معادلة المستوى من خلال النقطة م1(3 ، 2 ، 7) ، بالتوازي مع المستوى: نؤلف ونحل

المستوى هو أحد الأشكال الهندسية الأساسية التي يمكن تحديدها بواسطة معادلة. في الوقت نفسه ، من أجل توصيف الطائرة بالكامل ، من الضروري معرفة ليس فقط موقعها في الفضاء ، ولكن أيضا اتجاهها أو خصائصها الخاصة.

تتمثل إحدى طرق تحديد المستوى في معادلة المستوى من خلال نقطة ملقاة على المستوى والمتجه الطبيعي إلى المستوى. في هذه المقالة ، سننظر في الحالة عندما يكون مطلوبا إيجاد معادلة مستوى مواز لمستوى معين بالفعل ويمر عبر نقطة معينة م1 (3 ، 2 ، 7).

لإنشاء معادلة لمستوى من خلال نقطة موازية لمستوى معين ، تحتاج أولا إلى إيجاد المتجه الطبيعي لمستوى معين. سيكون لهذا المتجه الطبيعي نفس اتجاه جميع المتجهات الموازية لمستوى معين. بعد ذلك ، باستخدام المتجه الطبيعي الموجود ونقطة معينة ، يمكنك تكوين وحل معادلة المستوى من خلال النقطة.

1. بيان المشكلة
2. إيجاد معاملات معادلة المستوى
3. رسم معادلة الطائرة
4. التحقق من توازي الطائرات
5. حل معادلة المستوى
6. سؤال وجواب
7. كيفية جعل معادلة طائرة موازية لهذه الطائرة ويمر من خلال نقطة م1 (3, 2, 7)?
8. كيف يمكنني العثور على ناقل طبيعي لطائرة معينة?
9. ما هي الشروط الأولية اللازمة عند تكوين وحل معادلة الطائرة?

صياغة المشكلة

يعطى:

• نقطة م 1(3 ، 2 ، 7)
• طائرة موازية للمستوى المطلوب

للعثور على:

• معادلة الطائرة التي تمر عبر النقطة م1 وبالتوازي مع هذه الطائرة

إيجاد معاملات معادلة المستوى

يمكن إعطاء معادلة المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد على النحو التالي:

فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حيث أ ، ب ، ج ، د هي المعاملات التي نحتاج إلى إيجادها.

للعثور على معاملات معادلة المستوى ، ومعرفة النقطة الموجودة على المستوى والمتجه الموازي للمستوى ، يمكنك استخدام الخطوات التالية:

1. تعيين نقطة معروفة على متن الطائرة ، على سبيل المثال ، نقطة م1(3 ، 2 ، 7).
2. تعيين متجه مواز للمستوى. يمكن القيام بذلك ، على سبيل المثال ، من خلال معرفة نقطة أخرى على المستوى ، على سبيل المثال ، النقطة م2(س2, ص2, ض2).
3. باستخدام النقطة م1 (3 ، 2 ، 7) ومتجه مواز للمستوى ، قم بإنشاء نظام من المعادلات.
4. حل نظام المعادلات وإيجاد قيم المعاملات أ ، ب ، ج ، د.

على سبيل المثال ، لنحل مشكلة ذات قيم معروفة للنقطة م1(3 ، 2 ، 7) والنقطة م2(س2 ، ص2 ، ض2):

نستخدم المعادلة البارامترية لخط مستقيم يمر عبر النقطة م1(3 ، 2 ، 7) ونقطة م2(س2 ، ص2 ، ض2):

س = 3 + أ (س 2-3)

ص = 2 + أ (ص 2-2)

ض = 7 + أ (ض2-7)

أين أ-معلمة تعتمد على اختيار النقطة م2(س2, ص2, ض2).

استبدل المعادلة البارامترية في معادلة المستوى واحصل على نظام المعادلات:

أ (3 + أ (س2-3)) + ب (2 + أ (ص2-2)) + ج (7 + أ (ض2-7)) + د = 0

دعونا نفتح الأقواس:

A(3 + ax2 — 3a) + B(2 + ay2 — 2a) + C(7 + az2 — 7a) + D = 0

Упростим уравнение, объединив слагаемые с одинаковыми переменными:

(3A + 2B + 7C + D) + a(x2A + y2B + z2C — 3A — 2B — 7C) = 0

Таким образом, получили систему уравнений:

3A + 2B + 7C + D = 0

x2A + y2B + z2C — 3A — 2B — 7C = 0

يمكن حل نظام المعادلات بطريقة غاوس أو طرق أخرى لإيجاد قيم المعاملات أ ، ب ، ج ، د.

رسم معادلة الطائرة

لتكوين معادلة المستوى ، من الضروري معرفة أن المستوى محدد بعدة عناصر:

• النقطة التي تمر من خلالها الطائرة;
• المتجه الطبيعي ، وهو عمودي على المستوى.

في هذه الحالة ، لدينا نقطة م1(3 ، 2 ، 7) التي يجب أن تمر من خلالها الطائرة. يتم إعطاء الشرط أيضا أن الطائرة يجب أن تكون موازية لطائرة أخرى.

