كيفية العثور على إحداثيات الدائرة: طرق وأمثلة للحلول

الدائرة هي شكل هندسي يتكون من جميع النقاط على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. عند حل المشكلات المتعلقة بالدوائر ، من الضروري معرفة إحداثياتها. يمكن العثور على إحداثيات الدائرة باستخدام طرق مختلفة ، والتي تشمل استخدام الصيغ والتمثيل الرسومي.

واحدة من أبسط الطرق لتحديد إحداثيات الدائرة هي استخدام مركز الدائرة ونصف قطرها. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة إحداثيات مركز الدائرة (س ، ص) ونصف قطرها (ص). يمكن تمثيل الدائرة بالمعادلة (س-أ)^2 + (ص — ب)^2 = ص^2 ، حيث (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة.

إذا تم إعطاء نقطتين على دائرة ومركزها ، للعثور على إحداثياتها ، يمكنك استخدام الصيغ لإيجاد طول الدائرة والطول الزاوي للقوس. يتم حساب المحيط باستخدام الصيغة إل = 2ر ، أين ص هو نصف قطر الدائرة. يتم حساب الطول الزاوي للقوس باستخدام الصيغة س = ر r ، أين ص هو نصف قطر الدائرة ، و is هي الزاوية المركزية بالراديان.

على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء نقطتين من الدائرة (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) ، وكانت إحداثيات مركز الدائرة (أ ، ب) معروفة ، فيمكنك العثور على نصف القطر ص باستخدام الصيغة ص = y((س1 — أ)^2 + (ص1 — ب)^2) ، ثم حساب الطول الزاوي للقوس باستخدام الصيغة = = أرككوس((س1 — أ) / ص). استبدال قيم ص و θ ، يمكنك تحديد إحداثيات الدائرة.

1. طرق تحديد إحداثيات الدائرة: أمثلة وحلول
2. الطريقة الكلاسيكية لتحديد إحداثيات الدائرة
3. نهج هندسي لإيجاد إحداثيات الدائرة
4. طريقة جبرية لتحديد إحداثيات الدائرة
5. الطرق العددية لإيجاد إحداثيات الدائرة
6. أمثلة على حل المشكلات بإيجاد إحداثيات الدائرة
7. تقدير الدقة والخطأ في تحديد إحداثيات الدائرة
8. سؤال وجواب
9. كيف يمكنني العثور على إحداثيات دائرة باستخدام المعادلة?
10. كيف يمكنني العثور على إحداثيات مركز الدائرة بثلاث نقاط?
11. كيف يمكنني العثور على إحداثيات دائرة تمر عبر النقاط المحددة?
12. هل من الممكن إيجاد إحداثيات الدائرة بمعادلتها إذا كانت معادلة الدائرة معروفة فقط, لكن لا توجد نقاط محددة?

طرق تحديد إحداثيات الدائرة: أمثلة وحلول

الطريقة 1: استخدام مركز الدائرة ونصف القطر

واحدة من أسهل الطرق لتحديد إحداثيات الدائرة هي استخدام مركز الدائرة ونصف القطر. إذا كانت إحداثيات المركز (س ، ص) ونصف القطر (ص) معروفة ، يمكنك تحديد نقطة على الدائرة باستخدام الصيغة التالية:

س = س + ص * كوس (زاوية)

ذ = قبرصي + ص * الخطيئة (زاوية)

أين:

• - س هو تنسيق مركز الدائرة
• - ص هو تنسيق مركز الدائرة
• هو نصف قطر الدائرة
• هي الزاوية التي تحدد موضع النقطة على الدائرة

مثال على الحل:

لنفترض أن لدينا دائرة متمركزة عند الإحداثيات (2 ، 3) ونصف القطر 5. نريد إيجاد إحداثيات نقطة على الدائرة بزاوية 45 درجة:

نستبدل القيم في الصيغة:

س = 2 + 5 * كوس (45 ) 6 6.07

ص = 3 + 5 * الخطيئة (45) ≈ 5.07

وبالتالي ، فإن إحداثيات النقطة على الدائرة بزاوية 45 درجة ستكون تقريبا (6.07 ، 5.07).

الطريقة 2: استخدام معادلة الدائرة

هناك طريقة أخرى لتحديد إحداثيات الدائرة وهي استخدام معادلة الدائرة بشكل عام:

(س-س)^2 + (ص-قبرصي)^2 = ص^2

أين:

• - س هو تنسيق مركز الدائرة
• - ص هو تنسيق مركز الدائرة
• هو نصف قطر الدائرة

يتيح لك حل هذه المعادلة إيجاد إحداثيات النقاط على الدائرة. ومع ذلك ، يمكن استخدام طرق وطرق مختلفة لتحديد جميع النقاط على الدائرة ، مثل استخدام علم المثلثات أو الشكل البارامتري لمعادلة الدائرة.

مثال على الحل:

لنفترض أن لدينا دائرة متمركزة عند الإحداثيات (0 ، 0) ونصف القطر 3. نريد إيجاد إحداثيات النقاط على الدائرة.

نحن استبدال القيم في معادلة الدائرة وحلها ل س:

(س - 0)^2 + (ص - 0)^2 = 3^2

س^2 + ص^2 = 9

س = ± √ (9 - ص ^ 2)

استبدال القيم المختلفة لـ ص للعثور على القيم المقابلة لـ س:

ص = 0 ، س = 3 دولارات

ص = 1 ، س = ± √ 8 2 2.83

ص = -1 ، س = ± √ 8 2 2.83

وبالتالي ، فإن إحداثيات النقاط على الدائرة ستكون:

• (3, 0)
• (-3, 0)
• (2.83, 1)
• (-2.83, 1)
• (2.83, -1)
• (-2.83, -1)

الطريقة الكلاسيكية لتحديد إحداثيات الدائرة

لتحديد إحداثيات الدائرة باستخدام الطريقة الكلاسيكية ، من الضروري الحصول على معلومات حول نصف قطرها ومركزها.

تتكون عملية تحديد إحداثيات الدائرة باستخدام الطريقة الكلاسيكية من الخطوات التالية:

1. تحديد إحداثيات مركز الدائرة. في أغلب الأحيان ، يتم تعيين مركز الدائرة بنقطة ذات إحداثيات (س0 ، ص0).
2. تحديد نصف قطر الدائرة. يشار إليه بالرمز ر.
3. باستخدام القيم التي تم الحصول عليها لمركز الدائرة ونصف القطر ، من الممكن تحديد معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. معادلة الدائرة لها الشكل (س-س0)2 + (ص — ص0) 2 = ص2.

وبالتالي ، بمعرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها ، من الممكن تحديد جميع النقاط التي تنتمي إلى هذه الدائرة.

مثال على الحل:

الخلاصة: الطريقة الكلاسيكية لتحديد إحداثيات الدائرة تجعل من السهل تحديد معادلة الدائرة ، مع معرفة إحداثيات مركزها ونصف قطرها. هذه الطريقة هي الطريقة الرئيسية لحل المشكلات المتعلقة بالدوائر.

نهج هندسي لإيجاد إحداثيات الدائرة

يعتمد النهج الهندسي لإيجاد إحداثيات الدائرة على استخدام الخصائص الهندسية للدوائر ومعرفة صيغها الرياضية.

لتحديد إحداثيات الدائرة ، من الضروري معرفة نصف قطرها وموقعها في الفضاء. هناك عدة طرق لحل هذه المشكلة.

1. الطريقة باستخدام المركز ونصف القطر:

أسهل طريقة للعثور على إحداثيات الدائرة هي إذا كان مركزها ونصف قطرها معروفين. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام الصيغة التالية:

س = س 0 + ص * كوس (α)

ص = ص0 + ص * الخطيئة(α)

أين (س0 ، ص0) هي إحداثيات مركز الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة ، is هي الزاوية التي تختلف من 0 إلى 2 radi راديان.

2. طريقة النقاط الثلاث:

هناك طريقة أخرى لتحديد إحداثيات الدائرة وهي استخدام ثلاث نقاط ملقاة على الدائرة. في البداية ، من الضروري إيجاد معادلة العمودي الذي يمر عبر منتصف المقطع الذي يربط نقطتين معروفتين على الدائرة. بعد ذلك ، من خلال إيجاد نقطة تقاطع هذا العمودي بخط مستقيم يمر عبر منتصف المقطع الذي يربط بين نقطتين معروفتين أخريين ، يمكنك الحصول على إحداثيات مركز الدائرة.

3. الطريقة باستخدام معادلة الدائرة:

يمكنك أيضا العثور على إحداثيات الدائرة باستخدام معادلة الدائرة في شكل قانوني:

(س-أ)^2 + (ص-ب)^2 = ص^2

أين (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة ، ص هو نصف قطر الدائرة.

من خلال حل هذه المعادلة فيما يتعلق س و ص ، يمكنك الحصول على القيم الممكنة لإحداثيات مركز الدائرة.

اعتمادا على المعلومات المتاحة حول الدائرة وظروف المشكلة ، يمكنك اختيار الطريقة الأنسب للعثور على إحداثيات الدائرة. من المهم أن تتذكر أن الحل الدقيق للمشكلة غالبا ما يتطلب استخدام طرق هندسية وحسابات رياضية أكثر تعقيدا.

طريقة جبرية لتحديد إحداثيات الدائرة

تستخدم معادلة الدائرة لتحديد إحداثيات الدائرة باستخدام طريقة جبرية. معادلة الدائرة بشكل عام لها الشكل التالي:

(س-أ)^2 + (ص-ب)^2 = ص^2,

أين أ و ب هي إحداثيات مركز الدائرة ، و ص هو نصف قطر الدائرة.

لتحديد إحداثيات مركز ونصف قطر الدائرة عند نقاط محددة على المستوى ، يمكنك استخدام الخوارزمية التالية:

1. ابحث عن نقاط المنتصف للقطاعات التي تربط نقاط الدائرة. للقيام بذلك ، وحساب المتوسط الحسابي للإحداثيات س و ص.
2. استبدل قيم نقاط المنتصف في معادلة الدائرة وعبر عن نصف القطر. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل المعادلة الناتجة فيما يتعلق ص.
3. ابحث عن إحداثيات مركز الدائرة. للقيام بذلك ، استبدل القيم الموجودة في نصف القطر في معادلة الدائرة وحلها فيما يتعلق بـ أ و ب.

مثال على خوارزمية لحساب إحداثيات الدائرة:

1. النقاط المعطاة أ (2 ، 4) ، ب(6 ، 8) و ج(10 ، 2).
2. العثور على منتصف الجزء أب: عاشرا = (2 + 6) / 2 = 4, ذ = (4 + 8) / 2 = 6.
3. العثور على منتصف الجزء أس: س = (2 + 10) / 2 = 6, ذ = (4 + 2) / 2 = 3.
4. العثور على منتصف الجزء قبل الميلاد: س = (6 + 10) / 2 = 8, ذ = (8 + 2) / 2 = 5.
5. استبدل القيم الموجودة لنقاط المنتصف في معادلة الدائرة وحلها فيما يتعلق بـ ر:

(4-أ)^2 +(6-ب)^2 = ص^2

(6-أ)^2 +(3-ب)^2 = ص^2

(8-أ)^2 +(5-ب)^2 = ص^2

6. لنحل نظام المعادلات الناتج ، ونجد قيم أ ، ب ، ر:

أ = 6

ب = 5

2.236 ريال برازيلي

وبالتالي ، فإن إحداثيات مركز الدائرة تساوي (6 ، 5) ، ونصف قطرها يساوي تقريبا 2.236.

الطرق العددية لإيجاد إحداثيات الدائرة

يمكن العثور على إحداثيات الدائرة باستخدام طرق عددية مختلفة. وفيما يلي بعض منهم.

1. طريقة المربعات الصغرى:
• يتمثل جوهر الطريقة في العثور على الحد الأدنى من دالة الخطأ التربيعية ، والتي تبحث عن الدائرة المثلى التي تمر عبر النقاط المحددة.
• لاستخدام هذه الطريقة ، يجب أن يكون لديك مجموعة من النقاط التي يجب أن تمر الدائرة من خلالها.
• خوارزمية طريقة المربعات الصغرى:

تهيئة التقريب الأولي لإحداثيات مركز الدائرة.

حساب مجموع مربعات المسافات من كل نقطة إلى مركز الدائرة.

تصغير وظيفة الخطأ للعثور على الدائرة المثلى.

2. طريقة ريتر:
• طريقة ريتر هي طريقة تكرارية لإيجاد دائرة تصف مجموعة معينة من النقاط.
• جوهر الطريقة هو العثور على دائرة نصف قطرها ص ، يقع مركزها داخل مستطيل يغطي جميع النقاط.
• ثم يزداد نصف قطر الدائرة حتى تصبح جميع النقاط داخل الدائرة.
3. طريقة تقاطع المنصف المتعامد:
• تتكون هذه الطريقة من إنشاء منصفات متعامدة بين كل زوج من النقاط في المجموعة.
• بعد بناء جميع المنصفات المتعامدة ، تم العثور على تقاطعها المشترك ، وهو مركز الدائرة.
• بعد ذلك ، يتم تعريف نصف قطر الدائرة على أنه المسافة من المركز إلى أي نقطة في المجموعة.

يعتمد اختيار طريقة عددية محددة لإيجاد إحداثيات الدائرة على البيانات المتاحة ودقتها وكذلك متطلبات الكفاءة الحسابية.

أمثلة على حل المشكلات بإيجاد إحداثيات الدائرة

مثال 1:

معطى ثلاث نقاط أ (1 ، 2) ، ب(4 ، 6) و ج(7 ، 2). أوجد إحداثيات مركز الدائرة التي تمر عبر هذه النقاط.

1. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ و ب:

1. أوجد المعامل الزاوي للخط المستقيم م: م = (ص2-ص1) / (س2-س1) = (6 — 2) / (4 — 1) = 4 / 3
2. استبدال إحدى النقاط في معادلة الخط المستقيم: ص-ص1 = م (س-س1)
3. نحصل على معادلة الخط المستقيم: ص — 2 = (4 / 3)(س-1)

2. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين ب و ج:

1. لنجد المعامل الزاوي للخط المستقيم م: م = (ص2-ص1) / (س2-س1) = (2 — 6) / (7 — 4) = -4 / 3
2. استبدال إحدى النقاط في معادلة الخط المستقيم: ص-ص1 = م (س-س1)
3. نحصل على معادلة الخط المستقيم: ص — 2 = (-4 / 3)(س-7)

3. أوجد نقطة تقاطع هذين الخطين ، والتي ستكون مركز الدائرة:

دعونا حل نظام المعادلات والعثور على إحداثيات مركز الدائرة:

1. (4/3) (خ— 1) = (-4 / 3)( س — 7) ، وسوف نأتي إلى قاسم مشترك: 4 (س-1) = -4 (س-7)
2. 4س-4 = - 4س + 28, سنقوم بجمع المتغيرات س في جزء واحد من المعادلة: 4س + 4س = 28 + 4
3. 8س = 32 ، اقسم طرفي المعادلة على 8: س = 32/8 = 4
4. استبدل القيمة التي تم العثور عليها س في إحدى معادلات الخط: ص— 2 = (4 / 3)(4 — 1)
5. ذ— 2 = (4 / 3)(3)
6. ص-2 = 4
7. ص = 6

إذن ، إحداثيات مركز الدائرة هي (4 ، 6).

المثال 2:

يتم إعطاء نقطتين أ(1 ، 1) و ب(4 ، -2). لنجد معادلة الدائرة المتمركزة عند النقطة أ والمرور عبر النقطة ب.

1. أوجد المسافة بين النقطتين أ و ب: د = الجذر التربيعي ((س2-س1) 2 + (ص2-ص1) 2) = الجذر التربيعي((4 — 1)2 + (-2 — 1)2) = الجذر التربيعي (9 + 9) = الجذر التربيعي (18)
2. نصف قطر الدائرة يساوي نصف المسافة بين النقاط: ص = الجذر التربيعي (18) / 2 = الجذر التربيعي(2 * 9) / 2 = 3 / الجذر التربيعي (2)
3. معادلة الدائرة لها الشكل: (س-أ) 2 + (ص-ب) 2 = ص2حيث (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة
4. استبدال القيم المعروفة: (س — 1) 2 + (ص-1) 2 = (3 / الجذر التربيعي(2)) 2
5. فتح الأقواس: س2-2س + 1 + ص2-2ص + 1 = (9 / 2)
6. بسط المعادلة: س2 + ص2-2س-2ص + 2 = 9/2
7. نأتي المعادلة إلى الشكل الكنسي: س2-2س + ص2-2ص = 9 / 2 — 2 = 9 / 2 — 4 / 2 = 5 / 2

إذن ، معادلة الدائرة المتمركزة عند النقطة أ (1 ، 1) والمرور عبر النقطة ب(4 ، -2) لها الشكل: س2 — 2س + ص2 — 2ص = 5 / 2.

تقدير الدقة والخطأ في تحديد إحداثيات الدائرة

تتمثل إحدى المهام المهمة في الهندسة في تحديد إحداثيات الدائرة. في هذا القسم ، سننظر في كيفية تقييم الدقة والخطأ في حل هذه المشكلة.

