الهندسة هي واحدة من أكثر مجالات الرياضيات إثارة وإثارة للاهتمام. في ذلك ، ندرس الأشكال المكانية وخصائصها وتفاعلاتها. تتمثل إحدى المهام الرئيسية للهندسة في العثور على نقاط تقاطع الكائنات الهندسية المختلفة.
في هذه المقالة ، سننظر في مشكلة العثور على نقطة تقاطع مقطع مع المحور الإحداثي. المقطع هو جزء من خط مستقيم يحده نقطتان. المحور الإحداثي هو خط عمودي يتم فيه تعيين إحداثيات نقاط النموذج (0 ، ص).
النظر في مثال على المشكلة: يتم إعطاء جزء أب مع إحداثيات النقاط أ(2 ، 6) و ب(3 ، 2). من الضروري العثور على نقطة تقاطع هذا الجزء مع المحور الإحداثي. لحل هذه المشكلة ، سنحتاج إلى استخدام نظام إحداثيات وصيغ للعمل مع الشرائح.
- مشكلة الهندسة: إيجاد نقطة تقاطع المقطع والمحور الإحداثي
- تعريف الجزء والمحور الإحداثي
- المهمة: العثور على إحداثيات نقطة التقاطع
- الخطوة 1: تعريف معادلة الخط المستقيم
- الخطوة 2: إدخال إحداثيات نقاط المقطع
- الخطوة 3: حل المعادلة لإيجاد إحداثيات نقطة التقاطع
- الجواب: إحداثيات نقطة تقاطع المقطع والمحور الإحداثي
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني العثور على إحداثيات نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع محور تنسيق?
- كيف يمكنني العثور على نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع محور تنسيق?
- كيف يمكنني العثور على نقطة تقاطع قطعة يحددها إحداثيات (2,6) وب (3,2) مع محور تنسيق?
- هل من الممكن العثور على نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع المحور الإحداثي?
مشكلة الهندسة: إيجاد نقطة تقاطع المقطع والمحور الإحداثي
ضع في اعتبارك مشكلة هندسية تحتاج فيها إلى العثور على نقطة تقاطع مقطع ومحور التنسيق. للقيام بذلك ، يتم إعطاء شريحة محددة من قبل نقطتين:
- النقطة أ مع الإحداثيات (2 ، 6)
- النقطة ب مع الإحداثيات (3 ، 2)
لإيجاد نقطة تقاطع المقطع أب مع المحور الإحداثي ، نحتاج إلى إيجاد قيمة الإحداثي ص لهذه النقطة عندما س يساوي صفرا.
ضع في اعتبارك معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ و ب.
يمكن العثور على معامل ميل الخط المستقيم (ك) باستخدام الصيغة:
ك = (يب-ي) / (خ م-زا)
استبدال قيم إحداثيات النقاط أ و ب ، نحصل على:
ك = (2 — 6) / (3 — 2) = -4 / 1 = -4
الآن بعد أن أصبح لدينا قيمة معامل الانحدار ، يمكننا إيجاد نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي عن طريق الاستبدال س = 0 في معادلة الخط المستقيم:
ص-يا = ك (س-س)
ص - 6 = -4 (0-2)
ص — 6 = -4 (-2)
ص - 6 = 8
ص = 8 + 6
ص = 14
وبالتالي ، فإن نقطة تقاطع الجزء أب مع المحور الإحداثي لها إحداثيات (0 ، 14).
تعريف الجزء والمحور الإحداثي
المقطع المستقيم هو جزء من خط مستقيم بين نقطتين يحتوي على هاتين النقطتين وجميع النقاط الأخرى الواقعة بينهما. لديها نقطة بداية ونقطة نهاية. في هذه المشكلة ، يشار إلى المقطع على أنه [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)].
المحور الإحداثي هو خط عمودي على مستوى الإحداثيات عمودي على محور الإحداثي السيني (الخط الأفقي). يمر عبر الأصل ويستخدم لقياس القيم عند المحور الرقمي.
للعثور على نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي ، تحتاج إلى إيجاد القيمة الإحداثية (إحداثيات ص) لهذه النقطة. للقيام بذلك ، يمكنك رسم خط يمر عبر نقطتين محددتين والعثور على نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور الإحداثي.
