تقسيم المصفوفة هو أحد العمليات الأساسية في الجبر الخطي. تسمح لنا هذه العملية بالحصول على مصفوفة جديدة ، نتيجة تقسيم مصفوفتين أصليتين ، ولها أساليبها وقواعدها الأساسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند حل المشكلات.
الطريقة الرئيسية لتقسيم المصفوفات هي ضرب المصفوفة الأصلية في معكوس. قبل البدء في عملية القسمة ، من الضروري التأكد من أن المصفوفة الثانية قابلة للعكس. إذا كانت المصفوفة العكسية موجودة ، فيمكننا الانتقال إلى الخطوة التالية — الضرب.
تتضمن قواعد تقسيم المصفوفات أيضا النظر في الأبعاد والشروط التي يجب الوفاء بها للتقسيم الصحيح. على سبيل المثال ، يجب أن يكون بعد المصفوفات متوافقا لإجراء العملية. بالإضافة إلى ذلك ، لا يمكن تقسيم المصفوفة الصفرية ، لأنها لا رجعة فيها.
من المهم أن تتذكر أن تقسيم المصفوفة ليس عملية تبادلية. أي أن نتيجة قسمة المصفوفة أ على المصفوفة ب قد تختلف عن نتيجة قسمة المصفوفة ب على المصفوفة أ.
في المقالة ، سننظر في الأساليب والقواعد الأساسية لتقسيم المصفوفة ، بالإضافة إلى تقديم أمثلة ومهام للتطبيق العملي لهذه المعرفة.
- طرق تقسيم المصفوفة: القواعد الأساسية
- تقسيم المصفوفة المضافة
- التقسيم المضاعف للمصفوفات
- سؤال وجواب
- ما هي قواعد تقسيم المصفوفات?
- كيفية ضرب مصفوفة بواسطة مصفوفة عكسية?
- كيفية تقسيم مصفوفة من قبل عدد?
طرق تقسيم المصفوفة: القواعد الأساسية
تقسيم المصفوفة هو أحد العمليات الأساسية في الجبر الخطي ، والذي يسمح لك بالحصول على نتيجة نسبة مصفوفتين. يمكن أن تكون هذه العملية مفيدة في حل المشكلات المختلفة وإيجاد حلول لأنظمة المعادلات الخطية.
القواعد الأساسية لتقسيم المصفوفة هي:
- طريقة غاوس: لتقسيم المصفوفة أ على المصفوفة ب ، من الضروري تعيين المصفوفة ب إلى المصفوفة أ وإحضار هذه المصفوفة الموسعة إلى شكل متدرج محسن باستخدام التحولات الأولية على الصفوف. إذا تبين أن نتيجة الاختزال إلى شكل تدريجي تساوي مصفوفة بحجم الوحدة ، فإن المصفوفة الأصلية أ هي معكوس المصفوفة ب.
- باستخدام المصفوفة العكسية: لقسمة المصفوفة أ على المصفوفة ب ، يمكنك ضرب المصفوفة أ في المصفوفة العكسية ب. للقيام بذلك ، تحقق من أن المصفوفة ب قابلة للعكس ، أي أنها تحتوي على مصفوفة عكسية ، وقم بتنفيذ الإجراء التالي: أ * ب-1. ستكون النتيجة مصفوفة تساوي نسبة المصفوفات أ و ب.
عند استخدام المصفوفة العكسية ، يجب أن نتذكر أنها غير موجودة دائما. يعتمد وجودها على محدد المصفوفة ب – إذا كان المحدد صفرا ، فإن المصفوفة العكسية غير موجودة.
ومن الجدير بالذكر أيضا أن تقسيم المصفوفة لا يحتوي على خصائص التبادلية والترابطية ، لذا فإن ترتيب المصفوفات مهم. المصفوفة التي تنقسم إليها تسمى المقسوم عليها ، والمصفوفة التي تنقسم إليها تسمى قابلة للقسمة.
تقسيم المصفوفة المضافة
تقسيم المصفوفة المضافة هي إحدى طرق تقسيم المصفوفة. على عكس الطرق الأخرى ، في القسمة المضافة ، يتم تقسيم المصفوفات مجزأة ، أي أن كل عنصر من عناصر المصفوفة القابلة للقسمة مقسوم على العنصر المقابل للمقسوم عليه.
لإجراء التقسيم الإضافي ، من الضروري التأكد من تطابق أبعاد مصفوفات التقسيم. يجب أن يكون بعد المقسوم عليه هو نفسه في المصفوفة القابلة للقسمة.
