في الرياضيات ، الكسر هو نسبة رقم إلى آخر. غالبا ما تستخدم الكسور لتمثيل الأرقام التي ليست أعدادا صحيحة بدقة. لكن في بعض الأحيان يكون من الضروري تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال من أجل تبسيط تسجيله أو حسابه.
الكسر في شكل غير قابل للاختزال هو كسر لا يحتوي فيه البسط والمقام على قواسم مشتركة باستثناء 1. يتطلب تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال إيجاد القاسم المشترك الأكبر (غد) من البسط والمقام.
على سبيل المثال ، يمكن تحويل الكسر 12/16 إلى شكل غير قابل للاختزال من خلال إيجاد عقد الرقمين 12 و 16. العقدة هي 4 ، وبالتالي فإن الكسر سيكون 3/4.
للعثور على العقد ، يمكنك استخدام خوارزمية إقليدس. يعتمد على مبدأ أن عقدة رقمين لا تتغير إذا تم استبدال الرقم الثاني ببقية قسمة الرقم الأول على الرقم الثاني. بتكرار هذه العملية حتى يصبح الجزء المتبقي من القسمة صفرا ، نجد العقدة.
وبالتالي ، فإن تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال يتلخص في إيجاد عقد البسط والمقام ، ثم قسمة كلا الرقمين على هذه العقدة. ستكون الأرقام الناتجة هي البسط والمقام للكسر غير القابل للاختزال.
- ما هو الكسر غير القابل للاختزال?
- التعريف والأمثلة
- كيف يمكنني العثور على أكبر القاسم المشترك?
- خوارزمية إقليدس
- كيف يمكنني تحويل الكسور?
- خطوات لجعلها غير قابلة للاختزال
- سؤال وجواب
- ما هو الكسر غير القابل للاختزال?
- كيف يمكنني تحويل جزء إلى شكل غير قابل للاختزال?
- كيف أجد القاسم المشترك الأكبر لأرقام البسط والمقام?
- ماذا علي أن أفعل إذا لم يعد للبسط والمقام قواسم مشتركة?
- هل من الممكن تحويل أي جزء إلى شكل غير قابل للاختزال?
- ما هي مزايا استخدام الكسور غير القابلة للاختزال?
ما هو الكسر غير القابل للاختزال?
الكسر غير القابل للاختزال هو كسر لا يمكن تبسيطه أو تقصيره أكثر. إنه يمثل نسبة عددين صحيحين ، حيث لا يحتوي البسط والمقام على قواسم مشتركة. بمعنى آخر ، لا يمكن تمثيل الكسر غير القابل للاختزال ككسر يتم فيه تقسيم البسط والمقام على نفس الرقم.
غالبا ما يطلق على الكسر غير القابل للاختزال أيضا كسر بسيط. هذا يرجع إلى حقيقة أن الكسر غير القابل للاختزال لا يمكن أن يتحلل إلى حاصل ضرب كسور أبسط ، أي لا يمكن تمثيله كمجموع كسور.
لتحديد ما إذا كان الكسر غير قابل للاختزال ، من الضروري إيجاد القاسم المشترك الأكبر (غد) من البسط والمقام. إذا كانت العقدة تساوي 1 ، فإن الكسر غير قابل للاختزال. خلاف ذلك ، إذا كانت العقدة أكبر من 1 ، فيمكن تبسيط الكسر وتقديمه في شكل أبسط.
للكسور غير القابلة للاختزال تطبيقات مهمة في حل المشكلات الرياضية ، خاصة في الجبر والهندسة والفيزياء. إنها تسمح لك بتمثيل نسبة الكميتين بدقة واستخدامها في حسابات أخرى دون فقدان الدقة.
التعريف والأمثلة
يسمح لك تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال بتمثيل كسر بحيث يكون البسط والمقام أعدادا أولية متبادلة ، أي أنه ليس لهما قواسم مشتركة باستثناء واحد. شكل الكسر غير القابل للاختزال أبسط وأكثر ملاءمة للعمل مع العمليات الحسابية.
لتحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال ، من الضروري تحديد القواسم المشتركة للبسط والمقام وتقليل الكسر إلى أبسط شكل. تسمى العديد من الأعداد الأولية القابلة للقسمة على رقم قواسمها الأولية.
على سبيل المثال ، يمكن تحويل جزء من 4/8 إلى شكل غير قابل للاختزال على النحو التالي:
- أوجد كل المقسومات الأولية للبسط والمقام: 4 = 2*2 و 8 = 2*2*2 .
- دعونا نسلط الضوء على القواسم المشتركة-الرقم 2 ، الذي يتم تضمينه في كل من البسط والمقام.
- لنقلل الكسر بقسمة البسط والمقام على قاسم مشترك: 4/8 = 2/4.
- يحتوي الكسر 2/4 أيضا على قواسم مشتركة-الرقم 2 ، والذي يمكن أيضا اختصاره.
- أخيرا ، يتم تحويل الكسر 4/8 إلى الشكل غير القابل للاختزال 1/2.
وبالتالي ، فإن تحويل الكسور إلى شكل غير قابل للاختزال يجعل من السهل كتابتها وتسهيل العمليات الحسابية. يمكن أيضا استخدام الشكل غير القابل للاختزال لمقارنة الكسور وتحديد معادلتها.
كيف يمكنني العثور على أكبر القاسم المشترك?
أكبر القاسم المشترك (غد) من رقمين هو أكبر عدد يتم تقسيم كلا الرقمين دون بقية.
هناك عدة طرق للعثور على عقدة رقمين:
- طريقة التقسيم: بالنسبة لرقمين أ و ب ، نقسم أ على ب ، ثم ب على الباقي الذي تم الحصول عليه بقسمة أ على ب ، ثم هذا الباقي على الباقي ، وهكذا حتى يصبح الباقي صفرا. سيكون آخر رقم قسمة هو عقدة الرقمين الأصليين.
- طريقة الخوارزمية الإقليدية: بالنسبة لرقمين أ و ب ، نقوم بالخطوات التالية:
كلتا الطريقتين تعطي نفس النتيجة-عقدة من رقمين. يعتمد اختيار الطريقة على تفضيلات المبرمج ومتطلبات المهمة.
خوارزمية إقليدس
خوارزمية إقليدس هي خوارزمية رياضية تسمح لك بإيجاد القاسم المشترك الأكبر (غد) من رقمين. حصلت على اسمها تكريما لعالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس ، الذي وصف هذه الخوارزمية في أطروحته "البدايات". تعد خوارزمية إقليدس إحدى الأدوات الرئيسية للعمل مع الكسور وتسمح لك بتحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال.
من أجل تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، يجب تنفيذ الخطوات التالية:
- العثور على أكبر القاسم المشترك (غد) من البسط والمقام من الكسر.
- قسم البسط والمقام إلى عقد ، وستكون القيم الناتجة هي البسط والمقام للكسر غير القابل للاختزال.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الكسر 12/18. لتحويله إلى شكل غير قابل للاختزال ، تحتاج إلى إيجاد عقدة البسط 12 والمقام 18. لهذا يمكننا استخدام خوارزمية إقليدس:
| خطوة | الشعبة | الباقي |
|---|---|---|
| هو 1 | 18/12 = 1 | 6 |
| 2 | 12 / 6 = 2 | 0 |
وبالتالي ، فإن عقدة الرقمين 12 و 18 هي 6. ثم نقسم البسط والمقام على العقدة:
12 / 6 = 2
18 / 6 = 3
والنتيجة هي جزء غير قابل للاختزال من 2/3.
خوارزمية إقليدس هي الأداة الرئيسية للعمل مع الكسور وتسمح لنا بتحويل الكسور إلى شكل غير قابل للاختزال. يتم تنفيذه بسهولة ويستخدم في مجموعة متنوعة من المشاكل الرياضية.
كيف يمكنني تحويل الكسور?
