لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى استخدام التوافقية وتطبيق صيغة التباديل مع التكرار. بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد عدد الطرق التي يمكن من خلالها وضع 12 كتابا على الرف دون مراعاة نوعها.
لكل موضع رف ، لدينا 12 خيارا لاختيار الكتب. نظرا لأن جميع المواضع الـ 12 مستقلة ، يمكننا استخدام صيغة التقليب لحساب عدد التوليفات الممكنة:
12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 479,001,600
الآن دعونا نحلل الموقف عندما يجب أن يكون هناك 5 كتب شعرية على الرف. لا يوجد سوى 5 كتب من هذا القبيل ، ويمكننا وضعها على الرف في 5 أوضاع. للقيام بذلك ، سوف نستخدم صيغة التباديل دون التكرار:
5 ص 5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
وبالتالي ، فإن عدد الطرق التي يمكن من خلالها وضع 12 كتابا على الرف ، منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية ، هو 479 ، 001 ، 600 * 120 = 57 ، 480 ، 192 ، 000.
- عدد طرق ترتيب 12 كتابا على الرف بحضور 5 مجموعات شعرية
- ترتيب المجموعات الشعرية
- ترتيب الكتب الأخرى
- اختيار موقف المجموعة الأولى من القصائد
- اختيار مواقف المجموعات الشعرية التالية
- وضع الكتب المتبقية بين مجموعات الشعر
- وضع الكتب المتبقية في المواضع المتبقية على الرف
- تحديد العدد الإجمالي لطرق التنسيب
- سؤال وجواب
- كم عدد خيارات وضع الكتب الممكنة الموجودة على الرف?
- كم عدد الطرق التي يمكن 12 توضع الكتب على الرف إذا يجب أن تكون مجموعات الشعر في مكان قريب?
- إذا كان يجب أن تكون مجموعات الشعر قريبة, كم عدد الخيارات الممكنة لترتيب الكتب على الرف?
- كم عدد الخيارات المتاحة لترتيب الكتب على الرف إذا 2 يجب أن تكون مجموعات الشعر بجانب بعضها البعض, والآخر 3 بأي ترتيب?
- كم عدد الطرق التي يمكن 12 توضع الكتب على الرف, منها 5 الكتب هي مجموعات من الشعر, شريطة أن كتابين محددة يجب أن تكون بجانب بعضها البعض?
عدد طرق ترتيب 12 كتابا على الرف بحضور 5 مجموعات شعرية
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام التوافقية ، وهي صيغة المواضع مع التكرار. الصيغة لها الشكل:
انك = ناغورني كاراباخ
حيث انك هو عدد من الطرق لتحديد وترتيب ك عناصر من ن مع التكرار.
في هذه الحالة ، لدينا 12 كتابا ، منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية. لذلك لدينا 5 "تكرار" للمجموعات الشعرية. و 7 كتب أخرى هي كتب فردية.
وبالتالي ، باستخدام صيغة المواضع مع التكرار ، نحصل على:
انك = 127 * 5 = 51 * 127 = 248,832,000
لذا ، فإن عدد طرق ترتيب 12 كتابا على الرف ، مع مراعاة 5 مجموعات شعرية ، هو 248 ، 832 ، 000.
ترتيب المجموعات الشعرية
هناك 12 كتابا على الرف ، منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية. دعونا نلقي نظرة على عدد الطرق التي يمكنك من خلالها وضع هذه المجموعات على الرف.
بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد موضع مجموعات الشعر على الرف. نظرا لأن لدينا 5 مجموعات ، فسنختار 5 أماكن لوضعها بين 12 مكانا مشتركا على الرف. يمكن القيام بذلك باستخدام الصيغة المركبة:
ج125 = 792
وبالتالي ، هناك 792 طريقة لوضع مجموعات شعرية على الرف.
ترتيب الكتب المتبقية
يبقى لترتيب 7 كتب المتبقية على الرف. في هذه الحالة ، لا توجد قيود أو متطلبات خاصة للطلب ، لذلك يمكن ترتيب جميع الكتب بأي شكل من الأشكال.
لراحة تقديم الخيارات ، يمكنك استخدام الجدول التالي:
| موقف الرف | كتاب |
|---|---|
| 1 | كتاب 1 |
| 2 | كتاب 2 |
| 3 | الكتاب 3 |
| 4 | الكتاب 4 |
| 5 | الكتاب 5 |
| 6 | الكتاب 6 |
| 7 | الكتاب 7 |
وبالتالي ، بناء على الجدول المقدم ، هناك 7! (مضروب 7) خيارات لوضع الكتب المتبقية على الرف.
اختيار موقف المجموعة الأولى من القصائد
لتحديد عدد الطرق لترتيب 12 كتابا على الرف ، منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية ، من الضروري النظر في خيارات مختلفة لاختيار منصب للمجموعة الأولى من القصائد.