يتم تنفيذ التقسيم الإضافي للمصفوفات عن طريق التقسيم الجزئي للعناصر المقابلة للمصفوفة القابلة للقسمة إلى عناصر المقسم. وبالتالي ، سيكون للمصفوفة الناتجة نفس بعد المصفوفة القابلة للقسمة.
في تقسيم المصفوفة المضافة ، يتم حساب كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة باستخدام الصيغة:
سيج = إيج / بيج,
حيث سيج هو عنصر من المصفوفة الناتجة ، إيج هو عنصر من المصفوفة القابلة للقسمة ، بيج هو عنصر من المقسوم عليه.
مصفوفة قابلة للقسمة (أ):
| المقسوم عليه (ب):
| المصفوفة الناتجة (ج):
|
في هذا المثال ، تم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة القابلة للقسمة أ إلى عنصر مقسوم عليه بواسطة العنصر المقابل للمقسوم عليه ب. المصفوفة الناتجة الناتجة ج له نفس بعد المصفوفة القابلة للقسمة أ.
التقسيم المضاعف للمصفوفات
تقسيم المصفوفة المضاعفة هي إحدى طرق تقسيم المصفوفة. يعتمد على ضرب المصفوفة الأصلية في المصفوفة العكسية.
من أجل إجراء التقسيم المضاعف للمصفوفات ، من الضروري التحقق من إمكانية إجراء هذه العملية. توجد المصفوفة العكسية فقط للمصفوفات المربعة ، أي المصفوفات التي يساوي عدد صفوفها عدد الأعمدة.
قاعدة: المصفوفة ب يسمى معكوس المصفوفة المربعة أ إذا كان حاصل ضرب المصفوفة أ في المصفوفة ب يساوي مصفوفة الوحدة هـ:
أ * ب = ه
لإجراء التقسيم المضاعف للمصفوفات ، من الضروري:
- تأكد من أن المصفوفة الأصلية هي مصفوفة مربعة.
- أوجد المصفوفة العكسية للمصفوفة الأصلية.
- يتم ضرب المصفوفة العكسية الناتجة في المصفوفة الأصلية.
ستكون نتيجة قسمة المصفوفة المضاعفة مصفوفة مساوية لمصفوفة الوحدة.
على سبيل المثال ، لدينا المصفوفة الأصلية أ:
| 3 | 2 |
| 1 | 4 |
نظرا لأن هذه المصفوفة مربعة ، يمكننا الاستمرار في إجراء القسمة المضاعفة. لنجد معكوس المصفوفة أ المصفوفة ب:
| 4/7 | -2/7 |
| -1/7 | 3/7 |
اضرب المصفوفة ب في المصفوفة الأصلية أ:
| (3)(4/7) + (2)(-1/7) = 1 | (3)(-2/7) + (2)(3/7) = 0 |
| (1)(4/7) + (4)(-1/7) = 0 | (1)(-2/7) + (4)(3/7) = 1 |
ستكون النتيجة مصفوفة واحدة:
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
وبالتالي ، فقد أجرينا بنجاح القسمة المضاعفة للمصفوفة أ.
سؤال وجواب
ما هي قواعد تقسيم المصفوفات?
هناك القواعد التالية لتقسيم المصفوفات. القاعدة 1: يمكنك قسمة مصفوفة على رقم بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في العنصر العكسي للرقم. القاعدة 2: يمكنك تقسيم مصفوفة إلى مصفوفة مربعة من نفس الحجم بضرب المصفوفة الأصلية في المصفوفة العكسية. المادة 3: لا يمكنك تقسيم مصفوفة إلى مصفوفة عشوائية ما لم يتم استيفاء شروط معينة.
كيفية ضرب مصفوفة بواسطة مصفوفة عكسية?
لضرب مصفوفة في مصفوفة عكسية ، تحتاج أولا إلى التحقق من أن المصفوفة قابلة للعكس ، أي أنها تحتوي على مصفوفة عكسية. ثم تحتاج إلى ضرب كل عنصر من عناصر صف المصفوفة في العنصر المقابل لعمود المصفوفة العكسية وإضافة النتائج. ستكون النتيجة مصفوفة جديدة ، سيكون بعدها هو نفسه في المصفوفة الأصلية.
كيفية تقسيم مصفوفة من قبل عدد?
لقسمة مصفوفة على رقم ، اضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في القيمة العكسية للرقم. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد القيمة العكسية للرقم وضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بهذه القيمة. ستكون النتيجة مصفوفة جديدة ، ستكون عناصرها مساوية لعناصر المصفوفة الأصلية مقسومة على رقم.