كيف أجد احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد?

الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات. يسمح لك بتحديد فرص إكمال حدث معين. في هذه المقالة ، سننظر في احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد.

للعثور على احتمال هذا الحدث ، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار جميع التوليفات الممكنة التي يمكن أن تحدث نتيجة لتسع لفات النرد. كل لفة يمكن أن تعطي واحدة من ست قيم ممكنة (من 1 إلى 6).

لتحديد احتمال سقوط ثلاث ستات ، يجب علينا أولا حساب عدد المجموعات التي يحدث فيها مثل هذا الحدث. ثم تحتاج إلى قسمة هذا الرقم على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لتسع لفات نرد.

على سبيل المثال ، إذا أردنا إيجاد احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد ، فيجب علينا حساب عدد الطرق التي يمكن بها الحصول على ثلاث ستات من تسع لفات.

بمعرفة عدد المجموعات التي تسقط فيها ثلاث ستات ، والعدد الإجمالي للتركيبات الممكنة لتسع رميات ، يمكننا إيجاد الاحتمال المطلوب.

1. ما هو الاحتمال?
2. التعريف والميزات
3. كيفية حساب احتمال?
4. الصيغة العامة والأمثلة
5. ما هي فرص الحصول على ستة على لفة واحدة من الزهر?
6. احتمال السقوط من أي من الوجوه الستة
7. كيف أجد احتمال سقوط ثلاث ستات?
8. تركيبات وصيغة برنولي
9. كم عدد تركيبات ممكنة مع تسع لفات النرد?
10. مضروب ومجموعات مع التكرار
11. سؤال وجواب
12. ما هو احتمال الحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?
13. ما هو احتمال الحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?
14. هل هناك فرصة للحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?

ما هو الاحتمال?

الاحتمال هو خاصية عددية لحدث ما ، تعبر عن الدرجة التي يمكن تنفيذها أو حدوثها نتيجة لتجربة عشوائية. الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ويستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات مثل الإحصاء والرياضيات والفيزياء والاقتصاد وما إلى ذلك.

عادة ما يتم التعبير عن احتمال حدوث حدث ككسر عشري أو كسري عشري من 0 إلى 1 ، حيث يكون 0 حدثا مستحيلا ، و 1 حدث من المؤكد حدوثه. في بعض الأحيان يتم التعبير عن الاحتمال كنسبة مئوية ، من 0 ٪ إلى 100٪.

لتحديد احتمال وقوع حدث ما ، من الضروري معرفة مجموعة جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية. يشار إلى احتمال الحدث أ على أنه ص (أ) ويتم تعريفه على أنه نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة ، أي ص(أ) = (عدد النتائج الإيجابية)/(إجمالي عدد النتائج).

يمكن تعريف احتمال حدوث حدث على أنه كلاسيكي (ثم يعتمد على نتائج محتملة متساوية) ، أو إحصائي (بناء على بيانات التحليل الإحصائي) أو شخصي (بناء على الافتراضات والتقديرات الشخصية).

التعريف والميزات

احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد هو أحد مهام نظرية الاحتمالات. الاحتمال هو خاصية عددية تعكس الدرجة التي من المحتمل أن يحدث بها الحدث.

هذه المهمة هي حالة تجربة يتم فيها إلقاء العظم تسع مرات ، وهو مطلوب لتحديد احتمال سقوط ثلاث ستات بالضبط نتيجة لذلك.

ميزات هذه المهمة:

• يتم استخدام النرد العادي بستة وجوه ، كل منها يظهر رقما من واحد إلى ستة.
• النتائج المحتملة للفة النرد هي أرقام من واحد إلى ستة.
• نتائج كل لفة مستقلة عن بعضها البعض.
• يتم إصلاح عدد الرميات وعدد الأحداث التي تهمنا (فقدان ستة) — تسعة وثلاثة ، على التوالي.
• احتمال الحصول على ستة على لفة واحدة هو 1/6.

لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام طريقة اندماجية ، وهي صيغة التوزيع ذات الحدين. يمكنك أيضا استخدام جدول أو برامج مركبة لحساب الاحتمالات.

