كم مرة نقدر احتمال وقوع حدث بناء على عينة من البيانات المتاحة? لفهم هذا السؤال ، ضع في اعتبارك موقفا يتم فيه إخراج 6 كرات من صندوق به عدد معين من الكرات السوداء والبيضاء. نحن مهتمون باحتمال وجود عدد معين من الكرات السوداء والبيضاء بينهم.
لنفترض أن لدينا صندوقا به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء. نحن بحاجة إلى إخراج 6 كرات. نريد أن نعرف مع أي احتمال بين الكرات المختارة سيكون هناك بالضبط ، على سبيل المثال ، 3 أسود و 3 أبيض. لحل هذه المشكلة ، يمكننا استخدام الصيغة التوافقية والمعاملات المقابلة.
قد تكون عينة من صندوق به عدد معروف من الكرات السوداء والبيضاء مثيرة للاهتمام ، على سبيل المثال ، لتقييم احتمالية الفوز باليانصيب أو النتيجة الناجحة للتجربة. من المهم أن تتذكر أن نتائج أخذ العينات قد تختلف اعتمادا على التكوين الأولي للمربع والكرات المحددة. لذلك ، من المهم تحليل البيانات بعناية ومراعاة المعلومات المقدمة عند تقييم الاحتمالات.
- ما هي فرصة للحصول على لون معين من الكرة من خارج منطقة الجزاء?
- احتمال سحب كرة سوداء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء
- احتمال سحب كرة بيضاء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء
- كم عدد التوليفات الممكنة التي يمكن الحصول عليها من 6 كرات أخرجت?
- ما هو احتمال الحصول على مزيج معين من 6 كرات أخرجت?
- كم مرة سيحدث الحدث في كثير من الأحيان إذا اخترت كرات سوداء أو بيضاء?
- سؤال وجواب
- ما هو احتمال الحصول على جميع الكرات السوداء من خارج منطقة الجزاء?
- كم عدد الفرص هناك للحصول بالضبط 4 كرات سوداء من خارج منطقة الجزاء?
- ما هي فرص الحصول على الأقل 2 كرات سوداء من خارج منطقة الجزاء?
ما هي فرصة للحصول على لون معين من الكرة من خارج منطقة الجزاء?
تعتمد فرصة الحصول على لون معين للكرة من الصندوق على نسبة عدد الكرات من اللون المطلوب إلى إجمالي عدد الكرات في الصندوق.
للحصول على لون معين من الكرة ، يمكنك حساب الاحتمال باستخدام الصيغة:
احتمال = (عدد الكرات من اللون المطلوب) / (العدد الإجمالي للكرات في المربع)
على سبيل المثال ، لنفترض أنه في صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء ، نريد سحب كرة سوداء. العدد الإجمالي للكرات في المربع هو 13 (8 + 5) ، وعدد الكرات السوداء هو 8. استبدل هذه القيم في الصيغة:
احتمال سحب الكرة السوداء = 8/13 0 0.615
لذا فإن فرصة إخراج كرة سوداء من هذا الصندوق تبلغ حوالي 0.615 أو حوالي 61.5٪.
وبالمثل ، يمكنك حساب فرصة سحب كرة بيضاء:
احتمال سحب كرة بيضاء = 5 / 13 ≈ 0.385
لذا فإن فرصة إخراج الكرة البيضاء من هذا الصندوق تبلغ حوالي 0.385 أو حوالي 38.5٪.
لذلك ، لحساب احتمال سحب لون معين من الكرة من خارج منطقة الجزاء ، تحتاج إلى معرفة عدد الكرات من اللون المطلوب والعدد الإجمالي للكرات في المربع.
احتمال سحب كرة سوداء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء
لمعرفة احتمال سحب كرة سوداء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء ، تحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للكرات وعدد الكرات السوداء في الصندوق.
إجمالي عدد الكرات في المربع: 13 كرات (8 أسود + 5 أبيض).
عدد الكرات السوداء في صندوق: 8 كرات.
الصيغة لحساب احتمال سحب الكرة السوداء:
الاحتمال = عدد الكرات السوداء / إجمالي عدد الكرات
في حالتنا:
الاحتمال = 8 / 13 0 0.6154
وبالتالي ، فإن احتمال سحب كرة سوداء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء هو حوالي 0.6154 أو حوالي 61.54٪.
