضاء الرئيسي س. رسم الخرائط و يسمى أيضا مترافق إلى الفضاء س ويشار إليه بـ و: س* -> س.
رسم الخرائط و يسمح لك بإنشاء مراسلات بين عناصر مسافتين وهي أداة مهمة لحل المشكلات المختلفة. على سبيل المثال ، باستخدام التعيينات ، يمكنك تحديد خصائص عناصر المساحات المترافقة واستكشاف تفاعلها.
مثال على التعيين هو المنتج القياسي للمتجهات في الفضاء الإقليدي. ينشئ المنتج العددي مراسلات بين المتجهات والأرقام ويسمح لك بتحديد موضعها المتبادل. المنتج العددي هو أيضا وظيفي خطي ويحدد التعيين بين المساحات المتجهة والمساحات المترافقة.
سؤال وجواب
ما هو الفضاء المترافق?
الفضاء المترافق هو مساحة من الوظائف الخطية المحددة في مساحة معينة. في الأساس ، تكون المساحة المترافقة مزدوجة مع المساحة الأصلية.
ما هي الخصائص التي يمتلكها الفضاء المترافق?
يحتوي الفضاء المترافق على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام. أولا ، إنها مساحة متجهة. ثانيا ، يمكن أن يكون بعد الفضاء المترافق مساويا أو أقل من بعد الفضاء الأصلي. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الفضاء المترافق له خاصية الانعكاس ، أي أنه من الممكن بناء مساحة مزدوجة مزدوجة.
هل يمكنك إعطاء أمثلة على المساحات المترافقة?
المساحات ذات الأبعاد المحدودة ، مثل مساحة المتجه ص^ن ، لها مساحة مترافقة تتكون من جميع الوظائف الخطية على ص^ن. يشار إلى هذا الفضاء عادة باسم ص^ن*. أيضا ، تشكل مساحة الوظائف المستمرة على المقطع [أ ، ب] مساحة مترافقة مع مساحة جميع الوظائف القابلة للتكامل على [أ ، ب].
كيف تختلف المساحة المترافقة عن المساحة الأصلية?
يختلف الفضاء المترافق عن الفضاء الأصلي في أن عناصره هي وظائف خطية ، في حين أن عناصر الفضاء الأصلي هي متجهات. يمكن أن تأخذ الوظائف الخطية في الفضاء المترافق قيما من الحقل الذي تم تحديد المساحة الأصلية عليه.