من خلال تطبيق هذه المهمة ، يمكنك رؤية ميزات تطبيق نظرية الاحتمالات في الحياة الواقعية ، أي استخدامها لتحديد فرص حدث معين أو مجموعاتها.

كيفية حساب احتمال?

من أجل حساب احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد ، يجب مراعاة عاملين: عدد النتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية.

يتم تحديد عدد النتائج المحتملة بواسطة الصيغة ن^ك ، أين ن هو عدد القيم الممكنة (في هذه الحالة 6 ، نظرا لوجود 6 وجوه على النرد) ، ك هو عدد التجارب (في هذه الحالة 9).

لتحديد عدد النتائج الإيجابية ، من الضروري معرفة عدد المرات التي ستسقط فيها ستة من 9 لفات. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد عدد مجموعات ثلاث ستات من 9 لفات ، والتي يمكن حسابها باستخدام الصيغة ج(ن ، ك) ، أين ن هو العدد الإجمالي للعناصر (9) ، ك هو عدد العناصر للاختيار (3).

وبالتالي ، يمكن تحديد احتمال سقوط ثلاث ستات بتسع لفات نرد بواسطة الصيغة:

ع = ج (ن ، ك) / ن^ك

أين:

• ف-الاحتمال
• ن - عدد القيم الممكنة (6)
• ك - عدد المحاكمات (9)
• ج (ن ، ك) - عدد النتائج الإيجابية (عدد مجموعات ثلاث ستات من 9 رميات)

وبالتالي ، من خلال استبدال القيم في الصيغة ، يمكنك حساب احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد. على سبيل المثال:

ع = ج (9 ، 3) / 6^9

الصيغة العامة والأمثلة

يمكن حساب احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات نرد باستخدام صيغة عامة لاحتمال حساب مجموعات الأحداث. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للنتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية.

الصيغة لحساب احتمال مجموعة معينة هي:

ع = (نكر) * بيكاي * (1-ف) ن-ك

أين:

• ص هو احتمال وجود تركيبة معينة
• ن هو العدد الإجمالي للرميات
• ص هو عدد النتائج الناجحة (في هذه الحالة الستات)
• ص هو احتمال نتيجة ناجحة (احتمال ستة)
• ك هو عدد النتائج الناجحة في المجموعة
• ن-ك هو عدد النتائج غير الناجحة في المجموعة

على سبيل المثال ، لمهمتنا:

• العدد الإجمالي للرميات هو ن = 9
• عدد النتائج الناجحة (الستات) ص = 3
• احتمال نتيجة ناجحة (احتمال ستة) ص = 1/6
• عدد النتائج الناجحة في المجموعة ك = 3
• عدد النتائج غير الناجحة في المجموعة ن-ك = 6-3 = 3

استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على:

ع = (9 ج3) * (1/6)3 * (5/6)6

بحساب هذا التعبير ، نحصل على احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد.

ما هي فرص الحصول على ستة على لفة واحدة من الزهر?

يعتمد احتمال سقوط جانب معين من العظم على العظم المستخدم وكيفية صنعه. في معظم النرد السداسي القياسي ، يكون احتمال سقوط كل جانب (من 1 إلى 6) هو 1/6 ، لأن النرد له ستة جوانب متساوية الاحتمال.

وهذا يعني أن هناك 1/6 فرصة من ستة على كل لفة من الزهر. ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن نتيجة كل رمية هي حدث عشوائي ولا تعتمد على الرميات السابقة. وهكذا ، بغض النظر عن عدد المرات التي كنت لفة النرد ، واحتمال ستة على كل لفة ستبقى 1/6.

احتمال السقوط من أي من الوجوه الستة

لحساب احتمال سقوط أي من الجوانب الستة للنرد ، تحتاج إلى قسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في حالة النرد السداسي العادي ، الذي يحتوي على رقم من 1 إلى 6 مكتوب على كل وجه ، فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو 6 (نظرا لوجود ستة وجوه).

النتائج الإيجابية هي جميع المجموعات الممكنة من الأرقام على جانبي النرد. في هذه الحالة ، هذه ستة أرقام مختلفة: 1, 2, 3, 4, 5, 6. وبالتالي ، فإن عدد النتائج الإيجابية هو أيضا 6.