احتمال سحب كرة بيضاء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء
لتحديد احتمال سحب كرة بيضاء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء ، نحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للكرات في الصندوق وعدد الكرات البيضاء.
في هذه الحالة ، يكون العدد الإجمالي للكرات 13 (8 أسود + 5 أبيض) ، وعدد الكرات البيضاء 5.
باستخدام هذه القيم ، يمكننا حساب احتمال سحب كرة بيضاء من الصندوق باستخدام الصيغة التالية:
الاحتمال = عدد النتائج الإيجابية / إجمالي عدد النتائج
عدد النتائج الإيجابية هو عدد الكرات البيضاء في المربع (5).
العدد الإجمالي للنتائج هو العدد الإجمالي للكرات في المربع (13).
لذلك ، فإن احتمال سحب الكرة البيضاء هو:
الاحتمال = 5/13
لذا ، فإن احتمال سحب كرة بيضاء من صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء هو حوالي 0.3846 أو 38.46٪.
كم عدد التوليفات الممكنة التي يمكنك الحصول عليها من 6 كرات أخرجت?
لحل هذه المشكلة ، نحتاج إلى تحديد عدد المجموعات التي يمكننا الحصول عليها عن طريق الاختيار من بين 6 كرات في صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء.
أولا ، دعنا نحدد العدد الإجمالي للكرات في الصندوق. في هذه الحالة ، لدينا 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء ، مما يجعل إجمالي 13 كرة.
الآن نحن بحاجة إلى تحديد عدد المجموعات التي يمكن الحصول عليها من هذه المجموعة من الكرات. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام المعامل ذي الحدين.
يتم حساب المعامل ذي الحدين باستخدام الصيغة:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!)
أين:
- ج (ن, ك) هو معامل ذو حدين يشير إلى عدد مجموعات ن العناصر المختارة بواسطة ك عناصر في وقت;
- ن! هو عامل ن ، يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى ن;
- ك! هو مضروب ك ، يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى ك;
- (ن-ك)! هو عامل الفرق بين الأرقام ن-ك.
بتطبيق هذه الصيغة على مشكلتنا ، يمكننا تحديد عدد المجموعات بالاختيار من بين 13 كرة من 6:
ج (13,6) = 13! / (6!(13-6)!)
بحساب هذه الصيغة ، سنحصل على عدد التركيبات الممكنة التي يمكن الحصول عليها من 6 كرات تمت إزالتها في صندوق معين.
ما هو احتمال الحصول على مزيج معين من 6 كرات أخرجت?
لتحديد احتمال الحصول على مجموعة معينة من 6 كرات مأخوذة ، تحتاج إلى معرفة عدد الطرق لاختيار هذه المجموعة المعينة والعدد الإجمالي لجميع المجموعات الممكنة.
في هذه الحالة ، لدينا صندوق به 8 كرات سوداء و 5 كرات بيضاء. للعثور على احتمال اختيار مجموعة معينة من الكرات ، تحتاج إلى معرفة عدد الطرق لاختيار 6 كرات من إجمالي عدد الكرات في المربع.
صيغة إيجاد عدد طرق التحديد ك كائنات من ن الكائنات يسمى"مجموعات". يبدو مثل هذا:
ج (ن ، ك) = ن! / (ك!(ن-ك)!)
أين ن! يدل على عامل الرقم ن (حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن).
في حالتنا ، للعثور على عدد الطرق لاختيار 6 كرات من أصل 13 ، دعنا نستخدم صيغة المجموعة:
ج (13 ، 6) = 13! / (6!(13-6)!)
دعونا إجراء الحسابات اللازمة:
- 13! = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 = 95 040;
- 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720;
- (13-6)! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.
دعونا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغة التوليفات:
جيم(13, 6) = 95 040 / (720 × 5040) = 95 040 / 3,628,800 = 0.026
وبالتالي ، فإن احتمال الحصول على مجموعة معينة من 6 كرات مأخوذة هو حوالي 0.026 أو 2.6٪.
كم مرة سيحدث الحدث في كثير من الأحيان إذا اخترت كرات سوداء أو بيضاء?
من أجل تحديد عدد المرات التي سيحدث فيها الحدث في كثير من الأحيان ، نحتاج إلى النظر في احتمالات اختيار الكرات السوداء والبيضاء من الصندوق.
