قيم ص التي نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص ليس له حلول

أنظمة المعادلات هي واحدة من الأشياء الأساسية في الجبر والتحليل الرياضي. حل نظام المعادلات هو مجموعة من قيم المتغيرات التي يتم فيها تنفيذ جميع معادلات النظام في وقت واحد. ومع ذلك ، ليست كل أنظمة المعادلات لها حلول. في هذه المقالة ، سننظر في نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص وتحديد قيم المعلمة ص التي لا يوجد للنظام حل لها.

أولا ، لنلق نظرة على معادلتي النظام. المعادلة الأولى س + ص = 1 هي معادلة خط مستقيم مع ميل -1 ، والمعادلة الثانية ص-س = 2ص هي أيضا معادلة خط مستقيم مع ميل 1. من وجهة نظر هندسية ، لا يوجد لنظام المعادلات حلول إذا وفقط إذا كانت الخطوط التي قدمتها المعادلات متوازية ولا تتقاطع.

لذلك ، من أجل إيجاد قيم المعلمة ص التي لا يوجد لنظام المعادلات حلول لها ، نحتاج إلى إيجاد قيم ص التي تكون فيها منحدرات الخطوط المعطاة بواسطة المعادلات متساوية ولا تساوي -1.

لذلك ، من أجل إيجاد قيم ص التي لا يوجد لنظام المعادلات حلول لها ، من الضروري مساواة منحدرات الخطوط المستقيمة بالمعاملات قبل المتغيرات في المعادلات. أي أنه علينا مساواة -1 إلى 1 وحل المعادلة الناتجة:

-1 = 1

من الواضح أن هذه المعادلة مستحيلة ، لأن -1 لا يساوي 1. لذلك ، فإن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لا يوجد لديه حلول لأي قيم للمعلمة ص.

1. القيم التي لا يوجد لدى نظام المعادلات حلول لها
2. قيمة ص حيث لا يوجد لدى نظام المعادلات حلول
3. أمثلة على قيمة ص لنظام المعادلات بدون حلول
4. دليل على عدم وجود حلول لقيمة محددة من ص
5. الاعتماد على عدم وجود حلول على قيمة ص
6. تطبيق نظام المعادلات بدون حلول في المشاكل العملية
7. سؤال وجواب
8. ما هي قيم ص تؤدي إلى حقيقة أن نظام المعادلات ليس له حلول?
9. كيف يمكن للمرء تحديد ما إذا كان نظام المعادلات لديه حل اعتمادا على قيمة ص?
10. ما هي قيم ص تؤدي إلى حقيقة أن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لا يوجد لديه حلول?

القيم التي لا يوجد لدى نظام المعادلات حلول لها

النظر في نظام المعادلات:

من أجل العثور على قيم ص التي لا يوجد لدى النظام حلول لها ، من الضروري تحليل ظروف عدم قابليتها للذوبان.

1. إذا كان نظام المعادلات متناقضا ، أي يؤدي إلى بيان متناقض ، فلا يوجد لديه حلول. على سبيل المثال ، إذا كان في المعادلة الأولى س + ص = 1 ، وفي الثانية ص — س = 2ص ، ثم اجمع كلتا المعادلتين واحصل على ص + ص = 1 + 2ص ، وهو 2 ص = 1 + 2ص. إذا كانت معاملات ص متساوية ، نحصل عليها 2ص = 1 + 2ص ، إذا لم تكن متساوية ، فإن التناقض ينشأ في البداية. حالة عدم الاتساق: 1 = 1 + 2 وعاء.
2. إذا كان نظام المعادلات غير محدد ، أي أنه يؤدي إلى بيان بدون قيمة معينة من المتغيرات ، فإنه لا يوجد لديه حلول. على سبيل المثال ، إذا كان في المعادلة الأولى س + ص = 1 ، وفي الثانية ص — س = 2ص ، ثم طرح المعادلة الثانية من الأولى والحصول على (س + ص) — (ص — س) = 1-2ص ، وهو 2 س = 1-2ص. إذا كانت معاملات س متساوية ، ثم نحصل على 2 س = 1-2ص ، إذا لم تكن متساوية ، ثم ينشأ التناقض في البداية. حالة عدم اليقين: 1 = 1-2 وعاء.

