يعد نقل المصفوفة وإيجاد المصفوفة العكسية عمليات مهمة في الجبر الخطي. ضع في اعتبارك الظروف التي تكون فيها المصفوفة المنقولة مساوية لعكس المصفوفة الأصلية.
تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل صفوف وأعمدة المصفوفة الأصلية. أي إذا كانت المصفوفة أ لها بعد م س ن ، ثم المصفوفة المنقولة أ ^ ر سيكون لها بعد ن س م. يشار إلى المصفوفة المنقولة بالرمز ر في الأعلى.
المصفوفة العكسية أ^(-1) هي مصفوفة ، عند ضربها تعطي المصفوفة الأصلية أ مصفوفة الوحدة أنا. من المهم ملاحظة أن المصفوفة العكسية موجودة فقط للمصفوفات المربعة ، أي المصفوفات التي يساوي عدد صفوفها عدد الأعمدة.
حالة المساواة للمصفوفة المنقولة والمصفوفة العكسية هي كما يلي: إذا أ^ر= أ^(-1) ، ثم أ هي مصفوفة متماثلة. المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة تكون فيها العناصر الموجودة على القطر الرئيسي مساوية للعناصر المقابلة التي تقع بشكل متماثل بالنسبة للقطر الرئيسي.
- شروط المساواة في تبديل والمصفوفة العكسية
- مفهوم تبديل المصفوفة
- مفهوم المصفوفة العكسية وخصائصها
- سؤال وجواب
- ما هو تبديل المصفوفة?
- تحت أي ظروف هي مصفوفة مساوية لمصفوفتها المنقولة?
- ما هي المصفوفة العكسية وتحت أي ظروف يمكن حسابها?
شروط المساواة في تبديل والمصفوفة العكسية
يعد التحويل والمصفوفة العكسية عمليات مهمة في الجبر الخطي تسمح لك بحل العديد من المشكلات ومعالجة المصفوفات. في هذا القسم ، سننظر في الظروف التي تكون فيها هذه العمليات متساوية بشكل متبادل.
تبديل المصفوفة
يتم الإشارة إلى تبديل المصفوفة أ كما في وهي عملية يتم فيها تبديل صفوف وأعمدة المصفوفة الأصلية. يمكن كتابة التعريف الرسمي للتبديل على النحو التالي:
- إذا أ هي مصفوفة الحجم م س ن ، ثم في هي مصفوفة الحجم ن س م;
- لأي أنا و ي ، العنصر (في)إيج يساوي العنصر آجي;
- أي أن كل عنصر (أنا ، ي) من المصفوفة الأصلية يصبح عنصرا (ي ، أنا) من المصفوفة المنقولة.
المصفوفة العكسية
المصفوفة العكسية لمصفوفة مربعة أ يشار إليها على أنها أ - 1 وهي مصفوفة بحيث يكون حاصل ضرب أ و أ - 1 يساوي مصفوفة الوحدة أنا:
أ * أ - 1 = أنا
وبعبارة أخرى ، فإن المصفوفة العكسية "تلغي" المصفوفة الأصلية عند الضرب.
شروط المساواة في تبديل والمصفوفة العكسية
السماح ليكون مصفوفة مربعة من حجم ن س ن.
ثم أ يساوي مصفوفة نقلها في إذا:
- العناصر أ و في متساوية مع بعضها البعض في جميع المواقف;
- وهذا هو ، إيج = (في)إيج لجميع أنا و ي;
- أي أن كل عنصر (أنا ، ي) من المصفوفة الأصلية يساوي عنصرا (أنا ، ي) من المصفوفة المنقولة.
على عكس التحويل ، فإن شروط المساواة في المصفوفة العكسية أكثر تعقيدا:
المصفوفة أ تساوي المصفوفة العكسية أ-1 إذا:
- حاصل ضرب أ و أ - 1 يساوي مصفوفة الوحدة أنا;
- هذا هو ، أ * أ-1 = أنا;
- المصفوفات أ و أ - 1 معكوسة لبعضها البعض فيما يتعلق بالضرب.
وبالتالي ، فإن التحويل والمصفوفة العكسية متساويان فقط في حالات محددة عندما يتم استيفاء شروط المساواة. بشكل عام ، التحويل والمصفوفة العكسية هي عمليات مختلفة بخصائص مختلفة.
مفهوم تبديل المصفوفة
يعد تبديل المصفوفة إحدى العمليات الأساسية في الجبر الخطي. وهو يتألف من إعادة ترتيب صفوف وأعمدة المصفوفة الأصلية.