يمكن تمثيل العدد الإجمالي لطرق ترتيب الكتب على الرف كمنتج لعدد طرق اختيار موضع للمجموعة الأولى من القصائد ، وعدد طرق اختيار موضع للمجموعة الثانية من القصائد ، وما إلى ذلك.
لذلك ، لدينا 5 مجموعات من القصائد ، وبالتالي فإن عدد الطرق لتحديد موقف للمجموعة الأولى من القصائد هو 5.
بعد اختيار منصب للمجموعة الأولى من القصائد ، لدينا 11 كتابا متبقيا للترتيب. باستخدام نهج مماثل ، وعدد من الطرق لتحديد موقف للمجموعة الثانية من القصائد هو 4.
بالاستمرار بطريقة مماثلة ، يمكننا حساب عدد الطرق لتحديد موضع للمجموعات المتبقية من القصائد: 3 للثالث ، 2 للرابع و 1 للخامس.
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لطرق وضع 12 كتابا على الرف ، منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية ، يساوي:
- عدد طرق اختيار موضع للمجموعة الأولى من القصائد (5)
- مضروبا في عدد من الطرق لتحديد موقف للمجموعة الثانية من القصائد (4)
- مضروبا في عدد من الطرق لتحديد موقف للمجموعة الثالثة من القصائد (3)
- مضروبا في عدد من الطرق لتحديد موقف للمجموعة الرابعة من القصائد (2)
- اضرب في عدد طرق اختيار موضع للمجموعة الخامسة من القصائد (1)
في المجموع ، فإن العدد الإجمالي لطرق ترتيب 12 كتابا على الرف منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية يساوي:
| مجموعة من القصائد | عدد من الطرق لتحديد موقف |
|---|---|
| الأول | 5 |
| الثاني | 4 |
| ثالثا | 3 |
| الرابعة | 2 |
| خامسا | 1 |
إجمالي عدد طرق ترتيب 12 كتابا على الرف منها 5 كتب عبارة عن مجموعات شعرية تساوي 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
اختيار مواقف المجموعات الشعرية التالية
على الرف من 12 الكتب المتاحة ، 5 كتب هي مجموعات من الشعر.
سننظر في عدد الطرق المختلفة لوضع هذه المجموعات الشعرية على الرف.
| الموقف 1 | الموقف 2 | الموضع 3 | الموضع 4 | الموضع 5 | الموقف 6 | الموقف 7 | الموضع 8 | الموضع 9 | الموضع 10 | الموضع 11 | الموضع 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| مجموعة من القصائد رقم 1 | مجموعة من القصائد 2 | مجموعة من القصائد 3 | مجموعة من القصائد 4 | مجموعة من القصائد 5 | الكتاب 6 | الكتاب 7 | الكتاب 8 | الكتاب 9 | كتاب 10 | الكتاب 11 | الكتاب 12 |
| مجموعة من القصائد 2 | مجموعة من القصائد رقم 1 | مجموعة من القصائد 3 | مجموعة من القصائد 4 | مجموعة من القصائد 5 | الكتاب 6 | الكتاب 7 | الكتاب 8 | الكتاب 9 | كتاب 10 | الكتاب 11 | الكتاب 12 |
| مجموعة من القصائد 3 | مجموعة من القصائد رقم 1 | مجموعة من القصائد 2 | مجموعة من القصائد 4 | مجموعة من القصائد 5 | الكتاب 6 | الكتاب 7 | الكتاب 8 | الكتاب 9 | كتاب 10 | الكتاب 11 | الكتاب 12 |
| مجموعة من القصائد 4 | مجموعة من القصائد رقم 1 | مجموعة من القصائد 2 | مجموعة من القصائد 3 | مجموعة من القصائد 5 | الكتاب 6 | الكتاب 7 | الكتاب 8 | الكتاب 9 | كتاب 10 | الكتاب 11 | الكتاب 12 |
| مجموعة من القصائد 5 | مجموعة من القصائد رقم 1 | مجموعة من القصائد 2 | مجموعة من القصائد 3 | مجموعة من القصائد 4 | الكتاب 6 | الكتاب 7 | الكتاب 8 | الكتاب 9 | كتاب 10 | الكتاب 11 | الكتاب 12 |
كما هو موضح في الجدول ، هناك 5 طرق مختلفة لوضع مجموعات شعرية على الرفوف.
ترتيب الكتب المتبقية بين مجموعات الشعر
لترتيب بقية الكتب بين مجموعات الشعر ، عليك أن تأخذ في الاعتبار أن 5 كتب مشغولة بالفعل. أن يترك 7 كتب لترتيب.
يمكن وضع الكتب على الرف بطرق مختلفة ، وإنشاء مجموعات مختلفة. لتحديد عدد الطرق التي يمكن القيام بها ، يمكنك استخدام صيغة التباديل مع التكرار.
في هذه الحالة ، لدينا 7 كتب و 5 مجموعات شعرية. نرتب الكتب على الرف ، مع مراعاة ترتيبها. نحن نستخدم الصيغة:
ن! / (رقم 1! * ن2! *k * ناغورني كاراباخ!)
