ربما تكون العملة المعدنية واحدة من أبسط العناصر وأكثرها شيوعا المستخدمة في العديد من جوانب حياتنا. احتمال سقوط الرؤوس أو الذيول بقلب عملة واحدة هو 50 ٪ ، مما يجعلها جذابة للغاية للبحث والتحليل. ولكن ماذا يحدث إذا كنا الوجه عملة عدة مرات على التوالي? كيف سيكون احتمال تغيير نتيجة معينة? في هذه المقالة ، سننظر في هذه المشكلة.
لفهم احتمال سقوط الرؤوس والذيل مع العديد من تقلبات العملات المعدنية ، من الضروري استخدام المبادئ الأساسية للتركيبات. يدرس هذا العلم طرق ترتيب النتائج وتحديد احتمالها. على سبيل المثال ، إذا قلبنا عملة معدنية مرتين ، فيمكننا الحصول على المجموعات التالية: رؤساء-ذيول ، رؤساء-رؤساء ، ذيول-ذيول وذيول-رؤساء. كل مجموعة لديها فرصة متساوية للسقوط — 25٪.
ومع ذلك ، مع زيادة عدد تقلبات العملة ، يتغير عدد المجموعات واحتمال حدوثها. على سبيل المثال ، مع ثلاث تقلبات للعملات المعدنية ، سنحصل على ثماني مجموعات: رؤساء-رؤساء-رؤساء ، رؤساء-رؤساء-ذيول ، رؤساء-ذيول-رؤساء ، رؤساء-ذيول-ذيول ، ذيول-رؤساء-رؤساء ، ذيول-رؤساء-ذيول ، ذيول-ذيول-رؤساء وذيول-ذيول-ذيول. من بين هذه المجموعات الثمانية ، ستمثل واحدة فقط جميع النسور ، وهي النسر-النسر-النسر.
- احتمال سقوط الرؤوس والذيل
- إذا كنت الوجه عملة واحدة
- إذا كنت الوجه عملة مرتين
- إذا كنت الوجه عملة ثلاث مرات
- إذا كنت الوجه عملة أربع مرات
- إذا كنت الوجه عملة خمس مرات
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال سقوط نسر عند قلب عملة معدنية مرة واحدة?
- ما هو احتمال سقوط نسر عند قلب عملة معدنية مرتين على التوالي?
- ما هو احتمال أن رؤساء ستسقط مرة واحدة على الأقل عندما انقلبت عملة ثلاث مرات?
احتمال سقوط الرؤوس والذيل
عملة القذف هي واحدة من أبسط والأكثر شعبية الألعاب باستخدام الأحداث العشوائية. غالبا ما يتم استخدامه في مجموعة متنوعة من المجالات – من الإحصائيات إلى الكازينوهات. واحدة من الأسئلة الرئيسية التي تنشأ عندما لعب عملة هو مسألة احتمال رؤساء أو ذيول سقوطه.
قبل أن نبدأ في مناقشة احتمال سقوط الرؤوس والذيل ، تجدر الإشارة إلى أنه في إطار هذه اللعبة يفترض أن العملة متناظرة ، أي أن احتمال سقوط الرؤوس والذيل هو نفسه.
احتمال سقوط الرؤوس والذيل بقلب عملة واحدة هو 1/2 أو 50٪. هذا يعني أنه مع وجود عدد كبير من تقلبات العملات المعدنية ، من المتوقع أن تسقط الرؤوس والذيل بنسب متساوية تقريبا.
لفهم هذا بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك مثالا مع تقلبات متعددة للعملات المعدنية. على سبيل المثال ، إذا قلبنا عملة معدنية 10 مرات ، فإن احتمال سقوط الرؤوس 5 مرات وسقوط الذيل أيضا 5 مرات سيكون حوالي 0.246 أو 24.6٪. أو ، بطريقة أخرى ، يمكننا القول أنه من بين 1024 مجموعة ممكنة من تقلبات العملة (2 إلى قوة 10) ، سيسقط النسر في 246 حالة.
وبالتالي ، فإن احتمال الرؤوس أو الذيول في هذه اللعبة يعتمد على عدد تقلبات العملة. مع زيادة عدد القذف ، يقترب الاحتمال من 50 ٪ ، وهي نتيجة متوقعة ومنطقية.
إذا كنت الوجه عملة واحدة
عملة القذف هي واحدة من أبسط والأكثر شيوعا الألعاب على أساس فرصة. لمعرفة احتمال سقوط الرؤوس والذيل عند رمي عملة معدنية مرة واحدة ، عليك التفكير في نتيجتين محتملتين: الرؤوس والذيل.
لذا ، فإن احتمال سقوط النسر هو 0.5 أو 50٪ ، لأن لدينا نتيجتين محتملتين فقط: الرؤوس أو الذيول. احتمال ذيول هو أيضا 0.5 أو 50٪.
إذا قمت بقلب عملة معدنية عدة مرات ، فإن احتمال الرؤوس والذيل يميل إلى 50 ٪ لكلا النتيجتين. لا يمكن تحقيق هذه النتيجة إلا من خلال عدد كبير من تقلبات العملات المعدنية.
تجدر الإشارة إلى أن احتمال سقوط الرؤوس والذيل قد يختلف في الواقع بسبب عوامل فيزيائية مثل السطح غير المستوي للعملة وقوة الرمية وغيرها.
إذا كنت الوجه عملة مرتين
عندما يتم قلب عملة معدنية مرتين ، تكون النتائج التالية ممكنة:
- النسر النسر
- رؤساء وذيول
- ذيول رؤساء
- ذيول-ذيول
وبالتالي ، هناك ما مجموعه 4 نتائج محتملة عند قلب عملة معدنية مرتين.
احتمال كل من هذه النتائج هو 1/2 (أو 50٪) ، لأن لكل عملة الوجه هناك اثنين فقط من النتائج المحتملة (رؤساء أو ذيول).
إذا كنت مهتما باحتمال مجموعة معينة ، على سبيل المثال ، رأسان أو ذيلان ، فسيكون هذا الاحتمال 1/4 (أو 25٪) ، نظرا لأن واحدة فقط من النتائج الأربعة المحتملة تتوافق مع هذه المجموعة.
وبالتالي ، عندما يتم قلب عملة معدنية مرتين ، يظل احتمال سقوط مجموعة معينة دون تغيير ويكون 1/4 (أو 25٪).
إذا كنت الوجه عملة ثلاث مرات
إذا تم رمي العملة ثلاث مرات ، فإن عدد النتائج المحتملة هو 2 إلى قوة 3 ، لأن كل إرم يمكن أن يعطي 2 نتائج محتملة — رؤوس أو ذيول. وبالتالي،هناك ما مجموعه 8 مجموعات مختلفة من نتائج إرم العملة.
يمكن حساب احتمال كل مجموعة معينة باستخدام الصيغة: الاحتمال = (احتمال سقوط نسر)^ن * (احتمال سقوط ذيول)^(عدد القذفات — ن) ، أين ن هو عدد مرات سقوط الرؤوس.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة تسقط فيها العملة كنسر ثلاث مرات. احتمال سقوط النسر هو 0.5 ، لذلك:
الاحتمال = (0.5)^3 * (0.5)^(3-3) = 0.125
نفس الاحتمال سيكون للجمع حيث تسقط العملة ذيول كل ثلاث مرات.
سيكون للمجموعات الأخرى احتمالات مختلفة يمكن حسابها بطريقة مماثلة.
للراحة ، يمكن تقديم جميع المجموعات الممكنة من رمي العملات المعدنية ثلاث مرات في شكل جدول:
| الجمع لا. | الاحتمال | |
|---|---|---|
| 1 | النسر ، النسر ، النسر | 0.125 |
| 2 | رؤساء ، رؤساء ، ذيول | 0.125 |
| 3 | رؤساء ، ذيول ، رؤساء | 0.125 |
| 4 | رؤساء ، ذيول ، ذيول | 0.125 |
| 5 | ذيول ، رؤساء ، رؤساء | 0.125 |
| 6 | ذيول ، رؤساء ، ذيول | 0.125 |
| 7 | ذيول ، ذيول ، رؤساء | 0.125 |
| 8 | ذيول ، ذيول ، ذيول | 0.125 |
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط كل مجموعة معينة مع ثلاث تقلبات للعملة هو 0.125 ، والاحتمال الإجمالي لجميع المجموعات هو 1.
إذا كنت الوجه عملة أربع مرات
عندما تقلب عملة معدنية أربع مرات ، تكون مجموعات مختلفة من النتائج ممكنة.
يمكن حساب عدد التوليفات الممكنة باستخدام الصيغة: 2^ن ، أين ن هو عدد القذفات.
في هذه الحالة ، ن = 4 ، وبالتالي فإن عدد التوليفات الممكنة هو 2^4 = 16.
دعونا نتخيل كل التوليفات الممكنة لنتائج رمي عملة معدنية أربع مرات:
- النسر ، النسر ، النسر ، النسر
- رؤساء ، رؤساء ، رؤساء ، ذيول
- رؤساء ، رؤساء ، ذيول ، رؤساء
- رؤساء ، رؤساء ، ذيول ، ذيول
- رؤساء ، ذيول ، رؤساء ، رؤساء
- رؤساء ، ذيول ، رؤساء ، ذيول
- رؤساء ، ذيول ، ذيول ، رؤساء
- رؤساء ، ذيول ، ذيول ، ذيول
- ذيول ، رؤساء ، رؤساء ، رؤساء
- ذيول ، رؤساء ، رؤساء ، ذيول
- ذيول ، رؤساء ، ذيول ، رؤساء
- ذيول ، رؤساء ، ذيول ، ذيول
- ذيول ، ذيول ، رؤساء ، رؤساء
- ذيول ، ذيول ، رؤساء ، ذيول
- ذيول ، ذيول ، ذيول ، رؤساء
- ذيول ، ذيول ، ذيول ، ذيول
كل مجموعة لديها احتمال 1/16, لأن كل الوجه عملة مستقلة عن النتائج السابقة.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط الرؤوس والذيل عند رمي عملة معدنية أربع مرات هو نفسه وهو 1/2.
إذا كنت الوجه عملة خمس مرات
إذا قلبنا عملة معدنية خمس مرات ، فسيكون العدد الإجمالي للنتائج المحتملة 2 إلى قوة 5 ، أي 32. لأن هناك نتيجتين محتملتين لكل لفة: إما رؤساء أو ذيول تسقط.
لحساب احتمال كل نتيجة معينة ، يمكننا استخدام صيغة الاحتمال. لنأخذ احتمال سقوط نسر في لفة واحدة تساوي 0.5 ، نظرا لوجود نتيجتين محتملتين بنفس القدر. وفقا لصيغة الاحتمال للأحداث المستقلة ، يمكننا مضاعفة احتمالات الرميات الخمس للحصول على احتمال نتيجة محددة.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط النسر خمس مرات بخمس رميات من العملات المعدنية سيكون مساويا لـ:
الاحتمال = 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.03125 = 3.125%
وبالمثل ، يمكننا حساب الاحتمال لكل نتيجة أخرى ، بالنظر إلى أنه مع كل لفة ، يظل احتمال الرؤوس أو الذيول كما هو.
يمكننا أيضا تقديم جميع النتائج المحتملة في شكل جدول:
| القضية | عدد النسور | الاحتمال |
|---|---|---|
| رؤساء 5 مرات | 5 | 3.125% |
| رؤساء 4 مرات ، ذيول 1 مرة | 4 | 15.625% |
| رؤساء 3 مرات ، ذيول 2 مرات | 3 | 31.25% |
| رؤساء 2 مرات ، ذيول 3 مرات | 2 | 31.25% |
| رؤساء 1 مرة ، ذيول 4 مرات | 1 | 15.625% |
| ذيول 5 مرات | 0 | 3.125% |
وبالتالي ، فإن كل نتيجة لها احتمال معين ، ومجموع احتمالات جميع النتائج هو 100٪.
سؤال وجواب
ما هو احتمال سقوط نسر عند قلب عملة معدنية مرة واحدة?
عندما تقلب عملة معدنية مرة واحدة ، فإن احتمال وجود نسر هو 0.5 أو 50٪. نظرا لأن العملة لها جانبان محتملان بشكل متساو ، الرؤوس والذيل ، فإن احتمال سقوط كل منهما هو 1/2.
ما هو احتمال سقوط نسر عند قلب عملة معدنية مرتين على التوالي?
إذا قمت بقلب عملة معدنية مرتين على التوالي ، فإن احتمال وجود نسر في كلتا الحالتين هو 0.25 أو 25٪. يمكن حساب ذلك بضرب احتمال سقوط نسر على رمية واحدة في احتمال سقوط نسر على الرمية الثانية ، مما يعطي 0.5 * 0.5 = 0.25.
ما هو احتمال أن النسر سوف تقع مرة واحدة على الأقل عندما انقلبت عملة ثلاث مرات?
يمكن حساب احتمال سقوط نسر مرة واحدة على الأقل عند قلب عملة معدنية ثلاث مرات على أنه احتمال سقوط نسر مرة واحدة بالإضافة إلى احتمال سقوط نسر مرتين بالإضافة إلى احتمال سقوط نسر ثلاث مرات. في هذه الحالة ، هو 1 — احتمال أن النسر لن تسقط مرة واحدة. وبالتالي ، سيكون الاحتمال 1 - (0.5^3) ، والذي يعطي 1 — 0.125 = 0.875 أو 87.5٪.