دائما ما تثير الألعاب التي تحتوي على عناصر من الرياضيات الاهتمام والرغبة في فهمها. واحدة من هذه الألعاب هي لعبة فانيا. إنها مواجهة مزدوجة بين لاعبين ، حيث تقوم فانيا دائما بالخطوة الأولى. تتمثل مهمة اللاعبين في توزيع عدد معين من العناصر فيما بينهم حتى يتم استيفاء شرط معين. في هذه المقالة ، سننظر في أزواج الأرقام (ك ، س) التي تفي بشرط أن تفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى.
تتضمن لعبة فانيا لاعبين اثنين ولديها عدد معين من العناصر المميزة برمز الصورة. كل لاعب يمكن أن تختار من 1 إلى ك البنود. في الوقت نفسه ، يتناوب اللاعبون ، وتقوم فانيا دائما بالخطوة الأولى. يعتبر أن اللعبة قد انتهت عندما يتم توزيع جميع العناصر بين اللاعبين.
تكمن الفائدة في وجود أزواج من الأرقام (ك ، ق) التي تفوز فيها فانيا دائما بالخطوة الأولى. لحل هذه المشكلة ، من الضروري استخدام الجهاز الرياضي والتفكير المنطقي. في المستقبل ، سننظر بالتفصيل في الخيارات المختلفة (ك ، ق) ووصف اللاعب الذي سيفوز بهذه القيم.
لعبة فانيا هي مشكلة رياضية مثيرة للاهتمام يمكن حلها باستخدام التفكير المنطقي والأساليب الرياضية. من خلال تحليل أزواج مختلفة من الأرقام (ك ، ق) ، من الممكن تحديد القيم التي تفوز بها فانيا دائما بالخطوة الأولى. بعد ذلك ، سنلقي نظرة على العديد من الأمثلة على هذه الأزواج ونوضح اللاعب الذي سيفوز في كل حالة.
- كم عدد أزواج ك س موجودة
- فوز فانيا في الخطوة الأولى
- تعريف مفهوم ك س
- تحليل قضية فانيا الفائزة
- دليل على وجود أزواج ك س
- عدد الأزواج ك ق
- التوليفات الممكنة من ك س
- سؤال وجواب
- كم عدد أزواج من ك وق يمكن العثور عليها?
- كيف يمكن فانيا الفوز مع الخطوة الأولى?
- ما هي قيم ك والصورة ليست مناسبة في هذه اللعبة?
كم عدد أزواج ك س موجودة
لتحديد عدد أزواج من ك ق هناك ، والتي فانيا يفوز دائما مع الخطوة الأولى ، فمن الضروري تحليل شروط وقواعد اللعبة.
لنفترض أن أزواج ك س يمكن أن تكون أي أرقام طبيعية. ثم ستفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى فقط إذا ك أكبر من س.
النظر في جدول القيم الممكنة من ك و س:
| k | s | النتيجة |
|---|---|---|
| 1 | 1 | رسم |
| 1 | 2 | الخسارة |
| 1 | 3 | الخسارة |
| 1 | 4 | الخسارة |
| 2 | 1 | الفوز |
| 2 | 2 | رسم |
| 2 | 3 | الخسارة |
| 2 | 4 | الخسارة |
| هو 3 | 1 | الفوز |
| هو 3 | 2 | فوز |
| 3 | 3 | رسم |
| 3 | 4 | الخسارة |
| هو 4 | 1 | الفوز |
| هو 4 | 2 | الفوز |
| هو 4 | 3 | الفوز |
| هو 4 | 4 | رسم |
يمكن أن نرى من هذا الجدول أن فانيا تفوز دائما بالخطوة الأولى إذا ك > س. سيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الأزواج ك س ، نظرا لوجود عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية.
وبالتالي ، يمكننا القول أن هناك عددا لا حصر له من أزواج ك س ، حيث تفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى.
فوز فانيا في الخطوة الأولى
عندما يلعب فانيا الخطوة الأولى ، فإن هدفه هو ترك عدد مزدوج من الحجارة على السبورة لخصمه. في هذه الحالة ، ستتمكن فانيا دائما من اختيار خطوة تؤدي إلى النصر.
من أجل الفوز في الخطوة الأولى ، تحتاج فانيا إلى استخدام التكتيكات التي توفر عددا مزدوجا من الأحجار للخصم. هناك العديد من التكتيكات التي يمكن أن تطبقها فانيا:
- تقسيم الحجارة إلى مجموعتين.
- قم بإزالة حجر واحد من كلا المجموعتين.
بهذه الطريقة ، سيتمكن فانيا دائما من اختيار زوج من الأحجار التي سيزيلها ويترك عددا مقترنا من الأحجار على السبورة. هذا سيسمح له بالفوز مع الخطوة الأولى.
على سبيل المثال ، إذا كان هناك 8 أحجار على السبورة ، فيمكن لفانيا اختيار مثل هذه الأزواج لإزالتها: (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4). في أي من هذه الحالات ، ستترك فانيا عددا مقترنا من الأحجار على السبورة وتفوز.
وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من أزواج ك س ، حيث يفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى إذا اتبع التكتيكات المذكورة أعلاه.
تعريف مفهوم ك س
في سياق النظر في مكاسب فانيا في الخطوة الأولى في اللعبة ، يستخدم مصطلح "ك س" للإشارة إلى عدد أزواج الأرقام ، حيث يكون الرقم الأول هو حركة فانيا والرقم الثاني هو حركة خصمه. أي أن اللاعبين يتناوبون على القيام بحركات ، ويفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى إذا كان هناك مثل هذه الأزواج من الأرقام التي يمكنه الفوز بها.
لتحديد ك ق ، تحتاج إلى النظر في جميع المجموعات الممكنة من التحركات والتحقق من أي منهم فانيا سيفوز مع الخطوة الأولى. في الوقت نفسه ، يمكن اختيار خطوة فانيا بشكل تعسفي ، بناء على قواعد اللعبة.
أحد الأمثلة على ك س يمكن أن يكون عدد الأزواج (1 ، 2) ، حيث يختار فانيا الرقم 1 ويختار خصمه الرقم 2. مع هذا المزيج ، تفوز فانيا بالخطوة الأولى.
قيم أخرى من ك ق ممكنة أيضا ، والتي يمكن تحديدها في كل لعبة محددة وتعتمد على القواعد والشروط المنصوص عليها فيها.
تحليل قضية فانيا الفائزة
دعونا ننظر في القضية عندما فانيا يفوز دائما الخطوة الأولى مع زوج من ك وس.
بادئ ذي بدء ، دعونا ننظر في الحالة عندما ك >= ق. سيفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى ، حيث يمكنه أن يأخذ كل الحجارة على الفور ولا يترك شيئا للاعب التالي ، الذي لن يكون قادرا على التحرك وسيخسر.
الآن النظر في القضية عندما ك < س . في هذه الحالة ، هناك عدة خيارات ممكنة:
- إذا س يقبل القسمة على ك ، ثم فانيا يمكن أن تأخذ ك الحجارة في كل مرة حتى يتبقى 1 حجر ، والذي سيأخذه في النهاية. وبالتالي ، سيفوز دائما بالخطوة الأولى.
- إذا س لا يقبل القسمة على ك ، ثم فانيا يمكن أن تأخذ (ق وزارة الدفاع ك) الحجارة في الخطوة الأولى. وهذا يعني أنه سيكون هناك (ق — (ق وزارة الدفاع ك)) الحجارة اليسار. الآن يمكن تقسيم الحجارة المتبقية إلى مجموعات من الحجارة ك. فانيا يمكن أن تأخذ مجموعة واحدة تماما في وقت واحد ، وترك المباراة الثانية لاتخاذ خطوة ، وبعد ذلك سوف يفوز دائما مع الخطوة الأولى ، كما هو موضح بالفعل في الخيار الأول.
وهكذا ، في حالة عندما ك > = ق أو في الحالة الموصوفة في البديل الأول ، فانيا يفوز دائما مع الخطوة الأولى.
دليل على وجود أزواج ك س
لإثبات وجود أزواج ك س ، حيث تفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى ، ضع في اعتبارك الحالات التالية:
- إذا ك هو 1 ، ثم فانيا يمكن أن تختار أي رقم موجب س. في هذه الحالة ، ستتاح لفانيا دائما فرصة الفوز بالخطوة الأولى ، حيث يمكنه اختيار س -1 والفوز.
- إذا ك أكبر من 1 ، فيمكن لفانيا أيضا الفوز دائما بالخطوة الأولى إذا اختار س ، وهي قوة اثنين من أصغر عدد أكبر من ك. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن أعلى درجة العالم — 1 ينقسم إلى فس مودولو فس + 1 في كل مرحلة من مراحل اللعبة.
- بشكل أكثر رسمية ، دع ص يكون أصغر مقسوم أولي على س-1. ثم للجميع س ، إذا (س-1) يقبل القسمة على س ، ثم (س — 1) يقبل القسمة على ص * س. وهكذا ، (س — 1) مقسوما على مقابل + 1 في كل منعطف ، وستفوز فانيا دائما في الخطوة الأولى.
وهكذا ، أثبتنا أن هناك أزواج من ك س التي فانيا يفوز دائما مع الخطوة الأولى ، بغض النظر عن قيم ك و س.
عدد الأزواج ك ق
لمعرفة عدد أزواج من ك ق هناك التي فانيا يفوز دائما مع الخطوة الأولى ، فمن الضروري النظر في جميع المتغيرات الممكنة للعبة. يصف الزوج ك س عدد الأحجار التي يمكن أن يأخذها فانيا وخصمه (ساشا) من الطاولة في نفس المنعطف.
