مخطط الرسم البياني هو خاصية تشير إلى إمكانية تصوير رسم بياني على مستوى بدون حواف متقاطعة. يعد إثبات تخطيط الرسم البياني مهمة مهمة في نظرية الرسم البياني ويستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات مثل علوم الكمبيوتر والتصميم الجرافيكي ورسومات الكمبيوتر.
هناك العديد من الطرق والخوارزميات الأساسية لإثبات مخطط الرسم البياني. واحدة من أكثر الطرق المعروفة هي خوارزمية أويلر. يعتمد على النظرية التالية: الرسم البياني مستو إذا وفقط إذا كان من الممكن تحويله إلى رسم بياني مستو عن طريق إضافة الحواف والرؤوس بالتتابع.
تتكون خوارزمية أويلر من عدة خطوات. أولا ، يتم تحديد أحد حواف الرسم البياني ويتم إضافة رأس جديد إليه. ثم يتم تحديد حافة أخرى ويتم تكرار إجراء إضافة قمة جديدة. تتكرر العملية حتى تتم إضافة جميع الحواف.
طريقة أخرى شائعة لإثبات مخطط الرسم البياني هي استخدام المخططات الفرعية المستوية. تعتمد هذه الطريقة على العبارة التالية: إذا كان الرسم البياني يحتوي على رسوم بيانية فرعية مستوية ، فهو مستو نفسه. لإثبات استواء الرسم البياني ، يكفي العثور على مخطط فرعي مستو واحد على الأقل.
- تعريف مخطط الرسم البياني
- الطرق الأساسية لإثبات التخطيط
- خوارزميات للتحقق من مخطط الرسم البياني
- سؤال وجواب
- كيف يمكن للمرء أن يثبت أن الرسم البياني مستو?
- هل من الممكن إثبات استواء الرسم البياني دون استخدام الخوارزميات?
- كيف تثبت خوارزمية كوراتوفسكي-توت استواء الرسم البياني?
تعريف مخطط الرسم البياني
الرسم البياني هو كائن رياضي يمثل مجموعة من الرؤوس (العقد) والحواف (الوصلات) بين هذه الرؤوس.
يعتبر الرسم البياني مستويا إذا كان من الممكن رسمه على مستوى بحيث لا يتقاطع أي من الحواف.
هناك طرق وخوارزميات مختلفة لتحديد مخطط الرسم البياني. تتمثل إحدى هذه الطرق في التحقق من وجود الرسم البياني الفرعي المتجانس لنفي الرسم البياني المستوي لكوراتوفسكي ، والذي يعرف أيضا باسم "نظرية كوراتوفسكي".
وفقا لنظرية كوراتوفسكي ، يكون الرسم البياني مستويا إذا وفقط إذا لم يكن هناك رسم بياني فرعي فيه متماثل الشكل (أي يمكن تحويله دون كسر الهيكل) إلى أحد الرسوم البيانية: الرسم البياني الكامل الثنائي ك3,3 أو الرسم البياني الكامل ك5.
أي لتحديد مخطط الرسم البياني ، من الضروري التحقق مما إذا كان ك3,3 أو ك5 يمكن العثور عليها كرسم بياني فرعي في هذا الرسم البياني. إذا تم العثور على مثل هذا الرسم البياني الفرعي ، فإن الرسم البياني غير مستو. إذا لم يتم العثور على مثل هذا الرسم البياني الفرعي ، فإن الرسم البياني يعتبر مستويا.
هناك طريقة أخرى لتحديد مخطط الرسم البياني وهي استخدام خوارزمية للتكرار عبر جميع أزواج الحواف. في هذه الطريقة ، يتم النظر في جميع أزواج الحواف الممكنة بشكل منفصل ، ولكل زوج يتم التحقق من كيفية تقاطعها. إذا لم يتقاطع أي من أزواج الحواف ، فسيكون الرسم البياني مستويا ، وإلا فإن الرسم البياني غير مستو.
وبالتالي ، هناك طرق وخوارزميات مختلفة لتحديد مخطط الرسم البياني. يعتمد اختيار الطريقة المناسبة على ظروف المهمة وقدرات الأدوات والبرامج المتاحة.
