الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات والإحصاء. انها تسمح لك لتقدير وتيرة حدوث حدث معين والتنبؤ باحتمالية النتيجة. في هذه المقالة ، سننظر في احتمال أن تنتهي 6 كرات موزعة عشوائيا في 3 صناديق في جميع الصناديق.
قبل حساب احتمال حدث معين ، من الضروري تحديد عدد النتائج المحتملة. في هذه المهمة ، لدينا 6 كرات و 3 صناديق. يمكن وضع كل كرة في أي من المربعات ، وبالتالي فإن عدد النتائج المحتملة هو 3^6 ، أي 729.
الآن ، لتحديد احتمال أن جميع الكرات 6 سوف ينتهي في صناديق مختلفة ، فمن الضروري تحديد عدد من النتائج الإيجابية. هذه هي النتائج التي تناسب جميع الكرات 6 في صناديق مختلفة. النتيجة الإيجابية الوحيدة هي عندما تقع كل كرة في صندوق منفصل. لا يوجد سوى 3 نتائج من هذا القبيل ، لأن لدينا 3 صناديق.
وبالتالي ، فإن احتمال أن تنتهي 6 كرات موزعة عشوائيا في 3 صناديق في جميع الصناديق هو 3/729 ، وهو ما يقرب من 0.004115226337.
- احتمال التوزيع المتساوي لـ 6 كرات في 3 صناديق
- تأثير التوزيع الموحد للكرات على احتمال حدوث نتيجة
- نموذج رياضي وحساب احتمال توزيع موحد من الكرات
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال أن جميع الكرات في نهاية المطاف في صناديق مختلفة?
- كيف يمكنني حساب احتمال أن الكرات سيتم توزيعها بالتساوي عبر صناديق?
- ما هو احتمال أن جميع الكرات في نهاية المطاف في مربع واحد?
- ما هو احتمال أن صندوقين سوف تكون فارغة?
- ما هو احتمال أن تكون كرة واحدة على الأقل في كل صندوق?
احتمال التوزيع المتساوي لـ 6 كرات في 3 صناديق
توزيع موحد يعني أن كل من 6 كرات لديه نفس احتمال ضرب أي من 3 صناديق. يمكننا استخدام التوليفات والتباديل لتحديد احتمال مثل هذه الحالة.
أولا ، دعونا ننظر إلى المجموعات. بوجود 6 كرات ، يمكننا اختيار 2 منها ، والتي سنرسلها إلى المربع الأول. ثم يمكننا اختيار 2 كرات أخرى ستدخل في المربع الثاني. سيتم إرسال الكرات 2 المتبقية إلى المربع الثالث. في المجموع لدينا ج (6 ، 2) * ج(4, 2) = 15 * 6 = 90 التوليفات الممكنة.
الآن النظر في التباديل. لدينا 3 صناديق ، ويمكن أن يحتوي كل منها على واحدة من 6 كرات. لذلك ، لدينا ص (6 ، 6) = 720 التباديل الممكنة.
لإيجاد احتمال توزيع 6 كرات بالتساوي على 3 صناديق ، يجب أن نقسم عدد التوزيعات المنتظمة على العدد الإجمالي للتباديل المحتمل:
الاحتمال = 90/720 = 1/8
وبالتالي ، فإن احتمال أن 6 كرات موزعة عشوائيا في 3 صناديق سينتهي بها المطاف في جميع الصناديق هو 1/8 أو 0.125.
تأثير التوزيع الموحد للكرات على احتمال حدوث نتيجة
التوزيع المنتظم للكرات في الصناديق يعني أن كل كرة لها نفس احتمالية ضرب أي من الصناديق الثلاثة. في هذه الحالة ، يعتمد احتمال أن تنتهي جميع الكرات في جميع الصناديق على العدد الإجمالي للكرات وعدد الصناديق.
يمكن استخدام التوافقية لحل هذه المشكلة. يمكن العثور على العدد الإجمالي للنتائج باستخدام صيغة التحليل التوافقي:
ن! / (رقم 1! * ن2! * رقم 3!),
أين ن هو العدد الإجمالي للكرات ، ن1, ن2, ن3 هو عدد الكرات في كل صندوق.
معرفة العدد الإجمالي للنتائج ، يمكنك العثور على احتمال أن الكرات سيتم توزيعها بالتساوي في المربعات. يتم تحديد احتمال نتيجة عشوائية من خلال نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى العدد الإجمالي للنتائج:
ع = (عدد النتائج الإيجابية) / (إجمالي عدد النتائج).
في حالتنا ، عدد النتائج الإيجابية هو 6! (مضروب 6) ، لأننا نريد جميع الكرات 6 لتناسب في كل من الصناديق الثلاثة. يمكن العثور على العدد الإجمالي للنتائج باستخدام الصيغة أعلاه.
وبالتالي ، يمكن العثور على احتمال توزيع 6 كرات بشكل عشوائي في 3 صناديق في جميع الصناديق باستخدام هذه الصيغ والحسابات.
في النهاية ، يعتمد احتمال هذه النتيجة على نسبة عدد الكرات إلى عدد المربعات ، ويتم حسابها في كسور أو نسب مئوية.
نموذج رياضي وحساب احتمال توزيع موحد من الكرات
لحل هذه المشكلة ، ضع في اعتبارك نموذجا رياضيا لتجربة يتم فيها توزيع 6 كرات بشكل عشوائي عبر 3 صناديق. افترض أن كل كرة يمكن أن تنتهي في أي من الصناديق بشكل مستقل عن الصناديق الأخرى.
بادئ ذي بدء ، دعنا نحسب العدد الإجمالي لطرق توزيع 6 كرات في 3 صناديق. للقيام بذلك ، استخدم صيغة الجمع:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!), أين ن هو عدد الكائنات (في هذه الحالة 6 كرات), ك هو عدد الكائنات المحددة لكل حالة (في هذه الحالة 3 مربعات),! - علامة على مضروب.
بتطبيق هذه الصيغة ، نحصل على عدد خيارات توزيع الكرة الممكنة:
ج (6 ، 3) = 6! / (3!(6-3)!) = 20
الآن ، للعثور على احتمال توزيع جميع الكرات في كل مربع ، تحتاج إلى أخذ عدد النتائج الإيجابية (أي الخيارات الممكنة لتوزيع الكرات في الصناديق بحيث يحتوي كل منها على كرة واحدة) والقسمة على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة:
احتمال توزيع موحد من الكرات = (1 * 1 * 1) / 20 = 1/20 = 0.05 أو 5%
وبالتالي ، فإن احتمال أن 6 كرات موزعة عشوائيا في 3 صناديق سينتهي بها المطاف في جميع الصناديق هو 5٪.
سؤال وجواب
ما هو احتمال أن جميع الكرات في نهاية المطاف في صناديق مختلفة?
احتمال أن 6 كرات موزعة عشوائيا في 3 صناديق سوف ينتهي في جميع الصناديق هو 1/20 أو 0.05. يتم حساب ذلك على أنه نسبة عدد النتائج التي يحتوي فيها كل صندوق على كرة واحدة إلى إجمالي عدد النتائج.
كيف يمكنني حساب احتمال أن الكرات سيتم توزيعها بالتساوي عبر صناديق?
لحساب احتمال توزيع بالتساوي 6 كرات عبر 3 صناديق ، تحتاج إلى تقسيم عدد من النتائج التي كل مربع يحتوي على 2 كرات من العدد الإجمالي للنتائج. في هذه الحالة ، يكون الاحتمال 1/10 أو 0.1.
ما هو احتمال أن جميع الكرات في نهاية المطاف في مربع واحد?
احتمال أن جميع الكرات 6 سوف ينتهي في نفس المربع هو 1/3. هناك نتيجة واحدة فقط تكون فيها جميع الكرات في صندوق واحد ، والعدد الإجمالي للنتائج هو 3 (حيث يمكن توزيع كل كرة في أحد المربعات الثلاثة).
ما هو احتمال أن صندوقين سوف تكون فارغة?
يمكن حساب احتمال أن يكون المربعان فارغين بقسمة عدد النتائج التي سيكون فيها المربعان فارغين على العدد الإجمالي للنتائج. في هذه الحالة ، يكون الاحتمال 1/6 أو حوالي 0.1667.
ما هو احتمال أن تكون كرة واحدة على الأقل في كل صندوق?
يمكن حساب احتمال وجود كرة واحدة على الأقل في كل صندوق بطرح عدد النتائج التي تكون فيها جميع الكرات في صندوق واحد من إجمالي عدد النتائج. في هذه الحالة ، يكون الاحتمال 7/10 أو حوالي 0.7.