لذا ، فإن احتمال السقوط من أي من الوجوه الستة هو:

الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج المحتملة

الاحتمال = 6/6 = 1

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط أي من الوجوه الستة للنرد هو 1 أو 100 ٪ ، مما يعني أن كل وجه من الوجوه الستة له نفس احتمال السقوط.

كيف أجد احتمال سقوط ثلاث ستات?

للعثور على احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد ، من الضروري حساب عدد النتائج الإيجابية وتقسيمها على عدد النتائج المحتملة.

في هذه الحالة ، ستكون النتيجة الإيجابية هي خسارة ثلاث ستات ، وستكون النتائج المحتملة كلها مجموعات مع تسع رميات (من أصل 6 نتائج محتملة في كل رمية).

الآن دعونا نلقي نظرة على كل خطوة بمزيد من التفصيل:

1. نتائج إيجابية:
• مطلوب النظر في التوليفات الممكنة لثلاث ستات من أصل تسع رميات. يمكن حساب عدد النتائج الإيجابية باستخدام صيغة الجمع:

C

9

3

=

84

2. النتائج المحتملة:
• نظرا لوجود 6 نتائج محتملة في كل لفة من النرد (الأرقام من 1 إلى 6) ، فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو:

6

9

=

10077696

الآن ، للعثور على احتمال سقوط ثلاث ستات ، تحتاج إلى قسمة عدد النتائج الإيجابية على عدد النتائج المحتملة:

وبالتالي ، فإن احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات نرد هو حوالي 0.00000834 (أو 0.000834٪).

تركيبات وصيغة برنولي

تركيبات برنولي وصيغته هي أدوات مهمة لحل مشاكل الاحتمالات والإحصاء. إنها تسمح لك بتحديد احتمال حدوث حدث معين بناء على عدد النتائج الإيجابية والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

المجموعة هي طريقة اندماجية تسمح لك بتحديد عدد الطرق لتحديد عدد معين من الكائنات من المجموعة الإجمالية ، دون مراعاة الترتيب. على سبيل المثال ، بالنسبة لمشكلة لفة النرد ، يمكننا استخدام مجموعات لتحديد عدد الطرق لتحديد عدد معين من الستات من تسع لفات.

صيغة برنولي هي صيغة رياضية تسمح لك بتحديد احتمال النجاح في سلسلة من التجارب المستقلة مع نتيجتين محتملتين — النجاح أو الفشل. الصيغة لها الشكل:

ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك)

أين ص (س = ك) هو احتمال حدوث النجاح ك مرات, ج(ن, ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك, ص هو احتمال النجاح في تجربة واحدة ، و ن هو عدد التجارب.

في حالتنا ، يمكننا استخدام صيغة برنولي لتحديد احتمال سقوط ثلاث ستات بالضبط بتسع لفات من النرد. نحن نعلم أن احتمال وجود ستة على نرد سداسي منتظم هو 1/6 (نظرا لأن لدينا ست نتائج محتملة — من 1 إلى 6). نعلم أيضا أن لدينا تسع رميات محتملة.

باستخدام صيغة برنولي ، يمكننا حساب احتمال أنه بتسع لفات من النرد ، ستسقط ثلاث ستات بالضبط.

مثال الحساب:

1. باستخدام صيغة الجمع ، يمكننا تحديد عدد الطرق لاختيار ثلاث ستات من تسع رميات. في هذه الحالة ، لدينا ج (9 ، 3) = 84.
2. احتمال الحصول على ستة في كل لفة هو 1/6 ، حتى نتمكن من استبدال ص = 1/6.
3. نعلم أيضا أن عدد الرميات هو تسعة ، لذا يمكننا الاستبدال ن = 9.
4. ف (س=3) = ج(9, 3) * (1/6)^3 * (1-(1/6))^(9-3) = 84 * (1/6)^3 * (5/6)^6 ≈ 0.102

وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على ثلاث ستات بالضبط على تسع لفات نرد هو حوالي 0.02 أو 10.2٪.

كم عدد تركيبات ممكنة مع تسع لفات النرد?

لتحديد عدد المجموعات لتسع لفات نرد ، من الضروري مراعاة عدد النتائج المحتملة لكل لفة.

النرد لها ستة وجوه ، لذلك كل لفة يمكن أن تعطي واحدة من ست نتائج محتملة: من واحد إلى ستة.