الطرق الأساسية لإثبات التخطيط
1. طريقة التصور
واحدة من أبسط الطرق لإثبات استواء الرسم البياني هي تصوره على مستوى. إذا كان من الممكن رسم رسم بياني على مستوى بدون حواف متقاطعة ، فيمكننا أن نستنتج أنه مستو.
2. نظرية كوراتوفسكي
نظرية كوراتوفسكي هي أداة أساسية لإثبات استواء الرسم البياني. وفقا لهذه النظرية ، فإن أي رسم بياني غير منسوج يكون مستويا. من الضروري التحقق مما إذا كان الرسم البياني يحتوي على أي رسم بياني فرعي متماثل إلى الرسم البياني كوراتوفسكي (بما في ذلك الرسوم البيانية ك_5 و ك_3,3). إذا لم يكن هناك مثل هذا الرسم البياني الفرعي ، فسيكون الرسم البياني مستويا. هذه الطريقة أكثر رسمية وتتطلب استخدام خوارزميات ونظريات مختلفة.
3. صيغة أويلر
هناك طريقة أخرى لإثبات استواء الرسم البياني وهي استخدام نظرية أويلر. وفقا لهذه النظرية ، لأي رسم بياني مستو مع جي الوجوه, الخامس الرءوسو و ه الحواف ، المساواة جي = ه-الخامس + 2 يحمل . إذا كانت هذه المساواة تنطبق على رسم بياني معين ، فهي مستوية. تتطلب هذه الطريقة أيضا بعض الحسابات والشيكات لتلبية حالة النظرية.
4. نظرية البريد الصينية
النظرية البريدية الصينية هي طريقة خوارزمية لإثبات استواء الرسم البياني. وفقا لهذه النظرية ، للحصول على رسم بياني مستو مع الخامس الرؤوس, ه الحواف و و الوجوه ، المتباينة يحمل: 2ه-3 فولت + 6 (و — 1). إذا استمر هذا التفاوت ، فسيكون الرسم البياني مستويا.
5. خوارزميات التضمين المستوية
هناك العديد من الخوارزميات التي تسمح لك بتحديد مستوى الرسم البياني والعثور على التضمين المستوي. إحدى هذه الخوارزميات هي خوارزمية تارجان ، والتي تعتمد على البحث عن كتل الرسم البياني وتحديد اتصالاتها. خوارزمية أخرى معروفة هي خوارزمية بويد ماهلين ، والتي تستخدم مبدأ ضغط الوجه لتحديد المستوى.
في الختام ، هناك عدة طرق أساسية لإثبات مخطط الرسم البياني. يتطلب بعضها تصورا ورسما بيانيا مرسوما يدويا ، بينما يتطلب البعض الآخر طرقا أكثر رسمية باستخدام النظريات والخوارزميات. إن الاستخدام المشترك لهذه الطرق يجعل من الممكن تحديد مخطط الرسم البياني بدقة أكبر والعثور على التضمين المستوي.
خوارزميات للتحقق من مخطط الرسم البياني
مخطط الرسم البياني هو خاصية الرسم البياني المراد رسمه على مستوى بدون تقاطعات الحواف. يعد التحقق من استواء الرسم البياني مهمة مهمة في نظرية الرسم البياني ، نظرا لأن الرسوم البيانية المستوية لها العديد من التطبيقات في مختلف المجالات ، على سبيل المثال ، في هندسة الدوائر ، ورسومات الكمبيوتر ، والواجهات الرسومية ، وما إلى ذلك.
هناك العديد من الخوارزميات للتحقق من مخطط الرسم البياني. دعونا ننظر إلى بعض منهم:
تعد الخوارزمية الفرعية والمقيدة واحدة من أبسط الخوارزميات للتحقق من مخطط الرسم البياني. لأنه يقوم على التكرار من خلال جميع التوليفات الممكنة من حواف الرسم البياني والتحقق من التقاطعات بينهما. مثل هذه الخوارزمية لها تعقيد أسي وغير فعالة للرسوم البيانية الكبيرة.
