يعد التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى مثلث إحدى المشكلات الأساسية للهندسة. هذه المهمة مهمة في مجالات مختلفة مثل رسومات الكمبيوتر ونمذجة الكمبيوتر والهندسة الخوارزمية. هناك العديد من الخوارزميات التي تسمح لك بالتحقق مما إذا كانت النقطة داخل المثلث أو خارجه. في هذه المقالة ، سوف نلقي نظرة على بعضها ونقدم أمثلة على استخدامها.
واحدة من أبسط الخوارزميات للتحقق من انتماء نقطة في مثلث هو استخدام إحداثيات مركزية. الإحداثيات المركزية هي إحداثيات في شكل مجموع مرجح لإحداثيات الرؤوس الثلاثة للمثلث. تعتمد هذه الخوارزمية على فكرة أنه يمكن تمثيل كل نقطة في المثلث بمزيج فريد من الإحداثيات المركزية.
خوارزمية شائعة أخرى هي استخدام المنطقة الموجهة للمثلثات. يعتمد على تحديد علامة المنطقة الموجهة للمثلث المكونة من نقاط المثلث والنقطة التي يتم فحصها. إذا كانت علامات منطقة المثلثات الثلاثة موجبة أو سالبة ، فإن النقطة تكون داخل المثلث.
لاحقا في المقالة ، سننظر في هذه الخوارزميات بمزيد من التفصيل ونقدم أمثلة على تطبيقها. سننظر أيضا في بعض الصعوبات والميزات للتحقق من هوية نقطة في المثلث ، وكذلك حل بعض المشكلات المتعلقة بالتقريب والأخطاء في الحسابات.
- المفاهيم والتعاريف الأساسية
- طريقة نقطة التقاطع من جانبي المثلث
- طريقة المنتج المتجه
- تمثيل رسومي للخوارزمية
- أمثلة على التحقق من انتماء نقطة في مثلث
- سؤال وجواب
- كيف يمكنني التحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى مثلث?
- ما هي الخوارزميات الأخرى التي يمكن استخدامها للتحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى مثلث?
المفاهيم والتعاريف الأساسية
المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تسمى جوانب المثلث وثلاث نقاط تسمى رؤوس المثلث.
ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى مثلث هو فحص لمعرفة ما إذا كانت النقطة المحددة داخل المثلث أو على حدوده.
قمة المثلث هي نقطة تشكل مثلثا وتتصل برؤوس أخرى من الجانبين.
جانب المثلث هو جزء يربط بين رأسين للمثلث.
النقطة الداخلية للمثلث هي نقطة داخل المثلث ولا تقع على جوانبه.
حدود المثلث هي مجموع كل جوانب المثلث.
التثليث هو عملية تقسيم المثلث إلى مثلثات أبسط (على سبيل المثال ، إلى أجزاء من طية المثلث).
المركز الهندسي للمثلث هو نقطة تقاطع متوسطات المثلث ، والتي تقسم كل وسيط بنسبة 2: 1.
مثلث محدب هو مثلث مع جميع الزوايا الداخلية أقل من 180 درجة.
الهيكل المحدب هو أصغر مضلع محدب يحتوي على جميع نقاط مجموعة معينة من النقاط.
طريقة نقطة التقاطع من جانبي المثلث
طريقة نقطة تقاطع جوانب المثلث هي إحدى طرق التحقق من أن النقطة تنتمي إلى مثلث معين. يعتمد على استخدام مناطق المثلثات.
لتطبيق هذه الطريقة ، من الضروري العثور على مناطق ثلاثة مثلثات شكلتها المثلث الأصلي والنقطة التي نتحقق من الانتماء. إذا كان مجموع مساحات هذه المثلثات الثلاثة يساوي مساحة المثلث الأصلي ، فإن النقطة تنتمي إلى المثلث. إذا كان المجموع غير متساو ، فإن النقطة تكون خارج المثلث.
للعثور على مساحة المثلث ، يمكنك استخدام صيغة هيرون:
- أوجد طول كل جوانب المثلث باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين:
- طول الجانب أب: أب = √((شب — زا)^2 + (يب — يا)^2)
- طول الجانب قبل الميلاد: قبل الميلاد = √((شك — زب)^2 + (يك — يب)^2)
- طول الجانب كاليفورنيا: CA = √((xA — xC)^2 + (yA — yC)^2)
- Найдите полупериметр треугольника: p = (AB + BC + CA) / 2
- Найдите площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p * (p — AB) * (p — BC) * (p — CA))
وبالتالي ، لتطبيق طريقة نقطة تقاطع جوانب المثلث ، من الضروري حساب مساحات المثلثات الثلاثة التي شكلها المثلث الأصلي والنقطة التي يتم فحصها ، ومقارنتها بمساحة المثلث الأصلي. إذا كان مجموع مساحات المثلثات الثلاثة يساوي مساحة المثلث الأصلي ، فإن النقطة تنتمي إلى المثلث ، وإلا فإن النقطة خارج المثلث.
طريقة المنتج المتجه
طريقة واحدة للتحقق ما إذا كانت نقطة ص ينتمي إلى مثلث أبك هو استخدام طريقة المنتج ناقلات.
أولا ، ضع في اعتبارك مثلثا محددا بالرؤوس أ ، ب ، ج. يمكننا تمثيل كل رأس كمتجه:
- را = (زا ، يا)
- الميزانية العادية = (الموارد الخارجة عن الميزانية ، يب)
- أرسي = (إكس سي ، يك)
بعد ذلك ، إنشاء ناقلات ش = رب-را والخامس = أرسي-را. ثم نجد المنتج المتجه للمتجهات ش و الخامس:
ث = ش v الخامس
إذا كان المنتج المتجه ث يساوي صفرا ، فإن النقطة ص تقع على نفس الخط مع النقاط أ, ب و ج. خلاف ذلك ، فإن النقطة ص خارج المثلث.
للتحقق من أن نقطة ص ينتمي ، يمكنك إنشاء ناقلات س = ص - أ و ص = ص-ب. ثم حساب النواتج المتجهة ث1 = س u ش و ث2 = الخامس y ص. إذا كان كل من المنتجات المتجهة ث1 و ث2 لها نفس العلامة ومجموعها يساوي المنتج المتجه ث ، ثم النقطة ص ينتمي إلى المثلث أبك.