وبالتالي ، فإن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لا يوجد لديه حلول لقيم ص تلبية شروط التناقض أو عدم اليقين ، أي ص يجب أن تكون مساوية لـ -1 / 2. نتيجة لذلك ، لا يوجد لدى نظام المعادلات حلول في ص = -1/2.

قيمة ص حيث لا يوجد لدى نظام المعادلات حلول

النظر في نظام المعادلات:

من أجل عدم وجود حلول للنظام ، من الضروري والكافي أن تكون المعادلات الناتجة غير متوافقة. في هذه الحالة ، هذا يعني أن الرسوم البيانية الخاصة بهم يجب أن تكون متوازية ويجب ألا تتداخل.

المعادلة الأولى للنظام س + ص = 1 هي معادلة خط مستقيم يمر عبر النقاط (1 ، 0) و (0 ، 1). المعادلة الثانية ص-س = 2ص هو أيضا خط مستقيم ، لكنه يمر عبر النقاط (-2ص, -ص) و (2ص, ص).

من أجل تحديد قيم ص التي لا يوجد للنظام حلول لها ، يجب أن نجد مثل هذه القيم التي لا تتقاطع فيها الخطوط. إذا كان للمعادلتين نفس المنحدرات وشروط حرة مختلفة ، فهي متوازية ولا تتقاطع. في حالتنا ، تحتوي كلتا المعادلتين على ميل 1 ومصطلحات حرة مختلفة (1 و 2ص) ، وبالتالي فإن نظام المعادلات ليس له حلول لأي قيمة ص.

لذا فإن الإجابة على السؤال هي: نظام المعادلات ليس له حلول لأي قيمة ص.

أمثلة على قيمة ص لنظام المعادلات بدون حلول

النظر في نظام معادلات النموذج:

لتحديد قيم المعلمة ص لن يكون للنظام حلول ، يمكننا تطبيق طريقة استبعاد المتغيرات. دعونا ننظر في حالتين محتملتين.

الحالة 1: ع = 0

استبدل قيمة ص = 0 في المعادلة الثانية:

من المعادلة الأولى ، س يمكن التعبير عنها من حيث ص: س = 1-ص. دعنا نستبدل هذا في المعادلة الثانية:

وهكذا ، عندما ص = 0 ، يحتوي النظام على حل (س = 1/2 ، ص = 1/2).

الحالة 2: ف 0 0

استبدل قيمة 2ص في المعادلة الثانية:

من المعادلة الأولى ، س يمكن التعبير عنها من حيث ص: س = 1-ص. دعنا نستبدل هذا في المعادلة الثانية:

عندما تكون قيمة ص هي 0 ، يكون للنظام حل (س = 1 - (4ص + 1)/2 ، ص = (4ص + 1)/2).

وبالتالي ، فإن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لا يوجد لديه حلول لأي قيم ص باستثناء ص = 0 .

دليل على عدم وجود حلول لقيمة محددة من ص

النظر في نظام المعادلات:

من أجل إيجاد حل لنظام المعادلات هذا ، يمكننا إجراء عدد من التحولات الجبرية:

1. من المعادلة 1 ، نعبر عن المتغير س:

1. استبدل التعبير الناتج عن س في المعادلة 2:

1. دعونا نجعل تخفيض وجمع كل المتغيرات ص في مصطلح واحد:

1. نقل -1 إلى الجانب الآخر والتعبير عن ذ:

وبالتالي ، نحصل على تعبير عن ص من خلال المتغير ص.

ومع ذلك ، لكي يكون للنظام حل ، يجب أن تكون قيم س و ص متسقة مع كلتا المعادلتين في نفس الوقت.

