اثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن

يعد تقسيم الأرقام ودراسة خصائصها جزءا مهما من الرياضيات. في هذه المقالة ، سننظر في خاصية واحدة مثيرة للاهتمام:قسمة الرقم ن3 على 24 لأي ن فردي.

لإثبات هذا البيان ، سوف نستخدم طريقة الحث الرياضي. تعتمد هذه الطريقة على مبدأ إثبات البيانات لمجموعة لا حصر لها من الأرقام ، باستخدام دليل لرقم واحد والانتقال منه إلى التالي.

دعونا ن يكون عدد فردي. النظر ن3. منذ ن غريب ، يمكن تمثيله كـ ن = 2ك + 1 ، أين ك هو عدد صحيح. لنستبدل هذه القيمة في الصيغة ن3: (2 كيلو + 1) 3 = 8 كيلو 3 + 12 كيلو 2 + 6 كيلو + 1.

الآن دعونا ننظر إلى التعبير الناتج. لاحظ أن كل مصطلح من المصطلحات 8 ك 3 و 12 ك 2 و 6 ك هو حاصل ضرب مضاعف 8 وبعض الأعداد الصحيحة. إذن هذه الحدود الثلاثة قابلة للقسمة على 8 بدون الباقي.

دعونا نضيف عبارة أولية أخرى: كل رقم قابل للقسمة على 1 بدون الباقي. وبالتالي ، فإن مجموع جميع الأعضاء 8 ك 3 + 12 ك 2 + 6 ك + 1 مقسوما على 8 + 1 = 9 بدون الباقي.

1. الفكرة الرئيسية
2. البيانات الأولية
3. بيان المشكلة
4. مقرر
5. دليل
6. التعميم
7. سؤال وجواب
8. كيف يمكننا إثبات ذلك ن 3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن?
9. هل يمكنك شرح السبب ن 3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن?

الفكرة الأساسية

لإثبات أن أي رقم فردي في المكعب يقبل القسمة على 24 ، يمكنك استخدام طريقة الحث الرياضي.

الاستقراء هو طريقة رياضية تستخدم لإثبات عبارات النموذج " لجميع الأعداد الطبيعية...".

يتم تنفيذ الدليل في جزأين:

1. الخطوة الأساسية: نثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة للقيمة الأولية (عادة لـ ن=1).
2. خطوة الاستقراء: نفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض القيمة ك وإثبات أنها صحيحة بالنسبة للقيمة ك + 1.

في هذه الحالة ، الفكرة الرئيسية هي إثبات ذلك لأي عدد فردي ن في المكعب سيكون قابلا للقسمة على 24. سنبدأ بالقيمة الأساسية لـ ن = 1 وإثبات أن البيان صحيح بالنسبة لها. ثم نفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة للبعض عدد فردي ك وإثبات أنه صحيح بالنسبة لـ ك + 2 ، وهلم جرا.

وهكذا ، باستخدام طريقة الحث الرياضي ، يمكننا إثبات ذلك ن في المكعب يقبل القسمة على 24 لأي فردي ن.

البيانات الأولية

في المشكلة ، من الضروري إثبات أن مكعب الرقم الفردي قابل للقسمة على 24 بدون الباقي.

عدد فردي ن يعطى.

• مطلوب لإثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 24.

صياغة المشكلة

أثبت أنه بالنسبة لأي رقم فردي ن ، الرقم ن في المكعب يقبل القسمة على 24.

مقرر

لإثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي فردي ن ، يمكننا استخدام طريقة الحث الرياضي.

1. الخطوة الأساسية:

إلى عن على ن = 1 ، نحصل على 13 = 1 ، وهو قابل للقسمة على 24 بدون الباقي ، لأن 24 * 0 = 0.

2. الافتراض:

لنفترض أن العبارة صحيحة بالنسبة لبعض الأرقام الفردية ك ، أي ك3 يقبل القسمة على 24.

3. الانتقال التعريفي:

دعنا نثبت أن العبارة صحيحة لـ (ك + 2) ، أي (ك+2) 3 سيكون أيضا قابلا للقسمة على 24.

دعونا توسيع التعبير (ك + 2) 3: (ك + 2) 3 = ك3 + 3ك2 * 2 + 3ك·22 + 23

منذ ك3 يقبل القسمة على 24 بافتراض الاستقراء ، يبقى إثبات أن باقي قسمة 3 ك2·2 + 3 ك·22 + 23 على 24 يساوي صفرا.

دعونا نشير م = 3ك2 * 2 + 3ك·22 + 23. دعونا توسيع التعبير م: م = 3 (2ك2) + 3 (4ك) + 8 = 6ك2 + 12ك + 8

لاحظ أن كل مصطلح في التعبير م يقبل القسمة على 2 بدون الباقي ، منذ ذلك الحين ك هو رقم فردي (بافتراض) و 2 في كل حد.

وهكذا ، م سيكون أيضا قابلا للقسمة على 2 بدون الباقي.