يمكن تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال في الخطوات التالية:
- العثور على أكبر القاسم المشترك (غد) من البسط والمقام من الكسر. العقدة هي أكبر عدد يتم من خلاله تقسيم كل من البسط والمقام بدون الباقي.
- اقسم بسط الكسر ومقام الكسر على العقدة. ستكون النتيجة كسرا جديدا ، والذي سيكون مكافئا للجزء الأصلي ، ولكن سيتم تقديمه في شكل غير قابل للاختزال.
هنا مثال على عملية تحويل الكسر:
مثال:
الكسر: 6/12
- أوجد عقدة البسط (6) والمقام (12). في هذا المثال ، العقدة هي 6 ، حيث يتم تقسيم هذه الأرقام على الرقم 6 بدون الباقي.
- اقسم البسط (6) والمقام (12) على العقدة (6). نحصل على كسر جديد: 6/6.
لذلك ، يتم تحويل الكسر الأصلي 6/12 إلى الشكل غير القابل للاختزال 6/6 ، والذي يساوي 1.
وبالتالي ، فإن تنفيذ خطوتين بسيطتين يسمح لك بتحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال ويبسط تمثيله.
خطوات لجعلها غير قابلة للاختزال
- لتقليل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال ، من الضروري إيجاد أكبر قاسم مشترك للبسط والمقام. سيسمح لنا ذلك بتقليل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال.
- بعد إيجاد القاسم المشترك الأكبر ، اقسم البسط والمقام على هذه العقدة. وبالتالي ، سوف تحصل على كسر في شكل غير قابل للاختزال.
- تحقق من الكسر الناتج في شكل غير قابل للاختزال ، وتأكد من أنه لم يعد من الممكن تقصيره. إذا لم يكن للبسط والمقام قواسم مشتركة ، فقد نجحت في تحويل الكسر إلى شكل غير قابل للاختزال.
مثال:
| الكسر الأولي | أكبر القاسم المشترك (غد) | الكسر في شكل غير قابل للاختزال |
|---|---|---|
| 12/36 | 12 | 1/3 |
| 8/24 | 8 | 1/3 |
| 15/20 | 5 | 3/4 |
في الأمثلة المقدمة ، نجد عقد البسط والمقام (12 و 36) ، ثم نقسم البسط والمقام إلى عقد. هذا يسمح لنا بالحصول على كسر في شكل غير قابل للاختزال (1/3).
سؤال وجواب
ما هو الكسر غير القابل للاختزال?
الكسر غير القابل للاختزال هو كسر لا يحتوي فيه البسط والمقام على قواسم مشتركة ، أي أنه لا يمكن تقليلهما إلا بمقدار 1.
كيف يمكنني تحويل جزء إلى شكل غير قابل للاختزال?
لتحويل كسر إلى شكل غير قابل للاختزال،تحتاج إلى تقليل البسط والمقام من خلال القاسم المشترك الأكبر.
كيف أجد القاسم المشترك الأكبر لأرقام البسط والمقام?
يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لأرقام البسط والمقام باستخدام خوارزمية إقليدس. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تقسيم رقم واحد بالتتابع على آخر ، ثم قسمة الباقي الناتج على الرقم السابق ، وهكذا حتى تحصل على صفر. سيكون آخر رقم غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
ماذا علي أن أفعل إذا لم يعد للبسط والمقام قواسم مشتركة?
إذا لم يعد للبسط والمقام قواسم مشتركة ، فهذا يعني أن الكسر موجود بالفعل في شكل غير قابل للاختزال ولا يحتاج إلى تحويل.
هل من الممكن تحويل أي جزء إلى شكل غير قابل للاختزال?
نعم ، يمكن تحويل أي كسر إلى شكل غير قابل للاختزال عن طريق اختزال البسط والمقام في القاسم المشترك الأكبر.
ما هي مزايا استخدام الكسور غير القابلة للاختزال?
إن استخدام الكسور غير القابلة للاختزال ، بالإضافة إلى توفير المساحة عند الكتابة ، يبسط أيضا الحسابات الرياضية ، حيث لا يلزم إجراء مزيد من التخفيض للكسور.