باستخدام التعبير الموجود لـ ص ، نستبدله في المعادلة الأولى:

التخلص من المقام ، نحصل على:

مزيد من التحولات تسمح لنا بالتعبير س من حيث ص:

وهكذا ، حصلنا على تعبير لـ س من خلال المتغير ص.

ومع ذلك ، في نظام المعادلات هذا ، استعلام السكان ، يجب أن تكون قيم س و ص متسقة مع كلتا المعادلتين في نفس الوقت. هذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد قيمة ص حيث لا توجد حلول لكلتا المعادلتين في نفس الوقت.

دعنا ننتبه إلى التعبيرات التي تم الحصول عليها لـ س و ص:

1. س = (1-2 ص) / 2
2. ص = (2ص + 1) / 2

إذا كانت قيم س و ص هي حلول للنظام ، يجب أن تفي بكلتا المعادلتين في وقت واحد. بمعنى ، إذا استبدلنا هذه القيم في كلتا معادلتي النظام ، فيجب تحقيق المساواة التالية:

1. (1-2 وعاء) / 2 + (2 وعاء + 1) / 2 = 1
2. (2 وعاء + 1) / 2 - (1-2 وعاء) / 2 = 2 وعاء

استبدل قيم المتغير ص وتبسيط التعبيرات:

1. (1-2 وعاء + 2 وعاء + 1) / 2 = 1
2. (2 وعاء + 1 — 1 + 2 وعاء) / 2 = 2 وعاء

تبسيط التعبيرات التي تم الحصول عليها ، نحصل على:

1. 2 / 2 = 1
2. 4 وعاء / 2 = 2 وعاء

وهكذا ، تتحول كلتا المعادلتين إلى مساواة حقيقية لأي قيمة ص. هذا يعني أن النظام لديه حل للجميع ص القيم.

لذلك ، فإن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لديه حل لأي قيمة ص.

الاعتماد على عدم وجود حلول على قيمة ص

النظر في نظام معادلات النموذج:

س + ص = 1,

ص-س = 2 ص.

من أجل تحديد قيم ص هذا النظام ليس له حلول ، فكر في حالتين:

1. الحالة 1: إذا ص = 0 .

بديل ص = 0 في المعادلة الثانية للنظام:

ص-س = 2 * 0,

ص-س = 0.

لاحظ أن المعادلة الثانية تصبح متطابقة عند ص = 0 ، مما يعني أنها لا تحتوي على معلومات حول المتغيرين س و ص ولا تؤثر على حلول المعادلة الأولى. لذلك ، لا يوجد لدى النظام حلول إلا عندما ص = 0 .

1. الحالة 2: إذا ص 0 0.

استبدل ص 0 0 في المعادلة الثانية للنظام:

ص-س = 2 ص.

لاحظ أن هذه المعادلة هي معادلة خطية مع متغيرين س و ص. المعاملات أمام هذه المتغيرات هي -1 و 1. نظرا لأن المعاملات ليست صفرا و ص هو 0 ، فهذا يعني أن النظام لديه حلول لأي قيم ص بخلاف الصفر.

إذن ، نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص ليس له حلول فقط في ص = 0 .

تطبيق نظام المعادلات بدون حلول في المشاكل العملية

نظام المعادلات هو أداة قوية لحل العديد من المشاكل العملية. في معظم الحالات ، تحتوي أنظمة المعادلات على حلول تسمح لك بالعثور على قيم المتغيرات غير المعروفة. ومع ذلك ، هناك حالات عندما لا يكون لنظام المعادلات حلول.

إحدى هذه المواقف هي الحالة التي يكون فيها نظام معين من المعادلات متناقضا ، أي أن المعادلات متناقضة مع بعضها البعض. في هذه الحالة ، هندسيا ، هذا يعني أن الرسوم البيانية للمعادلات لا تتقاطع ولا تحتوي على نقاط مشتركة.

