في الرياضيات ، تلعب المصفوفات دورا مهما في العديد من المجالات ، من الجبر إلى الفيزياء ورسومات الكمبيوتر. أس المصفوفة هي إحدى العمليات الأساسية مع المصفوفات ، والتي تسمح لك بالحصول على مصفوفات جديدة بناء على المصفوفات الأصلية. ولكن كيفية رفع المصفوفات إلى درجة بشكل صحيح وما هي القواعد التي ينبغي اتباعها?
القاعدة الأساسية لأسي المصفوفة هي أن المصفوفة يجب أن تكون مربعة. خلاف ذلك ، لم يتم تعريف عملية الأس. تتكون المصفوفة المربعة من عدد متساو من الصفوف والأعمدة ، ولهذا السبب يتم تنفيذ هذه العملية فقط لمثل هذه المصفوفات.
مثال: النظر في المصفوفة {{1, 2}, {3, 4}}. إنه مربع لأنه يحتوي على صفين وعمودين. لذلك ، يمكننا رفعه إلى أي درجة.
عندما تكون المصفوفة مربعة ، يمكننا رفعها إلى درجة موجبة أو صفرية أو سالبة. في حالة درجة الصفر ، ستكون النتيجة مصفوفة واحدة ، في حالة الدرجة الموجبة والسالبة ، تعتمد النتيجة على قيمة الدرجة والمصفوفة الأصلية.
لأسي مصفوفة بشكل صحيح ، تحتاج إلى استخدام عملية تسمى "أسي المصفوفة". تقلل هذه العملية الأس إلى الضرب المتسلسل للمصفوفة في حد ذاتها. على سبيل المثال ، لتكبير المصفوفة {{1, 2}, {3, 4}} إلى قوة 2 ، تحتاج إلى ضرب هذه المصفوفة في حد ذاتها: {{1, 2}, {3, 4}} * {{1, 2}, {3, 4}} = {{7, 10}, {15, 22}}.
- تعريف المصفوفة ودرجتها
- تحديد درجة المصفوفة
- كيفية رفع المصفوفات إلى قوة بشكل صحيح
- رفع المصفوفة إلى درجة إيجابية
- رفع المصفوفة إلى درجة سلبية
- أس مصفوفة مربعة
- الأس الجزئي
- الأس باستخدام القيم الذاتية والمتجهات
- أمثلة على أس المصفوفات
- سؤال وجواب
- لماذا هو ضروري لرفع المصفوفات إلى السلطة?
- كيفية رفع مصفوفة إلى السلطة بشكل صحيح?
- ماذا سيكون البعد من المصفوفة الناتجة بعد الأس?
- هل هناك أي خصوصيات في رفع المصفوفات إلى درجة سلبية?
- هل من الممكن رفع مصفوفة إلى قوة كسرية?
تعريف المصفوفة ودرجتها
المصفوفة هي مجموعة مرتبة من الأرقام مرتبة في جدول يتكون من صفوف وأعمدة. يسمى عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة بأبعادها.
تستخدم المصفوفات على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء وعلوم الكمبيوتر والعلوم الأخرى. من خلال عرض عمليات المتجهات الخطية والتحولات الخطية ، تعد المصفوفات أداة قوية لحل المشكلات المختلفة.
درجة المصفوفة تسمى الأس. يشبه أس المصفوفة أس الأرقام: يتم رفع كل عنصر من عناصر المصفوفة إلى درجة محددة.
يتم تعريف درجة المصفوفة فقط للمصفوفات المربعة ، أي للمصفوفات حيث يكون عدد الصفوف مساويا لعدد الأعمدة.
لرفع المصفوفة إلى قوة ، من الضروري ضربها بنفسها عدة مرات. إذا كنت ترغب في رفع المصفوفة إلى قوة 2 ، فأنت بحاجة إلى ضرب المصفوفة في حد ذاتها. للحصول على قوة 3 ، تحتاج إلى ضرب المصفوفة بنفسك مرتين ، وهكذا.
لذا ، رفع المصفوفة أ إلى قوة ن ، نحصل على:
أ^ن = أ * أ * أ*... * أ (ن مرات)
عند ضرب المصفوفات ، يتم استخدام قواعد معينة تسمح لك بالحصول على النتيجة الصحيحة. ضرب المصفوفة ليس تبادليا ، أي أن ترتيب الضرب مهم: أ * ب لا يساوي ب * أ.
تجدر الإشارة أيضا إلى أنه يمكن رفع المصفوفات ليس فقط للقوى الطبيعية ، ولكن أيضا للقوى السلبية والكسرية. يتم ذلك عن طريق تطبيق بعض العمليات والقواعد الرياضية.
تحديد درجة المصفوفة
في الجبر الخطي ، يمكن رفع المصفوفات إلى قوة ، على غرار كيفية رفع الأرقام. تسمح لنا عملية أس المصفوفة بتكرار ضرب المصفوفة بنفسها عدة مرات.
