يعد احتمال سقوط جانب معين من العملة عند رميها أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. في كل مرة نقلب فيها عملة معدنية ، لدينا نتيجتان محتملتان: الرؤوس (الرأس) أو ذيول (الشكل). ومع ذلك ، إذا قلبنا عملة معدنية عدة مرات ، فقد يختلف احتمال حدوث نتائج مختلفة بشكل كبير.
لنفكر، على سبيل المثال ، في احتمال سقوط 5 رؤوس مع 8 قذفات عملة معدنية. لحساب هذا الاحتمال ، يمكننا استخدام التوزيع ذي الحدين. يصف التوزيع ذو الحدين احتمال حدوث عدد معين من النجاحات (الرؤوس) في سلسلة من التجارب المستقلة (قذفات العملات المعدنية).
يمكن كتابة صيغة حساب احتمال رمي العملة على النحو التالي:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * بيكاي * (1-ف) ن-ك
أين: ص (ك) هو احتمال الحصول على ك النجاحات (النسور) ، ج(ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك ، ص هو احتمال النجاح في اختبار واحد (في حالة رمي عملة معدنية ، احتمال سقوط نسر) ، ن هو العدد الإجمالي للتجارب (في حالة رمي عملة معدنية ، عدد الرميات).
- ما هو احتمال 5 النسور سقوطه?
- حساب الاحتمال
- شرح الحساب
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال الحصول على بالضبط 5 النسور مع 8 قذفات عملة?
- ما هي القيم التي يجب استبدالها في صيغة التوزيع ذات الحدين لحساب احتمال 5 سقوط الرؤوس 8 قذفات العملة?
- ماذا سيكون نتيجة لحساب احتمال 5 النسور سقوطه مع 8 قذفات عملة?
- كيف يمكن أن نفسر حساب احتمال 5 النسور سقوطه مع 8 قذفات عملة?
ما هو احتمال 5 النسور سقوطه?
لحساب احتمال سقوط 5 رؤوس مع 8 قذفات عملة ، يمكنك استخدام توزيع ذي الحدين. يستخدم التوزيع ذو الحدين في الحالات التي يكون فيها من الضروري تحديد احتمال حدوث حدث معين لعدد معين من المرات في سلسلة من التجارب المستقلة.
في هذه الحالة ، يكون عدد التجارب 8 (نظرا لأننا نرمي العملة 8 مرات) ، فإن عدد النجاحات هو 5 (نظرا لأننا نحتاج إلى 5 رؤوس للسقوط) ، فإن احتمال النجاح في كل تجربة هو 0.5 (احتمال متساو لرؤوس أو ذيول تسقط عند رمي العملة الخاطئة).
باستخدام صيغة التوزيع ذات الحدين:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك* (1-ص)^(ن-ك)
أين ص (ك) هو احتمال الحصول على ك النجاحات من ن المحاكمات ، ج(ن ، ك) هو عدد مجموعات ن العناصر بواسطة ك ، ص هو احتمال النجاح في كل تجربة (0.5) ، ن هو العدد الإجمالي للمحاكمات (8).
استبدال القيم في الصيغة:
ف (5) = ج(8, 5) * 0,5^5 * (1-0,5)^(8-5)
حساب قيمة ج (8 ، 5) (عدد مجموعات 8 عناصر من 5) ، نحصل على:
ع(5) = 56 * 0,5^5 * (1-0,5)^3
بعد ذلك ، احسب الأجزاء المتبقية من الصيغة:
ص (5) = 0.0547
لذا ، فإن احتمال سقوط 5 رؤوس مع رمي 8 عملات معدنية هو 0.0547 أو 5.47٪.
حساب الاحتمال
لحساب احتمال سقوط 5 نسور مع 8 قذفات عملة ، من الضروري استخدام التوافقية وصيغة برنولي.
احتمال سقوط النسر بإرم عملة واحدة هو 0.5 ، لأن العملة لها جانبان محتملان بنفس القدر. في هذه الحالة ، نحن بحاجة إلى حساب احتمال أن نسر سوف تسقط من 8 قذفات عملة بالضبط 5 مرات.
لحساب الاحتمال ، استخدم صيغة برنولي:
ص (ك) = ج (ن ، ك) * ص^ك * ف^(ن-ك)
- ص (ك) هو احتمال وقوع الحدث ك مرات;
- ج (ن ، ك) هو عدد مجموعات ن بواسطة ك;
- ص هو احتمال حدث واحد (في هذه الحالة ، فقدان نسر);
- س هو احتمال حدوث حدث عكسي (في هذه الحالة ، ذيول);
- ن هو عدد التجارب (في هذه الحالة ، قذفات العملة);
- ك هو عدد حوادث الحدث.
في حالتنا:
- ن = 8 (عدد قذفات العملة);
- ك = 5 (عدد مرات سقوط النسر);
- ص = 0.5 (احتمال سقوط نسر);
- س = 0.5 (احتمال ذيول).