ضع في اعتبارك مثالا: نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2 ص. يمكن كتابة نظام معين كـ:

النظام 1:

1) س + ص = 1

2) ص-س = 2 ص

لتحديد قيم ص التي لا يوجد لنظام المعادلات حلول لها ، نقوم بتحويل معادلات النظام:

النظام 2:

1) ص = 1-س

2) ص = 2ص + س

لكي يكون نظام المعادلات بدون حلول ، يجب أن تكون الرسوم البيانية للمعادلات متوازية ، أي أن معاملاتها الزاوية يجب أن تكون متساوية. لذلك ، نساوي الأضلاع اليمنى للمعادلات من النظام 2:

1-س = 2ص + س

تحويل المعادلة:

2س = 1-2 وعاء

من هذه المعادلة ، س يمكن التعبير عنها من حيث ص:

س = (1-2 ص) / 2

الآن النظر في الحالة التي النظام 1 ليس لديه حلول. إذا لم يكن للنظام حلول ، فإن الرسوم البيانية لمعادلات النظام 1 تكون متوازية ولا تتقاطع. أي أن قيم س و ص التي تحددها المعادلات لا تفي بالشرط. حل هذه المشكلة ممكن إذا أخذنا في الاعتبار قيم ص ، حيث س و ص من النظام 1 تلقي قيم مختلفة عند حسابها باستخدام معادلات النظام 2.

النظر في مثال مع ص = 2. استبدل هذه القيمة في المعادلة س = (1-2ص) / 2:

عاشرا = (1 — 2 * 2) / 2 = (1 — 4) / 2 = -3 / 2

الآن استبدل القيمة الموجودة لـ س في المعادلة ص = 1-س:

ذ = 1 — (-3 / 2) = 1 + 3 / 2 = 5 / 2

القيم التي تم الحصول عليها س = -3 / 2 و ص = 5 / 2 ليست حلولا للنظام 1 ، لأنه عند استبدال القيم في معادلات النظام 2 ، فإنها لا تفي بشرط النظام. هذا يعني أن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 4 ليس له حلول في ص = 2.

وبالتالي ، فإن استخدام نظام المعادلات بدون حلول يجعل من الممكن حل المشكلات العملية التي يكون من الضروري فيها تحديد قيم المعلمات التي لا يوجد لنظام معين حلول لها. يمكن أن يكون هذا مفيدا في نمذجة العمليات المادية والاقتصادية المختلفة وتحليل البيانات والمجالات الأخرى.

سؤال وجواب

ما هي قيم ص تؤدي إلى حقيقة أن نظام المعادلات ليس له حلول?

نظام المعادلات ليس له حلول إذا كانت قيم ص تلبية شرط أن معاملات المتغيرات س و ص في كلتا المعادلتين مختلفة. أي إذا كان المعامل عند س في المعادلة الأولى لا يساوي المعامل عند ص ، وفي المعادلة الثانية لا يساوي المعامل عند س المعامل المقابل عند ص ، فإن النظام ليس له حلول.

كيف يمكن للمرء تحديد ما إذا كان نظام المعادلات لديه حل اعتمادا على قيمة ص?

لتحديد ما إذا كان نظام المعادلات له حل أم لا ، تحتاج إلى مقارنة معاملات المتغيرات س و ص في كلتا المعادلتين. إذا كانت هي نفسها ، فإن النظام لديه العديد من الحلول بلا حدود. إذا كانت المعاملات مختلفة ، فإن النظام ليس لديه حلول. في هذه الحالة ، لا يوجد لدى النظام حلول إذا كانت معاملات س في المعادلتين الأولى والثانية غير متساوية.

ما هي قيم ص تؤدي إلى حقيقة أن نظام المعادلات س + ص = 1 و ص-س = 2ص لا يوجد لديه حلول?

نظام المعادلات س + ص = 1 و ص — س = 2ص ليس له حلول إذا كان المعامل عند س في المعادلة الأولى (1) لا يساوي المعامل عند ص (1) ، والمعامل عند س في المعادلة الثانية (-1) لا يساوي المعامل المعاكس عند ص (-2ص).