يتم تعريف درجة المصفوفة على أنها نتاج هذه المصفوفة بحد ذاتها لعدد معين من المرات. إذا كانت المصفوفة أ مربعة ، فيمكن حساب درجتها باستخدام عملية الضرب الرياضية المعتادة.
للحصول على درجة المصفوفة ، يتم ضرب كل قيمة في المصفوفة الأصلية أ في نفسها عدة مرات كما هو محدد في الدرجة. ستكون النتيجة مصفوفة جديدة ب ، وهي نتيجة ضرب أ في نفسه عدة مرات كما هو محدد في القوة.
مثال: دعونا نعطي المصفوفة: |
| 2 | 1 |
| 3 | 4 |
لنجد مربع هذه المصفوفة:
| (2 * 2 + 1 * 3) | (2 * 1 + 1 * 4) |
| (3 * 2 + 4 * 3) | (3 * 1 + 4 * 4) |
ستكون النتيجة مصفوفة جديدة:
| 7 | 6 |
| 18 | 19 |
مربع المصفوفة الأصلية:
| 7 | 6 |
| 18 | 19 |
وبالتالي ، فإن أس المصفوفة يسمح لنا بالحصول على مصفوفة جديدة ، وهي نتيجة ضرب المصفوفة الأصلية في حد ذاتها عددا معينا من المرات.
كيفية رفع المصفوفات إلى قوة بشكل صحيح
أس المصفوفة هي إحدى العمليات الأساسية في الجبر الخطي. تسمح لك هذه العملية بضرب المصفوفة بنفسها عدة مرات والحصول على مصفوفة جديدة. يمكن أن يكون هذا الإجراء مفيدا ، على سبيل المثال ، في مهام النمذجة عندما يكون من الضروري الحصول على حالة النظام بعد عدد معين من الخطوات الزمنية.
هناك عدة طرق لأسي المصفوفات ، ولكن أكثرها شيوعا هي الأس إلى درجة موجبة والأس إلى درجة سالبة. دعونا ننظر في كل من هذه الأساليب بمزيد من التفصيل.
رفع المصفوفة إلى درجة إيجابية
من أجل رفع المصفوفة أ إلى قوة موجبة ن ، من الضروري مضاعفة هذه المصفوفة بنفسها ن-1 مرات. القيمة الأولية للمصفوفة أ هي نتيجة رفع المصفوفة إلى قوة 1، أي أ1 = أ. مع كل عملية ضرب لاحقة للمصفوفة في حد ذاتها ، يتم الحصول على مصفوفة جديدة ، والتي ستكون مساوية لنتيجة الضرب السابقة مضروبة في المصفوفة الأصلية.
مثال:
- أ1 = أ
- أ2 = أ * أ
- أ3 = أ2 * أ
- وهلم جرا…
رفع المصفوفة إلى درجة سلبية
من أجل رفع المصفوفة أ إلى القوة السالبة لـ ن ، من الضروري إيجاد المصفوفة العكسية أ-1 ، ثم رفع هذه المصفوفة العكسية إلى القوة الموجبة-ن. يتم تعريف المصفوفة العكسية أ-1 بطريقة أنه عند ضرب المصفوفة أ في المصفوفة العكسية أ-1 ، يتم الحصول على مصفوفة الوحدة أنا.
مثال:
- أ-1 = المصفوفة العكسية للمصفوفة أ
- أ - 2 = (أ-1) 2
- أ - 3 = (أ-1) 3
- وهلم جرا…
أس مصفوفة مربعة
عندما يتعلق الأمر بأسي مصفوفة مربعة ، فهناك طريقة أكثر فاعلية لتبسيط العمليات الحسابية. إذا كانت المصفوفة أ هو مربع الترتيب ن ، فبدلا من ضرب المصفوفة بنفسها ن مرات ، يمكنك استخدام طريقة تعتمد على قطري المصفوفة. جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: يتم تمثيل المصفوفة أ كمنتج لـ أ = بدب-1 ، أين د هي مصفوفة قطرية و ص هي مصفوفة من المتجهات الذاتية للمصفوفة أ.ثم نرفع المصفوفة أ إلى قوة عن طريق رفع المصفوفة القطرية د إلى هذه القوة. تتم استعادة المصفوفة الناتجة عن طريق التحويل العكسي : أ = ص * دن * ف-1.
مثال:
دعونا نعطي مصفوفة مربعة 2 2 2 أ: أ = [أ ، ب ؛ ج ، د]. دعونا نرفع هذه المصفوفة إلى قوة 2:
- لنجد القيم الذاتية للمصفوفة أ :11 و22
- دعونا العثور على المتجهات الذاتية المقابلة لكل من القيم الذاتية: س1 و س2
- لنصنع مصفوفة ص من المتجهات الذاتية التي تم العثور عليها: ص = [س1, س2]
- لنصنع مصفوفة قطرية د من القيم الذاتية: د = [11, 0; 0 ,22]
- لنجد المصفوفة العكسية ص-1
- ثم نرفع المصفوفة أ إلى قوة 2: أ2 = ص * د2 * ص-1
تتيح هذه الطريقة تبسيط العمليات الحسابية والحصول على نتيجة أس المصفوفة في وقت أقصر ، خاصة بالنسبة للمصفوفات الكبيرة.