دع فانيا تبدأ اللعبة دائما. وهناك زوج من ك ق يكون من المفيد لفانيا إذا, مع أي عدد من الحجارة المتبقية على الطاولة, يضطر ساشا لاتخاذ بالضبط الصورة الحجارة على دوره, وبعد ذلك فانيا يمكن أن تتخذ جميع الحجارة المتبقية والفوز. خلاف ذلك ، إذا وجد فانيا نفسه مرة واحدة على الأقل في موقف حيث يمكن لساشا اختيار مثل هذا العدد من الحجارة لمغادرة فانيا دون فرصة لاتخاذ خطوة رابحة ، فإن زوج ك س سيكون خاسرا.
هناك عدة طرق لتحديد عدد أزواج ك س. على سبيل المثال ، يمكنك النظر في جميع أزواج ممكنة من ك وس وحساب لكل واحد منهم ما إذا كان الزوج الفوز أو الخسارة لفانيا. ومع ذلك ، يمكن أن يستغرق هذا النهج وقتا طويلا.
طريقة أكثر فعالية هي استخدام البرمجة الديناميكية. يوجد أدناه جدول يوضح عدد أزواج ك س من 1 إلى 10:
| ك / ق | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة |
| 2 | الخسارة | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | خسارة |
| 3 | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | خسارة |
| 4 | الخسارة | الخسارة | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | خسارة |
| 5 | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | فوز |
| 6 | الخسارة | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | خسارة |
| 7 | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | فوز |
| 8 | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | خسارة |
| 9 | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز | الفوز | الفوز | الخسارة | الخسارة |
| 10 | الخسارة | الخسارة | الخسارة | الفوز | الفوز | الخسارة | الفوز | الخسارة | الفوز | الفوز |
يمكن أن نرى من الجدول أن عدد الأزواج ك س ، حيث تفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى ، هو 31. تتوافق هذه الأزواج مع قيمة موجبة في الجدول. للعثور على عددهم ، يمكنك تلخيص عدد الأزواج الفائزة لكل قيمة من 1 إلى 10.
التوليفات الممكنة من ك س
للفوز فانيا مع الخطوة الأولى ، وهناك عدة مجموعات ممكنة من أزواج من الأرقام ك و س. دعونا ننظر فيها:
أزواج مع ك الأرقام التي هي مضاعفات س: يمكن لفانيا اختيار الرقم ب = ك-س بحيث يكون الفرق أ-ب يساوي س وفانيا تفوز بالخطوة الأولى. يمكن تمثيل هذه الأزواج لكل رقم في شكل جدول:
s أزواج محتملة ك و ب 2 (4, 2), (6, 4), (8, 6), ... 3 (6, 3), (9, 6), (12, 9), … 4 (8, 4), (12, 8), (16, 12), … 5 (10, 5), (15, 10), (20, 15), … … … إقران بالرقم ك = س: يمكن لفانيا اختيار الرقم ب = 0 بحيث يكون الفرق أ-ب يساوي س وفانيا تفوز بالحركة الأولى. يمكن تمثيل هذه الأزواج في شكل جدول:
s هو زوج محتمل من ك و ب 1 (1, 0) 2 (2, 0) 3 (3, 0) 4 (4, 0) … …
وبالتالي ، فإن مجموعات أزواج الأرقام ك و س ، حيث تفوز فانيا دائما بالخطوة الأولى ، تعتمد على تعدد الأرقام س ويمكن تقديمها في شكل جداول. لكل رقم س ، هناك عدد لا حصر له من أزواج الأرقام ك و ب تلبية الشرط أ — ب = س.
سؤال وجواب
كم عدد أزواج من ك وق يمكن العثور عليها?
للعثور على عدد الأزواج ك و س التي تفوز فيها فانيا دائما في الخطوة الأولى ، تحتاج إلى تحديد قيم ك و س تؤدي إلى فوز فانيا في الخطوة الأولى. أزواج ك و س التي تلبي حالة المشكلة هي (1,1), (2,2), (3,4), (4,8), (5,16), (6,32), (7,64), (8,128), وهلم جرا. أي أن عدد هذه الأزواج سيكون لانهائي.
كيف يمكن فانيا الفوز مع الخطوة الأولى?
لكي يفوز فانيا بالخطوة الأولى ، يجب أن يكون مجموع الأرقام في الزوج قوة اثنين. على سبيل المثال ، يمكنك اختيار الرقمين 4 و 8 ، وسيكون المجموع 12 ، وهي قوة اثنين (2^2 * 3 = 12). يمكن لفانيا اختيار أي من هذه الأرقام التي يساوي مجموعها قوة اثنين ، والفوز مع الخطوة الأولى.
ما هي قيم ك والصورة ليست مناسبة في هذه اللعبة?
قيم ك و ق التي ليست مناسبة في هذه اللعبة هي تلك التي مجموع الأرقام ليست قوة اثنين. على سبيل المثال ، إذا ك = 3 و س = 5 ، ثم مجموعهم سيكون 8 ، وهو قوة اثنين. ومع ذلك ، إذا ك = 2 و س = 7 ، فسيكون المجموع 9 ، وهي ليست قوة اثنين. مثل هذه الأزواج من الأرقام لن تسمح لفانيا بالفوز بالخطوة الأولى.