دعونا نعطي مصفوفة أ البعد م n ن. ثم المصفوفة التي تم الحصول عليها من أ عن طريق التحويل يشار إليها باسم في ولها بعد ن m م. في المصفوفة الناتجة ، تصبح صفوف المصفوفة الأصلية أعمدة ، وتصبح الأعمدة صفوفا.
مثال:
المصفوفة أ معطى:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
المصفوفة المنقولة في سيكون لها الشكل:
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
يمكن تمثيل تبديل المصفوفة كعملية تحتفظ فيها عناصر المصفوفة الأصلية بموقعها ، لكن مؤشراتها تتغير. وهذا هو ، عنصر إيج من المصفوفة أ يصبح العنصر آجي من المصفوفة في.
يحتوي تبديل المصفوفة على الخصائص التالية:
- (في)ر = أ
- (كا)ر = كات ، أين ك هو رقم حقيقي تعسفي
- (أ + ب)ر = في + بريتيش تيليكوم
- (أب) ر = بتات ، حيث أ و ب هي المصفوفات التي يتم تعريف المنتج أب
يستخدم تبديل المصفوفة على نطاق واسع في مختلف المجالات ، بما في ذلك تحليل البيانات والتعلم الآلي والطرق العددية.
مفهوم المصفوفة العكسية وخصائصها
تسمى المصفوفة العكسية لمصفوفة مربعة مثل هذه المصفوفة ، عند ضربها في المصفوفة الأصلية ، يتم الحصول على مصفوفة وحدة. توجد المصفوفة العكسية فقط للمصفوفات غير المتدهورة ، أي للمصفوفات التي لا يكون محددها صفرا.
يشار إلى المصفوفة العكسية بالرمز أ-1 ، حيث أ هي المصفوفة الأصلية.
خصائص المصفوفة العكسية:
- إذا كانت المصفوفة أ قابلة للعكس ، فإن المصفوفة العكسية تكون فريدة من نوعها. بمعنى آخر ، لكل مصفوفة غير متدهورة ، هناك مصفوفة عكسية واحدة فقط.
- ضرب المصفوفة في المصفوفة العكسية يعطي مصفوفة الوحدة: أ * أ-1 = أنا ، أين أنا هي مصفوفة الوحدة.
- ضرب المصفوفة العكسية في المصفوفة الأصلية يعطي أيضا مصفوفة الوحدة: أ-1 * أ = أنا.
- المصفوفة العكسية للمصفوفة العكسية هي المصفوفة الأصلية: (أ-1) -1 = أ.
- إذا كانت المصفوفة أ قابلة للعكس ، فإن المصفوفة المنقولة في هي أيضا قابلة للعكس ، ومصفوفتها العكسية تساوي المصفوفة العكسية المنقولة: (عند)-1 = (أ -1)تي.
تلعب المصفوفة العكسية دورا مهما في أنظمة المعادلات الخطية ، وفي حل مشاكل البرمجة الخطية ، وفي مجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء. يمكن العثور عليه باستخدام طرق مختلفة ، على سبيل المثال ، طريقة غاوس أو طريقة إيجاد محدد المصفوفة.
سؤال وجواب
ما هو تبديل المصفوفة?
تبديل المصفوفة هو عملية تصبح فيها صفوف المصفوفة أعمدة وتصبح الأعمدة صفوفا. وبالتالي ، إذا كانت المصفوفة الأصلية لها بعد م س ن ، فإن المصفوفة المنقولة لها أبعاد ن س م.
تحت أي ظروف هي مصفوفة مساوية لمصفوفتها المنقولة?
المصفوفة تساوي المصفوفة المنقولة إذا كانت جميع عناصرها على القطر الرئيسي (العناصر ذات المؤشرات (أنا ، أنا)) متماثلة فيما يتعلق بالقطر الرئيسي. وهذا هو ، إذا أ_ج = أ_ج للجميع أنا و ي ، حيث أ_ج هو عنصر من المصفوفة مع الفهارس (أنا ، ي).
ما هي المصفوفة العكسية وتحت أي ظروف يمكن حسابها?
المصفوفة العكسية هي مصفوفة ب ، عند ضربها تعطي المصفوفة الأصلية أ مصفوفة وحدة. لا يمكن حساب المصفوفة العكسية إلا لمصفوفة مربعة أ ، والتي لها محدد غير صفري ديت (أ).