أين ن هو العدد الإجمالي للكائنات (في هذه الحالة 7) ، و ن1, ن2,...، ناغورني كاراباخ هو عدد الأشياء من نفس النوع (في هذه الحالة 5 مجموعات شعرية).
نسمح بالتباديل بين مجموعات القصائد نفسها. نحن استبدال القيم في الصيغة والحصول على:
7! / (5! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1!)
نحسب العوامل ونحصل على الإجابة:
7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 7 * 6 = 42
وبالتالي ، هناك 42 طريقة لترتيب 7 كتب المتبقية بين مجموعات الشعر.
وضع الكتب المتبقية في المواضع المتبقية على الرف
بعد أن وضعنا 5 مجموعات شعرية على الرف ، يتعين علينا ترتيب 7 كتب متبقية. كل من هذه الكتب يمكن وضعها في أي من 7 المواقف المتبقية على الرف.
يمكن حساب طرق تنفيذ مثل هذا الترتيب باستخدام مبدأ الضرب. نظرا لأنه يمكننا وضع كل كتاب في أي من المواضع الـ 7 ، بغض النظر عن اختيار الكتب السابقة ، لتحديد العدد الإجمالي للطرق ، نحتاج إلى مضاعفة عدد الخيارات الممكنة لكل كتاب.
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للطرق لترتيب 7 كتب المتبقية يساوي:
7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 77 = 823,543
وبالتالي ، يمكننا ترتيب الكتب المتبقية في المواضع المتبقية على الرف 823 ، 543 بطرق مختلفة.
تحديد العدد الإجمالي لطرق التنسيب
لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام التوافقية. دعنا نستخدم الصيغة للعثور على عدد المجموعات بدون تكرار:
كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين:
- ن هو العدد الإجمالي للكتب على الرف;
- ك هو عدد كتب المجموعات الشعرية على الرف;
- ن! هو عامل الرقم ن ، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن;
- ك! هو عامل الرقم ك;
- ن ك! هو عامل الرقم (ن-ك).
في حالتنا:
- ن = 12-العدد الإجمالي للكتب على الرف;
- ك = 5-عدد كتب المجموعات الشعرية على الرف.
استبدال القيم في الصيغة:
ج125 = 12! / (5! * (12 — 5)!)
حساب العوامل:
- 12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- (12 — 5)! = 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
نستبدل قيم العوامل في الصيغة ونحسب النتيجة:
ج125 = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1))
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي لطرق ترتيب الكتب على الرف سيكون مساويا لنتيجة حسابات هذه الصيغة.
سؤال وجواب
كم عدد خيارات وضع الكتب الممكنة الموجودة على الرف?
هناك 12 في المجموع! (مضروب) طرق لوضع الكتب على الرف. هذا يساوي 479 ، 001 ، 600 مجموعة مختلفة.
كم عدد الطرق التي يمكن 12 توضع الكتب على الرف إذا مجموعات من الشعر يجب أن يكون في مكان قريب?
هناك 5! (مضروب) طرق لوضع مجموعات الشعر على الرف. بعد ذلك ، هناك 7 كتب يمكن وضعها بين مجموعات الشعر بطرق مختلفة. نحصل على 5! * 7! تركيبات مختلفة.
إذا كان يجب أن تكون مجموعات الشعر قريبة, كم عدد الخيارات الممكنة لترتيب الكتب على الرف?
إذا كان يجب وضع مجموعات القصائد بجانب بعضها البعض ، فيمكن ترتيبها أولا في 5! (مضروب) طرق. ثم هناك 7 كتب يمكن وضعها في الأماكن المتبقية في 7! (مضروب) طرق. سيكون العدد الإجمالي للخيارات الممكنة 5! * 7!.
كم عدد الخيارات المتاحة لترتيب الكتب على الرف إذا 2 يجب أن تكون مجموعات الشعر بجانب بعضها البعض, والآخر 3 بأي ترتيب?
هناك 2! (مضروب) طرق لترتيب مجموعات الشعر التي يجب أن تكون بجانب بعضها البعض. بعد ذلك ، هناك 10 كتب متبقية ، منها 7 كتب يمكن وضعها بين مجموعات الشعر بطرق مختلفة. يمكن ترتيب 3 كتب المتبقية بأي ترتيب. في المجموع نحصل على 2! * 7! * 3! تركيبات مختلفة.
كم عدد الطرق التي يمكن 12 توضع الكتب على الرف, منها 5 الكتب هي مجموعات من الشعر, شريطة أن كتابين محددة يجب أن تكون بجانب بعضها البعض?
هناك 5! (مضروب) طرق لترتيب مجموعات من الشعر التي ينبغي أن تكون في مكان قريب. بعد ذلك ، هناك 10 كتب يمكن وضعها في الأماكن الـ 10 المتبقية! (مضروب) بطرق مختلفة. سيكون العدد الإجمالي للخيارات الممكنة 5! * 10!.