الأس الجزئي
الأس للمصفوفة يعني الأس لكل عنصر من عناصر المصفوفة إلى درجة محددة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تطبيق عملية الأس على كل عنصر من عناصر المصفوفة والحصول على مصفوفة جديدة مع العناصر التي هي نتائج هذه العملية.
لإجراء أس عنصر بعنصر للمصفوفة ، يجب عليك:
- خذ كل عنصر من عناصر المصفوفة وارفعه إلى الدرجة المحددة.
- سجل نتائج الأس في عناصر المصفوفة الجديدة.
- للحصول على مصفوفة تكون فيها العناصر هي نتائج أس عنصر بعنصر.
على سبيل المثال ، دعونا نعطي مصفوفة:
| 2 | 3 |
| 4 | 1 |
| 5 | 2 |
ويلزم تربيع كل عنصر من عناصر المصفوفة (الدرجة 2). ثم ستكون النتيجة كما يلي:
| 4 | 9 |
| 16 | 1 |
| 25 | 4 |
وهكذا ، تم تربيع كل عنصر من عناصر المصفوفة ، وتحتوي المصفوفة الجديدة على نتائج هذا الأس عنصرا بعنصر.
الأس عنصر بعنصر مفيد عند العمل مع المصفوفات ، عندما تريد تطبيق عملية الأس على كل عنصر من عناصر المصفوفة بشكل مستقل عن العناصر الأخرى. يمكن أن يكون هذا مفيدا ، على سبيل المثال ، عند حساب عناصر التسلسل ، وتطبيق الوظائف على المصفوفات ، ومعالجة البيانات.
الأس باستخدام القيم الذاتية والمتجهات
يمكن إجراء أس المصفوفة باستخدام طرق مختلفة. إحدى هذه الطرق هي استخدام القيم الذاتية وناقلات المصفوفة.
تمثل القيم الذاتية والمتجهات خصائص مهمة للمصفوفة. القيمة الذاتية هي رقم ، والمتجه الذاتي هو متجه غير صفري ، عند ضربه في مصفوفة ، يظل موازيا لنفسه حتى القياس.
لرفع المصفوفة أ إلى قوة ن باستخدام القيم الذاتية والمتجهات ، يجب تنفيذ الخطوات التالية:
- تحلل المصفوفة أ إلى القيم الذاتية والمتجهات: أ = فΛ ف-1 ، أين ف هي مصفوفة تكون أعمدتها متجهات ذاتية ، Λ هي مصفوفة قطرية ذات قيم ذاتية على القطر.
- إلى قوة ن عن طريق رفع كل عنصر بواسطة ن::.
- اضرب المصفوفات الناتجة ف و:: أ = = فλⁿ ف-1.
مثال:
ضع في اعتبارك المصفوفة أ:
| أ = | | 2 1 | |
| | 4 3 | |
لنجد القيم الذاتية والمتجهات للمصفوفة أ:
- القيمة الذاتية λ ، = 1.
- المتجه الذاتي = [-1 ، 2].
- القيمة الذاتية-ثاني أكسيد الكربون = 4.
- المتجه الذاتي = [1 ، 1].
تحلل مصفوفة القيم الذاتية والمتجهات هي:
A = QΛQ⁻1 = [ -1, 1 ][ 1, 0 ][ -1, 1 ]⁻ⁱ = [ -1, 1 ][ 1, 0 ][ -1, 1 ]
دعونا نرفع المصفوفة القطرية power إلى قوة ن:
λⁿ = [ 1, 0 ][ 0, 4 ]ⁿ = [ 1, 0 ][ 0, 4ⁿ ]
اضرب المصفوفات الناتجة س و Q:
aⁿ = [ -1, 1 ][ 1, 0 ][ 1, 0 ][ 0, 4ⁿ ][ -1, 1 ] = [ 4ⁿ, 0 ][ 0, 1 ].
وبالتالي ، فإن بناء المصفوفة أ = [ 2, 1 ][ 4, 3 ] إلى قوة ن يؤدي إلى المصفوفة أ = = [4ⁿ ، 0] [0 ، 1].
أمثلة على أس المصفوفات
لنلق نظرة على بعض الأمثلة لفهم كيفية رفع المصفوفات بشكل صحيح إلى قوة.
- = | 7 10 |
- لنفترض أن لدينا مصفوفة ب:
بعد إجراء جميع الحسابات اللازمة ، سنحصل على المصفوفة ب في المكعب (ب إلى قوة 3).
المثال 3:
لنفترض أن لدينا مصفوفة ج: