كيفية كتابة وظيفة: شرح بسيط وأمثلة

الخطية من وظيفة هي واحدة من العمليات الأساسية في الرياضيات ، والذي يسمح لك لتقريب سلوك وظيفة في محيط نقطة معينة باستخدام خط مستقيم. هذه أداة مفيدة وقوية تبسط إلى حد كبير حساب ودراسة الوظائف ، خاصة بالقرب من نقطة ما. في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على كيفية كتابة وظيفة وإعطاء بعض الأمثلة للوضوح.

لتخطي دالة ، من الضروري إيجاد الظل للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة. المماس هو خط مستقيم يقترب بشكل أفضل من الرسم البياني لدالة بالقرب من نقطة. لإيجاد الظل ، تحتاج إلى إيجاد مشتق الدالة عند نقطة معينة واستبدال قيمتها في معادلة الخط. وبالتالي،يتم تقليل خطية الوظيفة لإيجاد معادلة الخط.

مثال: النظر في وظيفة و (س) = س^2 + 3س-2. لتخطي هذه الوظيفة بالقرب من النقطة س = 1 ، من الضروري إيجاد المشتق واستبدال قيمته في معادلة الخط. مشتق من وظيفة و (س) يساوي و'(س) = 2س + 3. عند النقطة س = 1 ، المشتق يساوي و'(1) = 2*1 + 3 = 5. الآن يمكننا كتابة معادلة الظل: ص = و (1) + و'(1) (س-1) ، أين و(1) = 1^2 + 3*1 — 2 = 2. بعد ذلك ، يمكننا تبسيط هذه المعادلة والحصول عليها ص = 5 س — 3. وبالتالي ، فإن وظيفتنا بالقرب من النقطة س = 1 خطية باستخدام المعادلة ص = 5 س — 3.

1. ما هو الخطي من وظيفة?
2. التعريف والمبادئ الأساسية
3. أمثلة على الخطية من وظيفة
4. سؤال وجواب
5. كيف يمكن أن تكون خطية وظيفة?
6. لماذا أحتاج إلى خطي وظيفة?
7. هل من الممكن إعطاء مثال على الخطية من وظيفة?

ما هو الخطي من وظيفة?

الخطية للدالة هي عملية تقريب دالة معقدة باستخدام دالة خطية. دالة خطية هي دالة النموذج ص = مكس + ب ، أين م و ب معاملات ثابتة.

يمكن أن تساعد خطية الوظيفة في تبسيط النماذج والحسابات الرياضية ، خاصة عندما تكون الوظيفة معقدة أو تحتوي على متغيرات غير معروفة. إذا كانت الوظيفة خطية ، فإن الخطية ليست مطلوبة ، ولكن في معظم الحالات تكون الوظائف غير خطية.

واحدة من أكثر الطرق شيوعا لرسم دالة خطية هي تحليل الوظيفة إلى سلسلة تايلور. سلسلة تايلور هي مجموع لا حصر له من المصطلحات التي تمثل مشتقات دالة عند نقطة تحللها. يمكن الحصول على قيمة تقريبية للوظيفة باستخدام المصطلحات القليلة الأولى فقط من سلسلة تايلور.

يمكن استخدام خطية الوظيفة في مجالات مختلفة ، على سبيل المثال ، في الفيزياء والاقتصاد والهندسة. على سبيل المثال ، تسمح لك الخطية بتقريب التغييرات في الكميات في العمليات الفيزيائية أو تحديد العلاقة الخطية بين المتغيرات في النموذج الاقتصادي.

مثال على الخطية من وظيفة:

لنفترض أن لدينا دالة غير خطية ص = س^2 ، ونحتاج إلى تقريبها باستخدام دالة خطية.

للقيام بذلك ، يمكننا استخدام تحلل الدالة في سلسلة تايلور عند نقطة التحلل س = أ .

سيبدو تحلل الوظيفة في سلسلة تايلور كما يلي:

1. ص = ص (أ) +(س — أ) ص ' (أ) + \ فارك {(س-أ)^2}{2!} ص " (أ) + \ فارك {(س-أ)^3} {3!} ص " '(أ) + \ لدوتس
2. ص = و (أ) + (س — أ)و'(أ)

هنا لدينا فقط الفترتين الأولى والثانية من سلسلة تايلور. الآن يمكننا كتابة الوظيفة في شكل خطي:

ذ f و (أ) + (س — أ)و'(أ)

وهكذا ، قمنا بخطي الوظيفة الأصلية ص = س^2 وحصلنا على دالة خطية تقارب سلوك الوظيفة الأصلية بالقرب من نقطة التحلل س=أ.

هذا مثال بسيط على الخطية للوظيفة ، وفي الواقع قد تكون العملية أكثر تعقيدا اعتمادا على الوظيفة والمهمة التي يتعين حلها.

التعريف والمبادئ الأساسية

الخطية للدالة هي عملية يتم فيها استبدال دالة غير خطية بوظيفة خطية أو تقريبها باستخدام تعبيرات خطية في نطاق صغير من القيم.

المبدأ الأساسي للخطية للدالة هو أنه يمكن إنشاء تقريب خطي لوظيفة غير خطية بالقرب من نقطة معينة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على مشتق الدالة عند نقطة معينة واستخدامها كمعامل ميل لخط التقريب.

يتم استخدام طرق مختلفة لخطية وظيفة. إحدى الطرق الأكثر شيوعا هي التقريب الخطي ، والذي يعتمد على تحلل دالة في سلسلة تايلور. في هذه الحالة ، يتم استبدال الوظيفة بأول مصطلح غير خطي للتحلل ، مما يسمح لنا بالحصول على دالة خطية تقترب بشكل أفضل من الوظيفة الأصلية بالقرب من النقطة قيد الدراسة.

تتمثل مزايا خطية الوظيفة في أنها تجعل من السهل حساب وتحليل دالة في نطاق معين من القيم. الدوال الخطية أسهل في الاستخدام وتسمح لك بتحليل دالة باستخدام طرق الجبر الخطي ، مما يبسط حل المشكلات المختلفة وعمليات النمذجة.

ومع ذلك ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الخطية للدالة يمكن أن تؤدي إلى فقدان الدقة وإدخال أخطاء عند تقييم دالة خارج النطاق الذي تم إجراء الخطية من أجله. لذلك ، عند تطبيق طريقة الخطية ، يجب دائما مراعاة القيود والافتراضات ، ويجب التحقق من دقة النتائج التي تم الحصول عليها.

أمثلة على الخطية من وظيفة

ال الخطية من دالة هو تقريب دالة غير خطية بواسطة دالة خطية خلال فترة زمنية معينة. يعتمد التقريب على فكرة أن الظل للرسم البياني للدالة في مرحلة ما هو دالة خطية تقارب سلوكها جيدا بالقرب من تلك النقطة.

فيما يلي بعض الأمثلة على الخطية للدالة:

1. مثال 1:

   النظر في وظيفة و (س) = س^2 في محيط نقطة س = 2. لرسم هذه الدالة خطيا بالقرب من النقطة س = 2 ، يمكننا إيجاد المشتق الأول للدالة و(س) ، والذي سيعطينا معامل ميل الظل إلى الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

   المشتق الأول من وظيفة و (س) يساوي و'(س) = 2س.

   استبدال س = 2 إلى و ' (س) ، نحصل على معامل ميل يساوي 4.

   وبالتالي ، فإن الدالة الخطية التي تقترب من الدالة و (س) = س^2 حسنا بالقرب من النقطة س= 2 سيبدو مثل ز(س)= 4 س — 4.

2. المثال 2:

   النظر في وظيفة و (س) = الخطيئة (س) في محيط نقطة س = 0. لتخطي هذه الدالة بالقرب من النقطة س = 0 ، يمكننا مرة أخرى إيجاد المشتق الأول للدالة و(س).

   المشتق الأول من وظيفة و (س) يساوي و'(س) = كوس(س).

   استبدال س = 0 إلى و ' (س) ، نحصل على معامل ميل يساوي 1.

   وبالتالي ، فإن الوظيفة الخطية التي تقترب من الوظيفة و (س) = الخطيئة(س) حسنا بالقرب من النقطة س = 0 سيبدو مثل ز (س) = س.

3. المثال 3:

   النظر في وظيفة و (س) = لن (س) في محيط نقطة س = 1. لتخطي هذه الدالة بالقرب من النقطة س = 1 ، يمكننا إيجاد المشتق الأول للدالة و (س).

   المشتق الأول من وظيفة و (س) يساوي و'(س) = 1/س.

   استبدال س = 1 إلى و ' (س) ، نحصل على معامل ميل يساوي 1.

   وبالتالي ، فإن الدالة الخطية التي تقترب من الدالة و (س) = لن(س) حسنا بالقرب من النقطة س = 1 سيبدو مثل ز(س) = س — 1.

هذه مجرد أمثلة قليلة على الخطية للوظائف بالقرب من بعض النقاط. بشكل عام ، يمكن أن تكون الخطية أكثر تعقيدا وتتطلب استخدام مشتقات ذات ترتيب أعلى لتقريب الوظائف ذات الشكل الأكثر تعقيدا.

سؤال وجواب

كيف يمكن أن تكون خطية وظيفة?

هناك عدة طرق لتخطيط وظيفة. أحدها هو استخدام تقريب دالة بواسطة دالة خطية في بعض المناطق المجاورة لنقطة معينة. للقيام بذلك ، يمكنك حساب قيمة الدالة في هذه المرحلة والعثور على مشتقها. ثم ، باستخدام صيغة التقريب الخطي ، احصل على معادلة الخط المستقيم التي ستقرب الوظيفة الأصلية في حي معين.

لماذا أحتاج إلى خطي وظيفة?

تستخدم خطية الوظيفة على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والمجالات العلمية الأخرى. يسمح لك بتبسيط التعبيرات غير الخطية المعقدة وإجراء البحوث التحليلية. كما أن الخطية تجعل الحسابات العددية أسهل ، نظرا لأن الدوال الخطية أسهل في المعالجة بواسطة الكمبيوتر.

هل من الممكن إعطاء مثال على الخطية من وظيفة?

بالطبع! النظر في وظيفة و (س) = الخطيئة (س). لتخطي هذه الوظيفة بالقرب من النقطة س0 = 0 ، ابحث عن قيمة الوظيفة ومشتقاتها في هذه المرحلة. قيمة الخطيئة (0) هي 0 ، ومشتق كوس(0) هو 1. ثم نستخدم صيغة التقريب الخطي: و (س) f و(س0) + و'(س0) (س — س0). لوظيفتنا ، نحصل على المعادلة التالية من الخط: و (س) 0 0 + 1 * (س — 0) = س. وهكذا ، فإن وظيفة الخطية للخطيئة (س) في محيط نقطة س0 = 0 يساوي و(س) = س.