منذ م يقبل القسمة على 2 و ك3 يقبل القسمة على 24 ، مجموع م + ك3 سيكون أيضا قابلا للقسمة على 24.

4. خاتمة:

وهكذا ، أثبتنا ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن باستخدام طريقة الحث الرياضي.

وهكذا ، ثبت البيان.

دليل

لإثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي فردي ن ، يمكننا استخدام طريقة الحث الرياضي.

الخطوة الأساسية:

إلى عن على ن = 1 ، لدينا 13 = 1 ، وهو قابل للقسمة على 24 بدون الباقي ، منذ ذلك الحين 24 * 0 + 1 = 1.

خطوة الحث:

لنفترض أنه بالنسبة لبعض الغريب ك ، ك3 يقبل القسمة على 24 بدون الباقي ، أي ك3 = 24 م لبعض الأعداد الصحيحة م.

النظر (ك + 2) 3:

(ك + 2) 3 = ك3 + 3ك2 * 2 + 3ك * 22 + 23 = ك3 + 6ك2 + 12ك + 8.

منذ ك3 يقبل القسمة على 24 بدون الباقي ، يمكننا الكتابة ك3 = 24م:

(ك + 2) 3 = 24 م + 6 ك 2 + 12 ك + 8 = 24 م + 6 ك(ك + 2) + 8.

نرى أن الحد الثالث ، 6ك (ك + 2) ، يقبل القسمة على 24 بدون الباقي ، لأنه حاصل ضرب رقمين فرديين (ك و ك + 2).

الحد الثالث قابل للقسمة أيضا على 8 بدون الباقي ، لأنه يحتوي على عامل 12 كيلو ، وهو بالفعل قابل للقسمة على 8.

وهكذا ، (ك + 2) 3 يقبل القسمة أيضا على 24 بدون الباقي.

خاتمة:

لقد أثبتنا أنه إذا كان لبعض عدد فردي ك صحيح أن ك3 يقبل القسمة على 24 بدون باقي ، ثم بالنسبة للرقم (ك + 2) صحيح أيضا أن (ك + 2)3 مقسوما على 24 بدون باقي.

وهكذا ، وفقا لمبدأ الحث الرياضي ، ن3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن.

التعميم

وهكذا ، أثبتنا أنه بالنسبة لأي عدد فردي ن ، فإن مكعب هذا الرقم ن3 سيكون قابلا للقسمة على 24. باستخدام هذا التعميم ، يمكننا بسهولة حساب المكعب لأي عدد فردي والتأكد من أنه سيكون مضاعفا لـ 24.

سؤال وجواب

كيف يمكننا إثبات ذلك ن 3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن?

لإثبات هذا البيان ، يمكنك استخدام طريقة الحث الرياضي. الخطوة الأولى هي التحقق من قاعدة الحث لـ ن=1. في هذه الحالة ، 13 هو 1 ، و 1 يقبل القسمة بالفعل على 24 ، لأن 24 هو حاصل ضرب 1 و 24. لنفترض الآن أن العبارة صحيحة بالنسبة للبعض ك، أي ك3 يقبل القسمة على 24. دعونا نثبت أن هذا البيان ينطبق أيضا على ك+2. لدينا (ك + 2) 3 = ك3 + 6ك2 + 12ك + 8. باستخدام افتراض الاستقراء ، لاحظ ذلك ك3 يقبل القسمة على 24. لاحظ أيضا أن 6ك2 + 12ك هو نتاج 6 و ك ، والعنصر الثاني قابل للقسمة على 24. أخيرا ، 8 يقبل القسمة على 24 ، لأن 24 هو حاصل ضرب 8 و 3. إذن ، بتطبيق افتراض الاستقراء ، نحصل على ذلك (ك+2)3 يقبل القسمة أيضا على 24. وهكذا ، أثبتنا ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن.

هل يمكنك شرح السبب ن 3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن?

بالطبع! لإثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي فردي ن ، يمكننا استخدام حقيقة أنه يمكن تمثيل 24 كمنتج 2 و 12. لاحظ أن مكعب رقم فردي سيمثل رقما فرديا. وبما أن 2 هو المقسوم على 24 ، فإن 2 سيكون المقسوم على المكعب المنتج ، أي ن3 يقبل القسمة على 2. الآن دعنا ننتبه إلى حقيقة أن المقسوم الثاني على 24 هو 12. لإثبات ذلك ن3 يقبل القسمة على 12 ، يكفي إظهار ذلك ن3 يقبل القسمة على 6 ، لأن 6 يقبل القسمة على 12. منذ ن هو رقم فردي ، ن يمكن تمثيله كـ 2ك + 1 ، أين ك هو عدد صحيح. استبدل هذا التعبير في ن3: (2ك+1)3 = 8ك3+12ك2+6ك+1. لاحظ أن 12 ك 2 هو مضاعف 12 ، و 6 ك هو أيضا مضاعف 6. لذلك ، فإن مجموع هذين التعبيرين و 1 يقبل القسمة على 12. وهكذا ، أثبتنا ذلك ن3 يقبل القسمة على 24 لأي غريب ن.