العملات المعدنية ورمياتها هي واحدة من أبسط الألعاب وأكثرها شعبية في جميع أنحاء العالم. نظرا لأن العملة لها وجهان فقط-الرؤوس والذيل ، غالبا ما يتم المراهنة على المال على تخمين تداعياتها. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالاحتمالات ، تصبح الأمور أكثر تعقيدا. على سبيل المثال ، لنأخذ السؤال الكلاسيكي: ما هو احتمال ذيول السقوط مرة واحدة على الأقل عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
يبدو مخيفا جدا, أليس كذلك? لكن في الواقع ، كل شيء ليس مخيفا كما يبدو. النقطة الأساسية هي أن نفهم أنه مع كل إرم عملة معدنية ، فإن احتمال وجود ذيول هو 1/2 (ما لم نتحدث بالطبع عن عملة عادلة دون أي تشويه). هذا يعني أنه بالنسبة لـ 6 رميات لدينا 6 أحداث مستقلة ، يمكن أن يكون لكل منها نتيجتان: إما أن تسقط الرؤوس أو تسقط ذيول.
بالإضافة إلى احتمال سقوط ذيول ، فإن القضايا الأخرى المتعلقة بقذف العملات المعدنية ذات أهمية. على سبيل المثال ، ما هو احتمال سقوط ذيول مرتين على التوالي ، أو ذيول ثلاث مرات على التوالي. أو ، على العكس من ذلك ، كم عدد الرميات التي سيستغرقها احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل لتصل إلى 90٪? كل هذه المشاكل يمكن حلها باستخدام أساليب التحليل الاحتمالي.
- احتمال سقوط ذيول على عملة معدنية
- كيفية حساب احتمال سقوط ذيول
- كم مرة أحتاج إلى قلب عملة معدنية للحصول على ذيول مرة واحدة على الأقل
- احتمال سقوط ذيول عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال ذيول السقوط مرة واحدة على الأقل عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
- ما هو احتمال ذيول تسقط بالضبط 3 مرات عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
- ما هو احتمال ذيول السقوط على الأقل 3 مرات عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
احتمال سقوط ذيول على عملة معدنية
العملة هي أبسط مثال على تجربة عشوائية. عند رمي عملة معدنية ، هناك نتيجتان محتملتان: رؤوس أو ذيول. يعتمد احتمال سقوط ذيول عند رمي عملة معدنية على العديد من العوامل ، بما في ذلك وزن وحجم العملة وحجم الوجوه وظروف الرمي وعوامل أخرى.
ومع ذلك ، إذا اعتبرنا عملة مثالية لها احتمالات متساوية ومستقلة للرؤوس والذيل ، فإن احتمال ذيول سيكون 0.5 أو 50٪. وذلك لأن أحداث ذيول ورؤساء هي نتائج متبادلة ، واحتمال كل واحد منهم هو 1/2.
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول باستخدام الاحتمال الكلاسيكي. إذا كان لدينا ن النتائج المحتملة على قدم المساواة ، و م منهم تتوافق مع حدث ، ثم احتمال هذا الحدث سيكون مساويا ل م / ن. في حالة وجود عملة معدنية لها نتيجتان محتملتان بالتساوي (رؤوس وذيول) وواحدة من هذه النتائج تتوافق مع حدث "ذيول" ، فإن احتمال ذيول سيكون 1/2 أو 0.5.
كيفية حساب احتمال سقوط ذيول
يعد حساب احتمال سقوط ذيول على رمي عملة معدنية أمرا بسيطا للغاية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للنتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية.
يتم تحديد احتمال وجود ذيول بقسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج. في هذه الحالة ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو عدد التوليفات الممكنة من ذيول ورؤوس عند رمي عملة معدنية. عدد النتائج الإيجابية هو عدد ذيول التي تسقط.
بالنسبة لإرم عملة واحدة ، يكون إجمالي عدد النتائج 2 (ذيول أو رؤوس) ، وعدد النتائج الإيجابية هو 1 (ذيول). وفقا لذلك ، فإن احتمال سقوط ذيول على عملة واحدة هو 1/2،أو 50٪.
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة احتمال وجود نتيجة ناجحة (احتمال سقوط ذيول) وعدد التجارب (عدد قذفات العملة).
تبدو صيغة التوزيع ذات الحدين كما يلي:
ص (س = ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك *(1-ص)^(ن-ك)
أين:
- ص (س = ك ) هو احتمال أن تسقط ذيول بالضبط ك مرات
- ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك (أي عدد التوليفات الممكنة التي ستسقط فيها الذيول بالضبط ك مرات)
- ص هو احتمال نتيجة ناجحة (احتمال سقوط ذيول)
- ك هو عدد النتائج الناجحة (عدد الذيول)
- ن هو العدد الإجمالي للتجارب (عدد قذفات العملة)
لحساب احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية ، فإن قيمة ص (احتمال سقوط ذيول) هو 1/2 ، وقيمة ن (عدد التجارب) هو 6.
ومع ذلك ، لحساب هذا الاحتمال ، يمكنك استخدام الصيغة التالية:
ص (س >= 1) = 1-ص (س = 0 )
أين:
- ص (س > = 1) هو احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل
- ص (س = 0) - احتمال أن ذيول لن تسقط مرة واحدة
وبالتالي ، يمكن حساب احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية بطرح من 1 احتمال سقوط الرؤوس في جميع الرميات الـ 6.
كم مرة أحتاج إلى قلب عملة معدنية للحصول على ذيول مرة واحدة على الأقل
احتمال سقوط ذيول على عملة واحدة هو 1/2 أو 50٪. ومع ذلك ، إذا قلبنا عملة معدنية عدة مرات متتالية ، فإن الاحتمال يتغير.
لحساب احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل ، نحتاج إلى حساب احتمال حدوث حدث عكسي – أي احتمال عدم سقوط ذيول أبدا.
احتمال عدم سقوط أي ذيول على عملة واحدة هو 1-احتمال سقوط ذيول. نظرا لأن احتمال سقوط ذيول هو 1/2 ، فإن احتمال عدم سقوط ذيول سيكون 1 — 1/2 = 1/2.
وبالتالي ، فإن احتمال أن ذيول لن تسقط أبدا على 6 لفات سيكون:
(1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/64
احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل يساوي الاحتمال العكسي بأن ذيول لن تسقط:
1 — 1/64 = 63/64
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل مع 6 رميات متتالية هو 63/64 أو حوالي 98.44٪.
بناء على ذلك ، يمكننا أن نستنتج أنه من أجل الحصول على ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية ، تحتاج إلى رمي عملة معدنية مرة واحدة.
احتمال سقوط ذيول عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول (ع) عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية باستخدام التوافقية.
إذا أخذنا في الاعتبار جميع النتائج المحتملة لرمي العملات المعدنية ، فسيكون العدد الإجمالي للنتائج 2 إلى قوة 6 ، حيث يمكن أن يكون لكل لفة نتيجتان محتملتان (ذيول أو رؤوس).
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 2^6 = 64.
الآن ضع في اعتبارك عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد الخيارات التي تسقط فيها ذيول مرة واحدة على الأقل.
للقيام بذلك ، يمكنك استخدام صيغة الاحتمال العكسي: احتمال أن الحدث لن يحدث يساوي نتاج الاحتمالات أن كل من التجارب المستقلة (قذفات عملة) سوف يؤدي إلى نتيجة مختلفة.
احتمال نسر (س) سقوطه على إرم عملة هو 1/2.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط الرؤوس على رمي عملة واحدة هو 1/2 واحتمال سقوط ذيول على رمي عملة واحدة هو 1/2.
ثم احتمال أنه عندما يتم رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية ، لن تسقط ذيول واحدة هو (1/2)^6 = 1/64.
باستخدام صيغة الاحتمال العكسي ، فإن احتمال سقوط ذيول عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية هو 1-1/64 = 63/64.
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية هو 63/64.
سؤال وجواب
ما هو احتمال ذيول السقوط مرة واحدة على الأقل عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية على أنها 1 ناقص احتمال سقوط الرؤوس كل 6 مرات. احتمال سقوط الرؤوس أو الذيول في كل مرة تقذف فيها عملة واحدة هو 1/2 ، لذا فإن احتمال سقوط الرؤوس 6 مرات متتالية هو (1/2)^6 = 1/64. لذا ، فإن احتمال سقوط ذيول مرة واحدة على الأقل في 6 رميات متتالية هو 1 — 1/64 = 63/64.
ما هو احتمال ذيول تسقط بالضبط 3 مرات عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول 3 مرات بالضبط عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية باستخدام توزيع ذي الحدين. هناك نوعان من النتائج المحتملة لكل عملة إرم: ذيول أو رؤساء. احتمال سقوط ذيول في لفة واحدة هو 1/2 ، لذلك يمكن حساب احتمال سقوط 3 ذيول و 3 رؤوس من 6 لفات على النحو التالي: ج(6, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^3 = 20/64 = 5/16. وبالتالي ، فإن احتمال سقوط ذيول 3 مرات بالضبط في 6 لفات هو 5/16.
ما هو احتمال ذيول السقوط على الأقل 3 مرات عندما قذف عملة 6 مرات على التوالي?
يمكن حساب احتمال سقوط ذيول 3 مرات على الأقل عند رمي عملة معدنية 6 مرات متتالية كمجموع احتمالات سقوط 3 و 4 و 5 و 6 ذيول. لكل حالة من هذه الحالات ، يتم حساب الاحتمال باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين. احتمال 3 ذيول و 3 رؤوس من 6 لفات هو ج(6, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^3 = 20/64 = 5/16. يمكن حساب احتمال 4 ذيول و 2 رؤساء بنفس الطريقة ، نحصل على 15/64. احتمال 5 ذيول و 1 النسر يساوي ج(6, 5) * (1/2)^5 * (1/2)^1 = 6/64 = 3/32. أخيرا ، احتمال 6 ذيول و 0 رؤوس هو (1/2)^6 = 1/64. بتلخيص كل هذه الاحتمالات ، نحصل على احتمال سقوط ذيول 3 مرات على الأقل في 6 رميات ، أي ما يعادل (5/16) + (15/64) + (3/32) + (1/64) = 105/128.