متوازي الأضلاع هو رباعي الأضلاع تكون أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية مع بعضها البعض. كما تعلم ، فإن أقطار متوازي الأضلاع تقسمها إلى مثلثين ، لكل منهما زواياه الخاصة. من ناحية ، تساعد هذه الزوايا في تحديد نوع متوازي الأضلاع ، ومن ناحية أخرى ، فإن وجود الأقطار يجعل من الممكن حساب الزاوية بينهما. في هذه المقالة ، سنخبرك بكيفية إيجاد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع حتى تتمكن من فهم هندسة الشكل وتطبيق هذه المعرفة لحل المشكلات والمهام في دروس الرياضيات.
يمكن حساب الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع باستخدام الدوال المثلثية. للراحة ، دعنا نتخيل متوازي أضلاع على رسم بياني بإحداثيات نقاط الرأس. دع قمة الرأس أ لها إحداثيات (س1, ص1), قمة الرأس ب — (س2, ص2), قمة الرأس ج — (س3, ص3) و قمة الرأس د — (س4, ص4). بادئ ذي بدء ، احسب طول الأقطار المتوازية الأضلاع باستخدام المسافة بين نقطتين:
د1 = الجذر التربيعي ((س2 — س4)^2 + (ص2-ص4)^2)
د2 = الجذر التربيعي ((س1 — س3)^2 + (ص1-ص3)^2)
ثم نجد جيب تمام الزاوية بين الأقطار بتطبيق نظرية جيب التمام:
كوس(d) = [(د1) ^2 + (د2)^2 - (س2-س4)*(س1-س3) - (ص2-ص4) * (ص1 — ص3)] / (2 * د1 * د2)
أخيرا ، أوجد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع باستخدام دالة جيب التمام العكسية:
arc = أرككوس(كوس (co))
الآن لديك صيغة لحساب الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع. سيسمح لك بحل المشكلات المتعلقة بهذا الشكل الهندسي وأخذ القياسات اللازمة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لفهم كيفية تطبيق هذه الصيغة بشكل أفضل في الممارسة العملية.
- كيفية إيجاد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع
- نصائح مفيدة:
- أمثلة:
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على الزاوية بين الأقطار من متوازي الاضلاع?
- كيف يمكنني العثور على طول الجانب من متوازي الاضلاع إذا كانت الأقطار والزاوية بينهما معروفة?
- كيف يمكنني العثور على طول قطري من متوازي الاضلاع إذا كانت الجانبين والزاوية بينهما معروفة?
كيفية إيجاد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع
يمكن العثور على الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع باستخدام الخصائص الهندسية لهذا الشكل. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة أطوال جوانب متوازي الأضلاع ومعرفة كيفية تحديد الزاوية بين متجهين.
- د =x (س2-س1)2 + (ص2 — ص1) 2 ، أين (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) هي إحداثيات النقاط التي تمر من خلالها أقطار متوازي الأضلاع.
- احسب المتجهات التي شكلتها أقطار متوازي الأضلاع. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على إحداثيات نقاط البداية والنهاية لكل قطري.
- ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات. للقيام بذلك ، مضاعفة الإحداثيات المقابلة من ناقلات وإضافة ما يصل النتائج.
- احسب أطوال المتجهات. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام الصيغة المحددة أعلاه.
- أوجد جيب تمام الزاوية بين المتجهات. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تقسيم المنتج العددي على حاصل ضرب أطوال المتجهات.
- احصل على قيمة الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع بأخذ قوس جيب التمام الموجود.
في ما يلي مثال على حساب الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع:
| الإحداثي | قطري أب | قرص مضغوط قطري |
|---|---|---|
| (س1 ، ص1) | (1, 2) | (4, 3) |
| (س2 ، ص2) | (5, 7) | (7, 1) |
حساب أطوال الأقطار متوازي الاضلاع:
- الداب = √((5 — 1)2 + (7 — 2)2) = √(16 + 25) = √41
- دسد = √((7 — 4)2 + (1 — 3)2) = √(9 + 4) = √13
دعونا نحسب متجهات الأقطار متوازية الأضلاع:
- ناقلات أب: (5 — 1, 7 — 2) = (4, 5)
- ناقل القرص المضغوط: (7 — 4, 1 — 3) = (3, -2)
احسب الناتج العددي للمتجهات:
أب * سي دي = (4 * 3) + (5 * -2) = 12 — 10 = 2
حساب أطوال المتجهات:
- / أب| = √(42 + 52) = √(16 + 25) = √41
- / قرص مضغوط| = √(32 + (-2)2) = √(9 + 4) = √13
احسب جيب تمام الزاوية بين المتجهات:
كوس (AB) = (أب * سد) /(/أب / * / سد|) = 2 / (√41 * √13)
ابحث عن الزاوية θ:
arc = أرككوس(كوس(co)) = أرككوس(2 / (√41 * √13))
الإجابة: الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع هي radi راديان.
نصائح مفيدة:
1. تعرف على خصائص متوازي الأضلاع.
من أجل العثور على الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع ، من الضروري معرفة الخصائص الأساسية لهذا الشكل. متوازي الأضلاع هو رباعي الأضلاع تكون أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية ، وكذلك الزوايا المتقابلة متساوية.
2. تحديد نوع متوازي الاضلاع.
هناك عدة أنواع من متوازي الأضلاع ، لكل منها خصائص وطرق مختلفة لإيجاد الزاوية بين الأقطار. على سبيل المثال ، بالنسبة للمستطيل ، تكون الزاوية بين الأقطار 90 درجة ، وبالنسبة للمعين تكون 60 درجة.
3. استخدم نظرية جيب التمام.
إذا كانت لديك بيانات عن أطوال الأضلاع والزاوية بينهما ، فيمكنك تطبيق نظرية جيب التمام لإيجاد الزاوية بين الأقطار. الصيغة: كوس (زاوية) = (أ^2 + ب^2-ج^2) / 2ب ، حيث أ و ب هي أطوال الأضلاع ، و ج هو قطري.
4. استخدم خصائص شبه منحرف.
إذا كان متوازي الأضلاع الخاص بك هو شبه منحرف ، ثم يمكنك استخدام خاصية مجموع زوايا هذا الرقم. مجموع زوايا شبه منحرف هو 360 درجة. باستخدام هذه المعلومات ومعرفة قيم الزوايا الأخرى ، يمكنك إيجاد الزاوية بين الأقطار.
5. تحقق من الجواب.
بعد العثور على قيمة الزاوية بين الأقطار ، يوصى بالتحقق من الإجابة المستلمة عن طريق استبدالها بالخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع. بهذه الطريقة يمكنك التأكد من صحة النتيجة.
أمثلة:
مثال 1:
يتم إعطاء أبسد متوازي الأضلاع ، مع أطوال الجانب أب = 6 سم و بك = 9 سم ، وأطوال قطري أس = 10 سم و بد = 8 سم. لنجد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع.
مقرر:
من المعروف أنه في متوازي الأضلاع ، تكون الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية. لذلك ، فإن جانب الإعلان هو أيضا 6 سم.
النظر في مثلثات أسد و بسد. لديهم جانب واحد أس = بد ، الجانب أد = بك متساوية ، وزاوية أدك وزاوية بدك هي الزوايا في متوازي الاضلاع ، وهذا هو ، فهي متساوية. بواسطة نظرية جيب التمام ، نجد الزاوية بين الجانبين ميلادي و دينار بحريني:
كوس (أدك) = (أس^2 + أد^2-سد^2) / (2 * أس * أد) = (10^2 + 6^2 — 8^2) / (2 * 10 * 6) = (100 + 36 — 64) / (120) = 72/120 = 0.6
أركوكوس (0.6) = 53.13 درجة.
وبالتالي ، فإن الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع هي 53.13 درجة.
المثال 2:
دعونا نعطي أبسد متوازي الأضلاع مع أطوال الجانب أب = 5 سم و قبل الميلاد = 8 سم ، وأطوال قطري م = 7 سم و بد = 9 سم. لنجد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع.
مقرر:
على غرار المثال السابق ، يكون جانب القرص المضغوط أيضا 5 سم.
النظر في مثلثات أسد و بسد. لديهم جانب واحد أد = بد ، الجانب سد = بك متساوية ، وزاوية أدك وزاوية بدك هي الزوايا في متوازي الاضلاع ، وهذا هو ، فهي متساوية. بواسطة نظرية جيب التمام ، نجد الزاوية بين الجانبين ميلادي و دينار بحريني:
كوس (أدك) = (أس^2 + أد^2-سد^2) / (2 * أس * أد) = (7^2 + 5^2 — 5^2) / (2 * 7 * 5) = (49 + 25 — 25) / (14 * 5) = 49/14 = 3.5
أركوكوس (0.3) = 66.42 درجة.
وبالتالي ، فإن الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع هي 66.42 درجة.
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على الزاوية بين الأقطار من متوازي الاضلاع?
من أجل إيجاد الزاوية بين أقطار متوازي الأضلاع ، تحتاج إلى معرفة طول هذه الأقطار ومعرفة أن أقطار متوازي الأضلاع مقسمة إلى نصفين. بعد ذلك ، يمكنك استخدام صيغة جيب التمام لإيجاد الزاوية. يمكن التعبير عن الزاوية بين الأقطار على النحو التالي: كوس (زاوية) = (قطر1^2 + قطر2^2-جانب^2) / (2 * قطر1 * قطر2).
كيف يمكنني العثور على طول الجانب من متوازي الاضلاع إذا كانت الأقطار والزاوية بينهما معروفة?
إذا كانت أقطار متوازي الأضلاع والزاوية بينهما معروفة ، فيمكن استخدام نظرية جيب التمام. يمكن العثور على طول الضلع بالصيغة: ضلع^2 = قطري1^2 + قطري2^2 — 2 * قطري1 * قطري2 * كوس(زاوية).
كيف يمكنني العثور على طول قطري من متوازي الاضلاع إذا كانت الجانبين والزاوية بينهما معروفة?
يمكن العثور على طول قطري متوازي الأضلاع باستخدام نظرية جيب التمام. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة طول الجانبين والزاوية بينهما. صيغة إيجاد طول القطر هي كما يلي: قطري^2 = ضلع 1^2 + ضلع 2^2 — 2 * ضلع 1 * ضلع 2 * كوس(زاوية).