لإيجاد المتجه العادي ، يمكنك استخدام معادلة المستوى:

نظرا لأن المستوى الذي يجب أن يمر من خلاله المستوى المطلوب معروف بالفعل ، يمكن أخذ المتجه الطبيعي مساويا للمتجه الطبيعي لهذا المستوى.

لذلك ، لتكوين معادلة المستوى ، سوف نستخدم الخطوات التالية:

1. أوجد المتجه الطبيعي للمستوى المطلوب (يساوي المتجه الطبيعي للمستوى المعروف).
2. استبدل إحداثيات النقطة م1 ومكونات المتجه الطبيعي في معادلة المستوى.

بعد الانتهاء من هذه الخطوات ، نحصل على معادلة المستوى المطلوب في النموذج:

فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0,

أين أ, ب و ج هي معاملات للمتغيرات س, ص و ض ، على التوالي ، و د هو مصطلح حر.

التحقق من توازي الطائرات

للتحقق من التوازي بين الطائرتين ، يجب تنفيذ الخطوات التالية:

1. أوجد المتجهات العادية لكلا الطائرتين.
2. إذا كانت المتجهات العادية للطائرات متوازية أو مشتركة الاتجاه ، فإن الطائرات تكون متوازية أيضا.

للعثور على المتجه العادي ، يمكنك استخدام الخطوات التالية:

1. اكتب معادلة المستوى بشكل عام: فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0.
2. أوجد المعاملات أ ، ب ، ج.
3. قم بتكوين المتجه الطبيعي باستخدام المعاملات الموجودة: ن = (أ ، ب ، ج).

بعد العثور على المتجهات الطبيعية للطائرات ، يمكن مقارنتها. إذا كانت المتجهات متوازية أو مشتركة الاتجاه ، فإن المستويات تكون متوازية. إذا كانت المتجهات متعامدة ، فإن الطائرات تتقاطع.

وبالتالي ، يتم تقليل التحقق من توازي الطائرات لحساب المتجهات العادية ومقارنة اتجاهاتها.

حل معادلة المستوى

لحل معادلة المستوى المحدد من خلال نقطة وبالتوازي مع المستوى ، من الضروري معرفة إحداثيات النقطة ومتجه المستوى الطبيعي إلى المستوى.

النقطة م1 (3 ، 2 ، 7) ، يمر من خلالها المستوى المطلوب.

للعثور على المتجه الطبيعي للمستوى ، دعنا نستخدم المعلومات حول المستوى المتوازي ، أي المستوى الذي يكون المستوى المطلوب متوازيا منه. في هذه الحالة ، يكون المستوى المتوازي غير معروف ، وبالتالي يقترح العثور على المتجه الطبيعي باستخدام الإحداثيات م1(3 ، 2 ، 7) ومعادلة المستوى التي تكشف عنها.

يتم الكشف عن معادلة المستوى بالصيغة التالية:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = د

أين أ ، ب ، ج هي إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى ، و د هو معامل ثابت للعلامة ، والذي يمكن تحديده عن طريق استبدال إحداثيات النقطة م1(3 ، 2 ، 7) بدلا من س ، ص ، ض

باستبدال إحداثيات النقطة م1 (3 ، 2 ، 7) في المعادلة ، نحصل على ما يلي:

3 أ + 2 ب + 7 ج = د

وهكذا نحصل على المعادلات التالية:

1. 3 أ + 2 ب + 7 ج-د = 0
2. فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا-د = 0

معرفة المتجه الطبيعي إلى فأس الطائرة + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = د ، وكذلك إحداثيات النقطة م1 (3 ، 2 ، 7) ، يمكننا تكوين معادلة المستوى والتحقق من صلاحيتها عن طريق استبدال إحداثيات النقاط الأخرى بدلا من س ، ص ، ض والتحقق مما إذا كان فأس المساواة + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا = د يحمل.

سؤال وجواب

كيفية جعل معادلة طائرة موازية لطائرة معينة ويمر من خلال نقطة م1 (3, 2, 7)?

لعمل معادلة لمستوى مواز لمستوى معين ويمر عبر نقطة م1 (3 ، 2 ، 7) ، يمكننا استخدام المتجه الطبيعي لمستوى معين والنقطة م1. يمكن العثور على المتجه الطبيعي كنتيجة لمنتج المتجه لمتجهين ينتميان إلى مستوى معين. ثم ، باستخدام المتجه الطبيعي الموجود والنقطة م1 ، يمكننا كتابة معادلة المستوى بالشكل العام فأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0 ، حيث أ ، ب ، ج ، د هي معاملات المعادلة.

كيف يمكنني العثور على ناقل طبيعي لطائرة معينة?

للعثور على المتجه العادي لمستوى معين ، يمكنك استخدام منتج المتجه لمتجهين ينتميان إلى المستوى. سيكون المتجه الطبيعي عموديا على المستوى وهو أحد العناصر المهمة في تكوين معادلة المستوى.

ما هي الشروط الأولية اللازمة عند تكوين وحل معادلة الطائرة?

عند تكوين معادلة المستوى وحلها ، من الضروري معرفة النقطة التي يمر من خلالها المستوى ، وكذلك الحصول على معلومات حول المستوى الموازي له. بناء على هذه البيانات ، يمكننا تحديد معاملات معادلة المستوى وحلها للحصول على النتيجة النهائية.