خوارزمية تارجان-الفكرة الرئيسية لهذه الخوارزمية هي بناء شجرة اجتياز العمق الأول (دفس) والتحقق من وجود حواف عكسية عند إجراء عكس دفس. إذا لم تكن هناك حواف عكسية ، فسيكون الرسم البياني مستويا. تعمل خوارزمية تارجان في الوقت الخطي ولديها تعقيد أكثر كفاءة من الخوارزمية السابقة.
ويستند خوارزمية بوير-مور-هوبكروفت على بناء الرسم البياني تضمين مستو. ويستخدم قواعد لإزالة فروع 'سيئة' من الرسم البياني والتحقق من بلاناريتي من الرسوم البيانية الناتجة بعد كل حذف. تعمل هذه الخوارزمية في الوقت المكعب في أسوأ الحالات ، ولكن يتم تحسين كفاءتها عن طريق تحسين واستخدام هياكل البيانات.
خوارزمية هوبكروفت-تاريان هي مزيج من خوارزمية بوير-مور-هوبكروفت وخوارزمية تاريان. يعتمد على تحسين خوارزمية بوير مور هوبكروفت باستخدام أفكار خوارزمية تارجان. يتيح لك هذا المزيج تسريع الخوارزمية وتحسين كفاءتها.
يعتمد اختيار خوارزمية محددة للتحقق من مخطط الرسم البياني على متطلبات سرعة الرسم البياني وتعقيده. بعض الخوارزميات أكثر كفاءة للرسوم البيانية الصغيرة ، بينما يمكن للآخرين التعامل مع الرسوم البيانية الكبيرة بشكل أفضل. باستخدام هذه الخوارزميات ، يمكنك التحقق من مخطط الرسم البياني وتحديد إمكانية رسمه دون تقاطع الحواف.
سؤال وجواب
كيف يمكن للمرء أن يثبت أن الرسم البياني مستو?
هناك طرق وخوارزميات مختلفة لإثبات استواء الرسم البياني. واحد منهم هو طريقة إزالة قمة الرأس. في هذه الطريقة ، نزيل الرؤوس بالتتابع من الرسم البياني ونتحقق مما إذا كان الرسم البياني يظل مستويا بعد كل حذف. إذا تمكنا من إزالة جميع الرؤوس ، وظل الرسم البياني مستويا ، فهو مستو. طريقة أخرى هي خوارزمية كوراتوفسكي-توت. يعتمد على نظرية التضمين لمخطط فرعي للرسم البياني بهيكل منتظم. باستخدام هذه الخوارزمية ، من الممكن إثبات استواء الرسم البياني إذا كان جميع قاصريه مستويين. هناك أيضا طرق أخرى تستخدم لإثبات مخطط الرسوم البيانية.
هل من الممكن إثبات استواء الرسم البياني دون استخدام الخوارزميات?
نعم ، هذا ممكن. هناك ما يسمى "صيغة أويلر" التي تتعلق بعدد الرؤوس وعدد الحواف وعدد وجوه الرسم البياني المستوي. تبدو صيغة أويلر كما يلي: و = ه-الخامس + 2 ، حيث و هو عدد الوجوه ، ه هو عدد الحواف ، و الخامس هو عدد الرؤوس. إذا كان عدد الوجوه والحواف والرؤوس يتوافق مع هذه الصيغة عند الحساب ، فإن الرسم البياني يكون مستويا. يمكن استخدام هذه الخاصية لإثبات استواء الرسم البياني دون استخدام الخوارزميات.
كيف تثبت خوارزمية كوراتوفسكي-توت استواء الرسم البياني?
تثبت خوارزمية كوراتوفسكي-توت استواء الرسم البياني باستخدام نظرية التضمين لمخطط فرعي للرسم البياني بهيكل منتظم. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان جميع القاصرين في الرسم البياني مستويا ، فإن الرسم البياني نفسه يكون مستويا. الرسم البياني الثانوي هو رسم بياني تم الحصول عليه من الرسم البياني الأصلي عن طريق إزالة الرؤوس والحواف. وهكذا ، فإن خوارزمية كوراتوفسكي-توت تستكشف باستمرار جميع القاصرين المحتملين في الرسم البياني وتتحقق من مستوياتهم. إذا كان جميع القصر مستويا ، فسيكون الرسم البياني مستويا أيضا.