لدينا تسع رميات ، ويمكن أن تكون كل منها واحدة من ست نتائج. لذلك ، سيكون العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة مساويا لمجموع جميع الخيارات الممكنة لكل رمية.

لحساب هذا الرقم ، يمكنك استخدام صيغة دالة الطاقة: 6 إلى قوة 9.

بعد حساب هذا التعبير ، نحصل على النتيجة التالية:

69 = 531441

وهكذا ، مع تسع لفات من الزهر ، 531441 مجموعات مختلفة من النتائج ممكنة.

مضروب ومجموعات مع التكرار

العامل هو عملية يتم تعريفها للأرقام الطبيعية وتحسب حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى رقم معين. يشار إليه بالرمز"!". على سبيل المثال ، عامل الرقم 5 (يشار إليه على أنه 5!) يساوي 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

تستخدم التوليفات مع التكرار لتحديد عدد التوليفات الممكنة عندما يمكن تكرار العناصر. على سبيل المثال ، عند رمي النرد ، يكون احتمال سقوط رقم معين هو 1/6 ، واحتمال سقوط كل رقم من الأرقام الستة هو 1/6. إذا احتجنا إلى إيجاد احتمال الحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من النرد ، فيمكننا استخدام تركيبات مع التكرار.

يتم حساب المجموعات مع التكرار باستخدام الصيغة التالية:

مجموعات مع التكرار: ج ( ن + ص-1 ، ص) ، أين

• ن هو عدد العناصر المختلفة (في حالتنا ن = 6 ، نظرا لوجود ست قيم محتملة للنرد)
• ص هو العدد المطلوب من العناصر (في حالتنا ص = 3 ، لأنك تحتاج إلى الحصول على ثلاث ستات)

بتطبيق صيغة التوليفات مع التكرار ، نحصل على:

مع(6 + 3 — 1, 3) = مع (8 ، 3) = 56

وبالتالي ، هناك 56 مجموعة مختلفة يمكن أن تعطينا ثلاث ستات على تسع لفات من النرد.

سؤال وجواب

ما هو احتمال الحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?

لتحديد احتمال سقوط ثلاث ستات بتسع لفات نرد ، من الضروري استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. هذه الصيغة تبدو كما يلي: ص (س = ك)=ج(ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ص(س = ك) هو احتمال حدوث الحدث س ك مرات ، ج(ن ، ك) هو عدد مجموعات ن عناصر ل ك عناصر ، ص هو احتمال وقوع حدث ، 1—ص هو احتمال عدم وقوع حدث ، ن هو العدد الإجمالي للتجارب. في هذه الحالة ، ك = 3 ، ص = 1/6 ، ن = 9. استبدال القيم في الصيغة ، نحصل على: ص (س=3) = ج(9, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^6. عند حساب التعبير ، نحصل على رقم محدد ، والذي سيكون احتمال سقوط ثلاث ستات بتسع لفات نرد.

ما هو احتمال الحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?

يمكن حساب احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات نرد باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة احتمال وقوع حدث والعدد الإجمالي للتجارب. في هذه الحالة ، فإن احتمال الحصول على ستة على لفة واحدة هو 1/6. حساب احتمال ص (س=3) ، حيث س هو عدد الستات التي تسقط. استبدل القيم في الصيغة: ص (س = 3) = ج(9, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^6. بعد حساب هذا التعبير ، نحصل على رقم محدد ، والذي سيكون احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد.

هل هناك فرصة للحصول على ثلاث ستات على تسع لفات من الزهر?

نعم ، هناك فرصة لثلاث ستات على تسع لفات من النرد. لتحديد الاحتمال الدقيق ، من الضروري استخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. في هذه الحالة ، فإن احتمال الحصول على ستة على لفة واحدة هو 1/6. بمعرفة ذلك ، يمكننا حساب الاحتمال ص (س=3) ، أين س هو عدد الستات التي سقطت ، باستخدام الصيغة: ص (س=3) = ج(9, 3) * (1/6)^3 * (5/6)^6. بناء على نتائج الحسابات ، يمكننا أن نستنتج مدى احتمال سقوط ثلاث ستات على تسع لفات من النرد.