بادئ ذي بدء ، دعونا نتذكر صيغة معادلة الدائرة:

(س-أ) 2 + (ص-ب) 2 = ص 2

هنا (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة ، و ص هو نصف قطر الدائرة.

وبالتالي, كيفية تحديد الدقة والخطأ في تحديد إحداثيات الدائرة?

1. يتم تحديد الدقة من خلال عدد الأرقام المهمة بعد الفاصلة العشرية في القيم المحسوبة لإحداثيات مركز الدائرة ونصف القطر. كلما كانت الأرقام أكثر أهمية ، كانت النتيجة أكثر دقة.
2. قد يحدث الخطأ بسبب عدم الدقة في القياسات والحسابات. على سبيل المثال ، أخطاء عند قراءة صورة أو قيم التقريب. يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى أو الطرق الإحصائية الأخرى لتقدير الأخطاء.

تتمثل إحدى طرق تقدير الخطأ في استخدام طريقة المربعات الصغرى لتقريب البيانات. تتيح لك هذه الطريقة العثور على أفضل دائرة تناسب البيانات المتاحة. يتم تحديد الخطأ من خلال المسافة بين نقاط البداية والدائرة التقريبية.

ومن الجدير بالذكر أيضا أن الدقة والخطأ قد يعتمدان على طريقة تحديد إحداثيات الدائرة. على سبيل المثال ، عند استخدام طريقة المربعات الصغرى ، قد تكون الدقة أعلى من استخدام النهج الهندسي.

في الختام ، يمكن أن يكون تحديد إحداثيات الدائرة دقيقا تماما إذا أخذت الحسابات في الاعتبار المبادئ الأساسية للهندسة وطبقت طرقا لتقدير الدقة والخطأ.

سؤال وجواب

كيف يمكنني العثور على إحداثيات دائرة باستخدام المعادلة?

لإيجاد إحداثيات الدائرة وفقا للمعادلة ، من الضروري حل نظام المعادلات الذي يتكون من معادلة الدائرة ومعادلة مركز الدائرة. على سبيل المثال ، معادلة الدائرة لها الشكل (س — أ)^2 + (ص — ب)^2 = ص^2 ، أين (أ ، ب) هي إحداثيات مركز الدائرة ، و ص هو نصف القطر. للعثور على إحداثيات المركز ، تحتاج إلى إحضار معادلة الدائرة إلى الشكل الكنسي ومقارنتها بالمعادلة العامة للدائرة.

كيفية العثور على إحداثيات مركز دائرة في ثلاث نقاط?

للعثور على إحداثيات مركز الدائرة عند ثلاث نقاط ، يمكنك استخدام طريقة المنصفات العمودية. أولا ، نجد منتصف كل جزء من الأجزاء الثلاثة التي تربط هذه النقاط. ثم نجد معادلات الخطوط المتعامدة مع هذه المقاطع وتمر عبر نقاط المنتصف الموجودة. من الناحية المثالية ، يجب أن تتطابق معادلات الخطوط التي تم الحصول عليها ، وستعطي نقاط تقاطعها إحداثيات مركز الدائرة.

كيف يمكنني العثور على إحداثيات دائرة تمر عبر النقاط المحددة?

للعثور على إحداثيات الدائرة التي تمر عبر النقاط المحددة ، يمكنك استخدام معادلة الدائرة بشكل عام — (س — أ)^2 + (ص — ب)^2 = ص^2. نستبدل إحداثيات إحدى النقاط المعطاة في هذه المعادلة ونجد قيمة ر. ثم يمكننا إيجاد إحداثيات مركز الدائرة باستخدام إحداثيات النقطة التي تم العثور عليها وقيمة ر.

هل من الممكن إيجاد إحداثيات الدائرة بمعادلتها إذا كانت معادلة الدائرة معروفة فقط, لكن لا توجد نقاط محددة?

نعم ، من الممكن إيجاد إحداثيات الدائرة بمعادلتها ، حتى لو لم تكن هناك نقاط محددة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إحضار معادلة الدائرة إلى الشكل الكنسي ، ثم مقارنتها بالمعادلة العامة للدائرة — (س — أ)^2 + (ص — ب)^2 = ص^2. من مقارنة المعادلات التي تم الحصول عليها ، يمكن العثور على إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة.