واحدة من المهام الرئيسية لنظرية الاحتمالات هي تحديد احتمال حدوث حدث معين. في هذه المقالة ، سننظر في حالة من مجال التوافقية-احتمال الحصول على كرتين أسودتين من جرة تحتوي على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء.
بادئ ذي بدء ، دعنا نفكر في جميع الخيارات الممكنة لعمل مجموعات من 10 كرات عند استخراج كرتين. للقيام بذلك ، نطبق صيغة الجمع ، والتي يشار إليها على أنها "من ن إلى ك" وتحدد عدد طرق التحديد ك عناصر من ن. في هذه الحالة ، ن = 10 (العدد الإجمالي للكرات) ، ك = 2 (عدد الكرات التي يجب الحصول عليها).
مزيج: ج من ن بواسطة ك = ن! / (ك! * (ن-ك)!) ، حيث ن! هو عامل الرقم ن
الآن بعد أن عرفنا العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة ، نحتاج إلى تحديد عدد التركيبات التي ستحتوي بالضبط على كرتين أسودتين. للقيام بذلك ، دعونا نحسب عدد المجموعات التي سيكون فيها بالضبط 2 كرات سوداء من أصل 4 كرات ممكنة. باستخدام صيغة الجمع ، نحصل على القيمة المطلوبة.
وأخيرا ، لتحديد احتمال الحصول على كرتين أسودتين ، من الضروري تقسيم عدد المجموعات التي تحتوي على كرتين أسودتين على العدد الإجمالي للتركيبات الممكنة. وبالتالي ، سنحصل على إجابة للمهمة — احتمال الحصول على كرتين أسودتين من جرة بها 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء.
- احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء
- تحديد الاحتمال
- عدد الكرات في الجرة
- عدد الكرات السوداء والبيضاء
- اختيار الكرة الأولى
- اختيار الكرة الثانية
- حساب الاحتمال
- سؤال وجواب
- كم عدد مجموعات هناك التي يمكنك الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 الأبيض و 4 الكرات السوداء?
احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء
تخيل أن لدينا جرة بها 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. مهمتنا هي سحب اثنين من الكرات من الجرة دون العودة وتحديد احتمال أن كل من الكرات المستخرجة سوف تتحول إلى أن تكون سوداء.
نستخدم نظرية التوافقية لإيجاد الاحتمال. للقيام بذلك ، سوف نجد العدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة وعدد النتائج الإيجابية.
1. أوجد عدد جميع النتائج المحتملة:
هناك 10 كرات في الجرة (6 أبيض و 4 أسود) ، وبالتالي فإن إجمالي النتائج المحتملة عند استخراج كرتين ستكون:
ج102 = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2! * 8!) = (10*9) / (2*1) = 45
2. دعونا نجد عدد النتائج الإيجابية:
نحن بحاجة للحصول على اثنين من الكرات السوداء. هناك 4 كرات سوداء متبقية في الجرة ، وبالتالي فإن عدد النتائج الإيجابية سيكون:
ج 42 = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4*3) / (2*1) = 6
3. العثور على احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء:
للقيام بذلك ، قسم عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / عدد جميع النتائج المحتملة = 6/45 = 2/15 = 0.1333 (مقربا إلى 4 منازل عشرية)
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء حوالي 0.1333 أو 13.33٪.
تحديد الاحتمال
الاحتمال هو مقياس كمي يسمح لك بتحديد إمكانية أو استحالة حدوث حدث. يمكن أن يأخذ احتمال حدوث حدث قيما من 0 إلى 1 ، حيث يعني 0 الاستحالة الكاملة لحدوث حدث ، ويعني 1 اليقين المطلق لحدوثه.
لتحديد احتمال حدوث حدث ، يتم استخدام الصيغة التالية:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / عدد جميع النتائج المحتملة
في هذه الحالة ، نريد تحديد احتمال الحصول على كرتين أسودتين من جرة تحتوي على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. عدد النتائج الإيجابية هو عدد الطرق لاختيار 2 كرات سوداء من أصل 4. عدد جميع النتائج المحتملة هو عدد الطرق لاختيار 2 كرات من أصل 10 (العدد الإجمالي للكرات في الجرة).
باستخدام صيغة الاحتمال ، يمكننا حساب:
| عدد النتائج الإيجابية (اختر 2 كرات سوداء من 4) | = | 4! / (2! * 2!) | = | 6 |
| عدد جميع النتائج المحتملة (اختيار 2 كرات من 10) | = | 10! / (2! * 8!) | = | 45 |
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء هو 6/45 ، أي حوالي 0.1333 أو 13.33٪.
عدد الكرات في الجرة
عدد الكرات في الجرة هو مجموع عدد الكرات البيضاء والسوداء.
في هذه الحالة ، تحتوي الجرة على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء.
العدد الإجمالي للكرات في الجرة هو 10 (6 أبيض + 4 أسود).
عدد الكرات السوداء والبيضاء
هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة.
هناك 10 كرات في المجموع في الجرة. من هذه ، 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء.
وبالتالي ، يمكن حساب احتمال الحصول على كرتين أسودتين من الجرة على النحو التالي:
- احتمال الحصول على الكرة السوداء الأولى: ص (أسود) = 4/10 = 2/5;
- احتمال الحصول على الكرة السوداء الثانية بعد الحصول على الكرة السوداء الأولى: ف (أسود / أسود) = (4-1)/(10-1) = 3/9 = 1/3.
من أجل إيجاد الاحتمال الكلي للحصول على كرتين أسودتين ، تحتاج إلى مضاعفة هذين الاحتمالين:
ع (أسود ، أسود) = ع (أسود) * ع (أسود / أسود) = (2/5) * (1/3) = 2/15 ≈ 0.133.
يبلغ إجمالي احتمال إخراج كرتين أسودتين من الجرة حوالي 0.133 أو حوالي 13.3٪.
اختيار الكرة الأولى
قبل حساب احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء ، فمن الضروري النظر في اختيار الكرة الأولى. هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للكرات هو 10.
- إذا تم اختيار كرة سوداء ككرة أولى ، فستبقى 3 كرات سوداء و 6 كرات بيضاء في الجرة.
- إذا تم اختيار كرة بيضاء ككرة أولى ، فستبقى 4 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء في الجرة.
وبالتالي ، فإن احتمال اختيار الكرة السوداء الأولى هو:
ف (الكرة السوداء) = 4/10 = 2/5 = 0.4
احتمال اختيار الكرة البيضاء الأولى هو:
ف (الكرة البيضاء) = 6/10 = 3/5 = 0.6
اختيار الكرة الثانية
إذا تم إخراج كرة سوداء عند الاختيار الأول ، فهناك 5 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء متبقية في الجرة. وبالتالي ، سيتم حساب احتمال الحصول على الكرة السوداء مرة أخرى باستخدام الصيغة:
ع (سحب الكرة السوداء الثانية) = ع (الكرة السوداء الأولى) س ع (الكرة السوداء الثانية / الكرة السوداء الأولى)
أين:
- ف(أول كرة سوداء) — احتمال الحصول على أول كرة سوداء ، وهي 4/10 أو 2/5 (نظرا لوجود 10 كرات فقط في الجرة ، و 4 منها سوداء);
- ص (الكرة السوداء الثانية / الكرة السوداء الأولى) هو الاحتمال الشرطي للحصول على الكرة السوداء الثانية ، بشرط إخراج الكرة السوداء أولا. في ظل هذه الحالة ، هناك 9 كرات متبقية في الجرة ، 3 منها سوداء ، وبالتالي فإن الاحتمال سيكون 3/9 أو 1/3.
وهكذا ، نحصل على:
ف (سحب الكرة السوداء الثانية) = (2/5) س (1/3) = 2/15
لذا ، فإن احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء هو 2/15.
حساب الاحتمال
لحساب احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، فمن الضروري استخدام التوافقية.
في هذه الحالة ، نحن بحاجة لتحديد 2 كرات من العدد الإجمالي للكرات في جرة ، في حين الحصول على اثنين من الكرات السوداء في وقت واحد. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام صيغة الجمع:
كنك = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
أين ن هو عدد العناصر في التحديد ، ك هو عدد العناصر التي سيتم تحديدها.
في حالتنا ، ن هو 10 (العدد الإجمالي للكرات في الجرة) ، و ك هو 2 (عدد الكرات السوداء التي سيتم اختيارها).
وبالتالي ، يمكن حساب عدد الطرق للحصول على 2 كرات سوداء من الجرة على النحو التالي:
| عدد الكرات السوداء (ك) | عدد الطرق (ج 10 ك) |
|---|---|
| 2 | 45 |
العدد الإجمالي للطرق للحصول على 2 كرات من الجرة هو 45.
لحساب الاحتمال ، تحتاج إلى تقسيم عدد من الطرق للحصول على 2 كرات سوداء من قبل العدد الإجمالي للطرق لتحديد 2 كرات:
احتمال = عدد الطرق للحصول على 2 كرات سوداء / إجمالي عدد الطرق لتحديد 2 كرات
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء يساوي:
= 45 / (10 * 9) = 45 / 90 = 0.5
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على اثنين من الكرات السوداء من الجرة في هذه الحالة هو 0.5 أو 50٪.
سؤال وجواب
كم عدد مجموعات هناك التي يمكنك الحصول على اثنين من الكرات السوداء من جرة مع 6 الأبيض و 4 الكرات السوداء?
لحساب عدد المجموعات التي يمكن فيها الحصول على كرتين أسودتين من جرة بها 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، يجب أن نأخذ في الاعتبار الخيارات المختلفة لاختيار كرتين من أصل 10. باستخدام صيغة المجموعات ، نحصل على أن هناك ج (10 ، 2) = 45 مجموعة في المجموع. يوضح هذا الرقم عدد الطرق المختلفة لاختيار 2 كرات من أصل 10.