ف (5) = ج(8, 5) * 0,5^5 * 0,5^(8-5)
يمكن إجراء حساب عدد المجموعات باستخدام الصيغة:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!)
في حالتنا:
ج (8 ، 5) = 8! / (5! * (8-5)!)
نقوم بإجراء الحساب:
| ج (8 ، 5) = | 8! / (5! * 3!) | = | 8 * 7 * 6 / (3 * 2 * 1) | = | 56 |
نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة الاحتمال:
ع(5) = 56 * 0,5^5 * 0,5^(8-5)
نقوم بإجراء الحساب:
| ف (5) = | 56 * 0,5^5 * 0,5^3 | = | 56 * 0,03125 * 0,125 | = | 0,21875 |
وبالتالي ، فإن احتمال سقوط 5 رؤوس مع رمي 8 عملات معدنية هو 0.21875 ، أو 21.875٪.
شرح الحساب
لحساب احتمال سقوط 5 نسور مع 8 رميات عملة ، يمكننا استخدام التوافقية.
أولا ، تحتاج إلى فهم عدد النتائج المحتملة هناك مع 8 قذفات عملة. هناك نوعان من النتائج المحتملة في كل عملة إرم-رؤساء أو ذيول. لذلك ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 2 لقوة 8 (2^8).
لإيجاد عدد النتائج الإيجابية ، أي عدد النتائج عندما تسقط خمسة نسور بالضبط ، يمكننا استخدام المعامل ذي الحدين. يمكن حساب المعامل ذي الحدين باستخدام الصيغة:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك! * (ن-ك)!),
أين ن هو عدد المحاولات (قذفات العملة) ، و ك هو عدد النتائج الناجحة (قطرة النسر).
في حالتنا ، نريد إيجاد عدد النتائج الإيجابية لـ ك = 5 و ن = 8:
ج (8 ، 5) = 8! / (5! * (8 — 5)!) = 8! / (5! * 3!) = 8 * 7 * 6 / (3 * 2 * 1) = 56.
وبالتالي ، لدينا 56 نتيجة إيجابية مع 8 قذفات عملة ، عندما تسقط خمسة نسور بالضبط.
أخيرا ، للعثور على احتمال الحصول على خمسة نسور بالضبط ، تحتاج إلى قسمة عدد النتائج الإيجابية على العدد الإجمالي للنتائج المحتملة:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج = 56 / (2^8).
وهذا يعطينا احتمال النهائي من 5 رؤساء مع 8 قذفات عملة.
سؤال وجواب
ما هو احتمال الحصول على بالضبط 5 النسور مع 8 قذفات عملة?
يمكن حساب احتمال الحصول على 5 نسور بالضبط مع 8 قذفات عملة باستخدام توزيع ذي الحدين. يتم حساب هذا الاحتمال باستخدام الصيغة ص (س = ك)=ج(ن ، ك) * ص^ك * (1-ص)^(ن-ك) ، أين ص(س = ك) هو احتمال سقوط رؤوس ك ، ن هو العدد الإجمالي لرمي العملات ، ك هو عدد النجاحات (النسور) ، ص هو احتمال سقوط نسر على لفة واحدة (عادة 0.5 لعملة متناظرة).
ما هي القيم التي يجب استبدالها في صيغة التوزيع ذات الحدين لحساب احتمال 5 سقوط الرؤوس 8 قذفات العملة?
لحساب احتمال سقوط 5 رؤوس مع 8 رميات عملة معدنية ، يجب استبدال القيم التالية في صيغة التوزيع ذات الحدين: ن = 8 (العدد الإجمالي للرميات) ، ك = 5 (عدد النتائج الناجحة ، أي الرؤوس) ، ص = 0.5 (احتمال سقوط نسر بلفافة واحدة من عملة متماثلة).
ماذا سيكون نتيجة لحساب احتمال 5 النسور سقوطه مع 8 قذفات عملة?
ستكون نتيجة حساب احتمال سقوط 5 رؤوس مع 8 قذفات عملة رقما يمثل احتمال هذا الحدث. في هذه الحالة ، ستعتمد النتيجة على قيمة احتمال سقوط نسر على عملة واحدة. على سبيل المثال ، إذا كان الاحتمال 0.5 ، فستكون النتيجة: 0.21875.
كيف يمكن أن نفسر حساب احتمال 5 النسور سقوطه مع 8 قذفات عملة?
ويستند حساب احتمال 5 النسور سقوطه مع 8 قذفات عملة على تطبيق توزيع ذات الحدين. هذا توزيع إحصائي يستخدم لحساب احتمالات الأحداث الثنائية (نتيجتان محتملتان: النجاح والفشل). في هذه الحالة ، نطبق صيغة التوزيع ذات الحدين ، حيث ن هو عدد قذفات العملة ، ك هو عدد النتائج الناجحة (الرؤوس) ، ص هو احتمال النجاح (احتمال سقوط نسر على لفة واحدة).