هناك 6 كرات في الصندوق ، 8 منها سوداء و 5 بيضاء. يمكننا حساب احتمال اختيار كرة سوداء أو بيضاء في كل محاولة ومقارنتها.
لتحديد كرة سوداء ، فإن الاحتمال يساوي عدد الكرات السوداء (8) إلى إجمالي عدد الكرات في المربع (13):
احتمال اختيار الكرة السوداء = 8/13
لتحديد كرة بيضاء ، فإن الاحتمال يساوي عدد الكرات البيضاء (5) إلى إجمالي عدد الكرات في المربع (13):
احتمال اختيار الكرة البيضاء = 5/13
الآن يمكننا مقارنة احتمالات اختيار الكرات السوداء والبيضاء:
- إذا اخترنا الكرات السوداء:
- إذا اخترنا الكرات البيضاء:
من هذه البيانات ، يمكن استنتاج أن احتمال اختيار كرة سوداء أو بيضاء هو نفسه ، لأن الأحداث حصرية بشكل متبادل. أي أن احتمال اختيار كرة سوداء أو بيضاء هو 8/13 أو 5/13 على التوالي.
سؤال وجواب
ما هو احتمال الحصول على جميع الكرات السوداء من خارج منطقة الجزاء?
سيكون احتمال سحب جميع الكرات السوداء مساويا لمنتج احتمالات سحب كل كرة على حدة. الكرة الأولى لديها احتمال \ \ فارك{8}{13} to لتكون سوداء ، الكرة الثانية هي \ \ فارك{7}{12} so وهلم جرا. لذلك ، فإن الاحتمال سيكون \ \ فارك{8} {13} \ سدوت \ فارك{7} {12}\سدوت \ فارك{6} {11}\سدوت \ فارك{5} {10}\سدوت \ فارك{4} {9}\سدوت \ فارك{3}{8} \ تقريبا 0.0771 approx
كم عدد الفرص هناك للحصول بالضبط 4 كرات سوداء من خارج منطقة الجزاء?
من أجل سحب 4 كرات سوداء بالضبط ، يجب أن نختار 4 من 8 كرات سوداء و 2 من 5 كرات بيضاء مختلطة. يمكن القيام بذلك باستخدام مجموعة ، وبالتالي فإن عدد النتائج سيكون \ \ بينوم{8} {4} \ كدوت \ بينوم{5}{2} = \ فارك{8!}{4!4!} \ كدوت \ فارك{5!}{2!3!} = 280$. في التعقيد الكلي هناك \ \ بينوم{13}{6} = \ فارك{13!}{6!7!} = 1716 outcomes النتائج. لذلك ، سيكون الاحتمال \ \ فارك{280}{1716} \ تقريبا 0.1630 approx
ما هي فرص الحصول على الأقل 2 كرات سوداء من خارج منطقة الجزاء?
من أجل سحب ما لا يقل عن 2 كرات سوداء ، يجب أن نأخذ في الاعتبار الحالات عندما نختار 2 أسود ، 3 أسود ، 4 أسود ، 5 أسود أو كل 6 أسود. تلخيص احتمالات هذه الحالات ، نحصل على الجواب. احتمال سحب 2 الكرات السوداء سوف يكون مساويا $\فارك{\binom{8}{2} \cdot\binom{5}{4}}{\binom{13}{6}} \approx 0.298$, واحتمال سحب 3 كرات سوداء سوف يكون مساويا $\فارك{\binom{8}{3} \cdot\binom{5}{3}}{\binom{13}{6}} \approx 0.250$, احتمال الرسم 4 اسود دولار\فارك{\binom{8}{4}\cdot\binom{5}{2}}{\binom{13}{6}} \approx 0.163$, احتمال الرسم 5 السود دولار\فارك{\binom{8}{5}\cdot\binom{5}{1}}{\binom{13}{6}} \approx 0.043 probability واحتمال سحب جميع السود 6 سيكون \ \ فارك {\بينوم{8}{6} \ كدوت \ بينوم{5}{0}} {\بينوم{13}{6}} \ تقريبا 0.0022$. تلخيص هذه الاحتمالات ، نحصل على$0.298 + 0.250 + 0.163 + 0.043 + 0.0022 \ تقريبا 0.7562$.