المهمة: العثور على إحداثيات نقطة التقاطع
يتم إعطاء المهمة: من الضروري إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي.
لحل هذه المشكلة ، يمكنك استخدام الأساليب الهندسية. المحور الإحداثي هو خط عمودي تكون فيه جميع القيم س صفرا. سيكون لنقطة تقاطع المقطع مع المحور الإحداثي إحداثيات (س ، 0) ، حيث س هو تنسيق نقطة التقاطع على محور الإحداثي السيني.
للعثور على إحداثيات س لنقطة التقاطع ، من الضروري حل المعادلة المقابلة لمعادلة خط مستقيم يمر عبر النقطتين أ و ب. بشكل عام ، معادلة الخط المستقيم لها الشكل ص = ك س + ب ، أين ك هو معامل ميل الخط المستقيم ، ب هو المصطلح الحر.
لإيجاد معامل الانحدار والمصطلح الحر للخط ، تحتاج إلى استخدام الصيغة ك = (ص2-ص1) / (س2-س1) واستبدال القيم من النقطتين أ و ب. نحصل على ذلك ك = (2 — 6) / (3 — 2) = -4.
إذن ، معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ و ب لها الشكل ص = - 4س + ب. لإيجاد المصطلح الحر ب ، استبدل أيا من النقاط (على سبيل المثال ، أ) في المعادلة وحل المعادلة الناتجة: 6 = -4 * 2 + ب ، من أين ب = 6 + 8 = 14.
وبالتالي ، فإن معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ و ب لها الشكل ص = - 4س + 14. لإيجاد نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي ، استبدل ص = 0 في المعادلة وابحث س: 0 = -4س + 14 ، من أين س = 14 / 4 = 3.5.
لذلك ، نحصل على إحداثيات نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي: (3.5 ، 0).
الخطوة 1: تحديد معادلة الخط المستقيم
من أجل العثور على نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي ، من الضروري تحديد معادلة الخط الذي يحتوي على هذا المقطع.
يمكن إعطاء معادلة الخط المستقيم بشكل عام: ص = مكس + ب ، أين م هو معامل ميل الخط المستقيم ، ب هو المصطلح الحر.
لتحديد معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطتين محددتين ، من الضروري إيجاد قيمة معامل الانحدار م.
يمكن العثور على قيمة معامل الانحدار م باستخدام الصيغة: م = (ص2 — ص1) / (س2 — س1) ، حيث (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) هي إحداثيات النقاط المحددة.
بالنسبة للجزء [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] ، إحداثيات النقاط (س1 ، ص1) و (س2 ، ص2) تساوي (2 ، 6) و (3 ، 2).
استبدل قيم الإحداثيات في الصيغة وابحث عن قيمة معامل الانحدار م:
| ميم = (2 — 6) / (3 — 2) |
|---|
| م = -4 / 1 |
| م = -4 |
وبالتالي ، فإن معامل الانحدار م يساوي -4.
أن تستمر…
الخطوة 2: إدخال إحداثيات نقاط المقطع
من أجل إيجاد نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي ، تحتاج إلى استبدال إحداثيات هذه النقاط في معادلة خط مستقيم مواز للمحور الإحداثي. في معادلة الخط المستقيم الموازي للمحور الإحداثي ، يكون للإحداثي السيني (س) قيمة ثابتة ، والإحداثي (ص) له متغير.
يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم الموازي للمحور الإحداثي على النحو التالي:
| س = | ثابت |
حيث "ثابت" هي قيمة الإحداثي السيني (س) من نقاط الجزء.
وهكذا ، باستبدال إحداثيات نقاط المقطع [أ (2 ، 6) ، ب (3 ، 2)] (س = 2 ، ص = 6 و س = 3 ، ص = 2 ) في معادلة خط مستقيم مواز للمحور الإحداثي ، نحصل على:
- للنقطة أ:
- س = 2
- للنقطة ب:
- س = 3
وهكذا ، فإن س تنسيق نقاط الجزء [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] يتزامن مع الثابت في معادلة خط مستقيم مواز للمحور الإحداثي.
الخطوة 3: حل المعادلة لإيجاد إحداثيات نقطة التقاطع
لإيجاد نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب (3 ، 2)] مع المحور الإحداثي ، يجب أن نحل معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هاتين النقطتين.
يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم كـ ص = مكس + ب ، أين م هو ميل الخط المستقيم (معامل الانحدار) ، و ب هو المصطلح الحر (قيمة ص متى س = 0).
لتحديد ميل م ، نحسب الفرق إرمي بين الإحداثيات ص2 و ص1 فيما يتعلق بالفرق إرمكس بين الإحداثيات س2 و س1 (أين 1 و 2 هي مؤشرات النقطتين الأولى والثانية ، على التوالي).
وهكذا ، م = إرمي / إرمكس.
استبدل قيم النقاط أ (2 ، 6) و ب (3 ، 2) في صيغة معادلة الخط:
| نقطة | x | y |
|---|---|---|
| A | 2 | 6 |
| B | 3 | 2 |
دعونا نحسب ميل م:
الآن يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم:
لإيجاد ب ، يمكننا استخدام نقطة واحدة فقط واستبدال قيمها في المعادلة. دعونا نستبدل النقطة أ (2 ، 6):
عن طريق الحد منه ، نحصل على:
دعونا التعبير عن ب:
وبالتالي ، فإن معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين أ (2 ، 6) و ب (3 ، 2) سيكون لها الشكل:
لإيجاد نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي ، استبدل س يساوي 0 في معادلة الخط المستقيم:
وبالتالي ، فإن تنسيق نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي سيكون (0 ، 14).
الجواب: إحداثيات نقطة تقاطع المقطع والمحور الإحداثي
للعثور على نقطة تقاطع المقطع والمحور الإحداثي ، من الضروري تحديد المسافة من الأصل التي تقع فيها نقطة التقاطع.
بناء على هذا المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] ، يمكننا أن نرى أن المحور الإحداثي يمر عبر الأصل (0 ، 0).
لإيجاد نقطة التقاطع مع المحور الإحداثي ، يمكننا إلقاء نظرة على إحداثيات النقطة في (3 ، 2). نرى أن النقطة ب تقع على مسافة 3 على محور الإحداثي السيني من الأصل. هذا يعني أن المسافة المطلوبة من الأصل ستكون 3.
وبالتالي ، فإن نقطة تقاطع المقطع [أ(2 ، 6) ، ب(3 ، 2)] مع المحور الإحداثي سيكون لها إحداثيات (0 ، 3).
سؤال وجواب
كيف يمكنني العثور على إحداثيات نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع محور تنسيق?
للعثور على نقطة تقاطع مقطع مع المحور الإحداثي ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الإحداثيات الصادية لهذه النقطة. في هذه الحالة ، نظرا لأن المقطع [2 ، 6] و [3 ، 2] متوازيان مع المحور الإحداثي ، فإن نقطة التقاطع سيكون لها إحداثيات (3 ، 0).
كيف يمكنني العثور على نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع محور تنسيق?
للعثور على نقطة تقاطع مقطع مع المحور الإحداثي ، تحتاج إلى تحديد الإحداثيات التي تكون فيها القيمة س صفرا. في هذه الحالة ، يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطتين [2 ، 6] و [3 ، 2] كـ ص = -4س + 14. استبدال س = 0 ، نحصل على ص = 14. وبالتالي ، سيكون لنقطة التقاطع إحداثيات (0.14).
كيف يمكنني العثور على نقطة تقاطع قطعة يحددها إحداثيات (2,6) وب (3,2) مع محور تنسيق?
للعثور على نقطة تقاطع مقطع مع المحور الإحداثي ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الإحداثيات الصادية لهذه النقطة. في هذه الحالة ، يكون المقطع [2 ، 6] و [3 ، 2] موازيا للمحور الإحداثي ، وبالتالي فإن نقطة التقاطع سيكون لها إحداثيات (3 ، 0).
هل من الممكن العثور على نقطة تقاطع الجزء [2,6] و [3,2] مع المحور الإحداثي?
نعم ، يمكنك. لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد قيمة الإحداثيات الصادية لنقطة تقاطع المقطع مع المحور الإحداثي. في هذه الحالة ، نظرا لأن المقطع [2 ، 6] و [3 ، 2] متوازيان مع المحور الإحداثي ، فإن نقطة التقاطع سيكون لها إحداثيات (3 ، 0).